如何解應(yīng)用性問題

專題解說所謂數(shù)學(xué)應(yīng)用題是指利用數(shù)學(xué)知識解決一些其它領(lǐng)域中的問題．?dāng)?shù)學(xué)的高度抽象性決定了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，因而應(yīng)用題的非數(shù)學(xué)背景是多種多樣的．解應(yīng)用題往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的有關(guān)問題，并舍棄與數(shù)學(xué)無關(guān)的非本質(zhì)因素，通過抽象轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，對許多學(xué)生來說，從抽象到具體的轉(zhuǎn)化并不比從具體到抽象遇到的困難少，學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)最常見的困難是不會將問題提煉成數(shù)學(xué)問題，即不會建模，不會列出相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)．因此解應(yīng)用題首先要認(rèn)真閱讀、弄清題意，特別是弄清有關(guān)量之間的數(shù)量關(guān)系，這是建立相應(yīng)模型的基礎(chǔ)．在最新教學(xué)大綱和考試說明中都體現(xiàn)有“加大高考應(yīng)用題力度”的高考命題指導(dǎo)思想，從1993年起至今題型趨于科學(xué)、穩(wěn)定，基本形成選擇題、填空題和解答題都采用的局面．不管采用哪種形式，求解的一般步驟分為：

（1）讀懂題目的條件和問題：弄清題目所述的事件和研究對象，抓住題目中的關(guān)鍵字句，正確把握其含義，根據(jù)題意，弄清題中各有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系，抓住本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，正確認(rèn)識其類別．（2）建立數(shù)學(xué)模型：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建模的直接準(zhǔn)備就是審題的最后階段從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，將此關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號表示出來，即可得到解決問題的數(shù)學(xué)模型．（3）求解數(shù)學(xué)模型：根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，選擇合適的數(shù)學(xué)方法，設(shè)計(jì)合理的、簡捷的運(yùn)算途徑，求出數(shù)學(xué)問題的解，其中特別注意實(shí)際問題中對變量范圍的限制及其它約束條件．（4）檢驗(yàn)：既要檢驗(yàn)所得結(jié)果是否適合數(shù)學(xué)模型，又要評判所得結(jié)果是否符合實(shí)際問題的要求，從而對原問題作出合乎實(shí)際意義的回答．

下面將結(jié)合近年高考（模擬）精典真題對應(yīng)用性問題分六大類型進(jìn)行深刻剖析，并配以近年高考（模擬）精典題用以訓(xùn)練，舉一反三，以期對0７考生提高解決應(yīng)用題的能力有切實(shí)的幫助！

類型1：與函數(shù)、方程（組）、不等式（組）有關(guān)的題型

此類問題常涉及土地、環(huán)保、行程、物價(jià)、產(chǎn)值、用料等實(shí)際問題，也常涉及長度、面積、造價(jià)、利潤等最優(yōu)化問題．建立的數(shù)學(xué)模型主要是二次函數(shù)、分段函數(shù)、高次函數(shù)、指（對）數(shù)函數(shù)、 型函數(shù)等，解決這類問題一般要利用數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式，然后運(yùn)用代數(shù)變形、配方、方程與不等式、數(shù)形結(jié)合等對問題進(jìn)行處理，關(guān)鍵是應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)，以方程不等式為工具，通過構(gòu)造不等式或解不等式或用均值不等式或用導(dǎo)數(shù)法解決問題．注意題目的限制條件，要善于將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等量關(guān)系，以及不等關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化等，必要時(shí)借助圖形、表格、示意圖尋求（轉(zhuǎn)化）這些關(guān)系．

例1（2006年高考湖南卷）對1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: )為0．8，要求洗完后的清潔度是0．99．有兩種方案可供選擇，方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗．該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?(1≤a≤3)．設(shè)用 單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是 ( )，用 質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是 ，其中 是該物體初次清洗后的清潔度．(Ⅰ)分別求出方案甲以及 時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少;(Ⅱ)若采用方案乙，當(dāng) 為某定值時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最少?并討論 取不同數(shù)值時(shí)對最少總用水量多少的影響．

解析：(I)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z，由題設(shè)有 ，解得 ．由c =0．95得方案乙初次用水量為3，第二次用水量y滿足方程 ，解得 ，故 ，即兩種方案的用水量分別為19與 ，因?yàn)楫?dāng)1 ≤ a ≤ 3時(shí)，x–z = 4(4-a)> 0，即x>z，故方案乙的用水量較少；

點(diǎn)評：該題主要考查函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的最值，考查分類討論思想、均值不等式及運(yùn)算能力、邏輯思維能力、化歸與轉(zhuǎn)化意識．解決本題關(guān)鍵要讀懂題意 ，其中(1)為(2)探路，為(2)建立關(guān)于c的函數(shù)打開思路，繼而用均值不等式完成最值的討論，之后又回到實(shí)際中去．此題從社會熱點(diǎn)出發(fā)，有實(shí)際生活背景，題意新穎，要求考生把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立相應(yīng)函數(shù)模型，利用函數(shù)最值研究方法得到問題答案，然后把問題答案返回到實(shí)際問題中去，獲得有實(shí)際意義的結(jié)論．

類型2：與數(shù)列有關(guān)的題型

此類問題常涉及到產(chǎn)量、產(chǎn)值、繁殖、利息、物價(jià)、增長率、植樹造林、土地沙化等有關(guān)實(shí)際問題．應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想等手段建立起模型，主要建立的模型是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系式、求和公式、再綜合運(yùn)用其它相關(guān)知識來解決問題，解決過程中常用到轉(zhuǎn)化與化歸思想、方程（組）與不等式思想．處理問題的關(guān)鍵在于特殊到一般的抽象與一般到特殊的應(yīng)用及遞推法的應(yīng)用．

例2．（2005年高考湖南卷）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對魚群總量的影響．用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0．不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c．（Ⅰ）求xn+1與xn的關(guān)系式；（Ⅱ）猜測：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）（Ⅱ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)、數(shù)列的遞推關(guān)系、不等式以及數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查知識的綜合運(yùn)用和解決問題的創(chuàng)新能力．第（1）問是后兩問的基礎(chǔ)，也是解題的突破口，從而尋找 與 遞推關(guān)系是最重要一步，遞推關(guān)系式獲得關(guān)鍵在于反復(fù)讀題后利用守恒規(guī)律建構(gòu)等量關(guān)系式，得 與 遞推關(guān)系．建立模型時(shí)，關(guān)鍵要區(qū)分條件中哪一類數(shù)據(jù)構(gòu)成哪一類數(shù)列，從中得到的是數(shù)列的通項(xiàng)公式還是求和公式 ，還是遞推關(guān)系式，是數(shù)列的“項(xiàng)”，還是“和”，還是其它的問題，同時(shí)注意數(shù)列的起始項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)等問題．

類型3：與正余弦定理及三角變換有關(guān)的題型

此類問題常涉及天文、地理、勘察測量、航海航天、國防軍事等，如計(jì)算山高、河寬、最大視角等．三角類應(yīng)用題常化歸納為以下模型：（一）討論函數(shù) 等的圖像和性質(zhì)；（二）平面或空間圖形（長度、面積、體積等）關(guān)于角 的函數(shù) ；（三）運(yùn)用正、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)定義、和差倍半公式解三角形．解此類問題常用轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)及方程思想等．

例3．（2005年高考天津卷）某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔，如圖1所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖1所示的山坡可視為直線 且點(diǎn)P在直線 上， 與水平地面的夾角為，tan = ，試問此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角∠CPB最大（不計(jì)此人的身高）

解析：觀看塔的視角∠BPC最大即其正切值最大，可以此人距水平地面高的高度為自變量，利用這里眾多直角三角形的邊角關(guān)系，解直角三角形尋找高度與視角∠BPC正切值之間的函數(shù)關(guān)系式．如圖2所示，過P分別向OA，OB引垂線，垂足分別為D，E，設(shè)PD長為ｘ，則AD＝2ｘ，ＰＥ＝200+2ｘ，ＢＥ＝220－ｘ，ＣＥ＝300－ｘ，直角三角形ＢＰＥ中， ，直角三角形ＣＰＥ中，點(diǎn)評：這里符合解析法的特征，也可建立直角坐標(biāo)系后，通過坐標(biāo)、斜率與角之間的關(guān)系尋找函數(shù)關(guān)系式解決問題．本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系并應(yīng)用解析幾何和代數(shù)、三角的方法解決實(shí)際問題的能力．該題入手角度廣，選擇不同的視角得到不同的解決途徑．無論是從解直角三角形還是用解析法都可建立關(guān)于ｘ的一元分式函數(shù)，雖然式子的繁簡有所不同帶來的計(jì)算量稍有區(qū)別，但對基礎(chǔ)知識的熟練程度和通性通法使用的要求卻相一致．

類型4：與排列組合、概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的題型

此類問題常以實(shí)際問題為背景，如排數(shù)、照相、種植、涂色、體育比賽、商品經(jīng)營，交通運(yùn)輸?shù)雀餍袠I(yè)．要深刻理解排列與組合的概念，公式，拿到題后要很快判斷是排列還是組合，是分步還是分類，是直接還是間接，是哪種概率類型，是否放回抽樣等．對數(shù)學(xué)思想應(yīng)用要求較高，主要是分類討論、數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想．

例4（2006年高考遼寧卷）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對甲項(xiàng)目每投資十萬元，一年后利潤是1．2萬元、1．18萬元、1．17萬元的概率分別為 、 、 ;已知乙項(xiàng)目的利潤與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是 ，設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為 ，對乙項(xiàng)目每投資十萬元，取0、1、2時(shí)， 一年后相應(yīng)利潤是1．3萬元、1．25萬元、0．2萬元．隨機(jī)變量 、 分別表示對甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后的利潤．

(I)求 、 的概率分布和數(shù)學(xué)期望 、 ;(II)當(dāng) 時(shí)，求 的取值范圍．

解析：(I)解法1: 由題意知， 的概率分布為：

點(diǎn)評：該題考查二項(xiàng)分布、分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識，考查同學(xué)們運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力． 這里有兩個(gè)隨機(jī)變量，除了要理清各變量取值對應(yīng)的概率外，還應(yīng)分清各變量之間的關(guān)系．對于 2的概率分布可通過 與 對應(yīng)，借助二項(xiàng)分布完成，也可通過對應(yīng)事件算概率獲得，方法一比方法二簡潔，思維量小，體出了采用不同策略所花時(shí)間及思維量會有一定區(qū)別，要求考生平時(shí)悉于積累．

例5（2006年高考湖北卷）在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布 ．已知成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有12名．（Ⅰ）試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？（Ⅱ）若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？

可供查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

點(diǎn)評：本小題主要考查正態(tài)分布，對獨(dú)立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題的能力．該題只要記得正態(tài)分布的概率換算公式，換算為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)公布，會用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)公布表，解決數(shù)學(xué)問題后再回到實(shí)際中去，難度不大，但這種冷點(diǎn)題讓高中教師和學(xué)生出其不意，冷點(diǎn)不冷，其目的讓我們加強(qiáng)知識的全面掌握．

類型5：與直線、圓、圓錐曲線有關(guān)的題型

常涉及規(guī)劃、定位、人造地球衛(wèi)星、光折射、反光燈、橋梁檢測氣象觀測、零件加工、流量值、折疊等．建立坐標(biāo)系，利用解析法、結(jié)合直線、圓、圓錐曲線的有關(guān)知識解決，注意實(shí)際條件中的限制，是直線、射線、圓還是半圓等．

例6．(2006年襄樊47中模擬) “神舟六號”飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記為 )．A在B的正東方向，相距6千米;C在B的北偏西 方向，相距4千米．P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻，A接受到P的救援信號，由于B，C兩地比A距P遠(yuǎn)，因此4秒后，B、C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號，已知該信號的傳播速度為1千米/秒．（1）求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角．(2)若信號從P點(diǎn)的正上空Q點(diǎn)處發(fā)出，則A，B收到信號的時(shí)間差是變大還是變小?請說明理由．

點(diǎn)評：本例中由于B，C兩點(diǎn)比A地接收到的信號要慢4秒，即 ，它滿足雙曲線的定義，這就是建立雙曲線模型，而當(dāng)信號在P地正上方Q點(diǎn)發(fā)出時(shí)，問題情境便是一個(gè)立體模型，因而自然而然地建立立體幾何模型來求解．

類型6：與空間圖形有關(guān)的題型

常涉及觀測、面積、體積、地球的經(jīng)緯度、翻折與剪拼等，試題往往來于教材卻高于教材，常與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等知識相結(jié)合，具有較強(qiáng)的綜合性，一般程序是：

（1）將實(shí)際問題通過分析后用立體幾何語言結(jié)合圖形加以表述并確定解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，即立幾模型．（2）根據(jù)幾何知識求解所得的立體幾何問題．（3）驗(yàn)證所求得解是否符合實(shí)際并回歸原問題作答．

例7．（2006年高考江蘇卷）請您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷．它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如圖5所示）．試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心 的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？

評析：該題只要求幾何體的體積，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化不成問題，而后用導(dǎo)數(shù)知識處理三次函數(shù)在開區(qū)間上的最值，此題可謂“幾何搭臺，導(dǎo)數(shù)唱戲”，是近年流行題型，這類問題關(guān)鍵是第一步，臺子要搭牢．

類型6：綜合類題型

高考對考生在知識方面及思維方面的不斷轉(zhuǎn)化提出了較高要求，頻繁出現(xiàn)有較強(qiáng)的綜合性和一定的思維深度，所涉及的知識點(diǎn)較多，內(nèi)涵豐富的應(yīng)用性問題．命題者從學(xué)科整體意義的高度考慮問題，注重知識之間的交叉、滲透和綜合，以檢驗(yàn)考生能否形成一個(gè)有序的網(wǎng)絡(luò)化知識體系，尤其是學(xué)科人的知識交匯非常明顯，有計(jì)算、有論證，題目新穎，區(qū)分度高．

例8．（2005年高考遼寧卷）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級．對每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品．

點(diǎn)評：該題綜合性較強(qiáng)，考查相互獨(dú)立事件的概率，隨機(jī)變量的分布列與期望，線性規(guī)劃的建立與求解，考查通過建模解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)準(zhǔn)確地從表中讀取相關(guān)數(shù)據(jù)，并合理為解題服務(wù)也至關(guān)重要，即考查考生識表能力．

總評：近年試題對應(yīng)用能力的考查符合學(xué)生的認(rèn)識水平，學(xué)生只要讀懂題目，就可以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用題背景貼近生活，公平，有較強(qiáng)的時(shí)代氣息，它不僅要考查考生的數(shù)學(xué)知識掌握的情況，而且考查學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)、數(shù)學(xué)的潛能，分析問題和解決問題的能力，有較強(qiáng)的實(shí)踐意義，對考生轉(zhuǎn)化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力及運(yùn)算能力都是很好的考查．近年高考的應(yīng)用題主要考查三種類型：一是由課本或其他書籍資料中原題改編的，與實(shí)際生活相關(guān)的應(yīng)用題；二是與橫向?qū)W科有聯(lián)系的應(yīng)用問題；三是從社會熱點(diǎn)出發(fā)，有實(shí)際生活背景，題意新穎的數(shù)學(xué)問題，無論是常規(guī)型還是概率型應(yīng)用題，解這類應(yīng)用題的基本思路都是在閱讀材料，理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究，得到數(shù)學(xué)問題的答案，然后再把數(shù)學(xué)問題的答案返回到實(shí)際問題中去，獲得有實(shí)際意義的結(jié)論．

4．（2005年高考北京卷）某段鐵路線上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列車運(yùn)行時(shí)刻表上，規(guī)定列車8時(shí)整從A站發(fā)車，8時(shí)07分到達(dá)B站并停車1分鐘，8時(shí)12分到達(dá)C站．在實(shí)際運(yùn)行中，假設(shè)列車從A站正點(diǎn)發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時(shí)以同一速度 勻速行駛，列車從A站到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)時(shí)間之差的絕對值稱為列車在該站的運(yùn)行誤差．（I）分別寫出列車在B、C兩站的運(yùn)行誤差;（II）若要求列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過2分鐘，求 的取值范圍．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF閱讀原文。”