“多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”教學(xué)活動設(shè)計

　　背景材料
　　
　　介紹背景：北京時間6月9日22點30分，2006年德國世界杯的開幕式在慕尼黑的安聯(lián)體育場拉開序幕，隨著德國總統(tǒng)克勒宣布大賽開幕，萬眾矚目的世界杯大賽正式開始。首場揭幕戰(zhàn)6月10日零點，德國VS哥斯達黎加，比賽地點是慕尼黑。
　　
　　問題提出
　　
　　足球雖然是球體，但實際是由正五邊形、正六邊形橡膠粘合成的多面體加工而成。試問：正五邊形、正六邊形橡皮各有多少塊呢？
　　
　　觀察
　　
　　每個小組發(fā)一個足球，讓學(xué)生進行觀察。各個小組仔細觀察足球的構(gòu)造，回答上述問題。
　　結(jié)論：
　　(1)每塊正五邊形橡皮周圍都是正六邊形橡皮。
　　(2)每兩個相鄰的多邊形恰有一條公共的邊。
　　(3)每個頂點處都有三塊橡皮，而且都遵循一個正五邊形、兩個正六邊形。
　　(4)共32個面，更進一步可以得到60個頂點，90條棱……
　　
　　思考
　　
　　僅有上面1～3的信息，能不能求出來足球共有多少個面？
　　這個問題，希望通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)之后，你能夠進行回答。
　　打開互動程序——多面體http://www.hudong-xuexi.com/check.do?func=1&moduleID=87。
　　
　　多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)
　　
　　實驗探索，歸納猜想
　　運行“多面體”互動程序（http://www.hudong-xuexi.com/check.do?func=1&moduleID=87），通過拖動鼠標(biāo)可以旋轉(zhuǎn)多面體，以便從不同角度觀察多面體，通過三維模型直觀性更強。如圖1所示。
　　學(xué)生分小組進行觀察、討論、總結(jié)，然后表述各自的觀點，最后共同總結(jié)出下述的結(jié)論。
　　
　　發(fā)現(xiàn)規(guī)律
　　以小組為單位對上面的表格進行討論，研究各個數(shù)值的關(guān)系。
　　結(jié)果：V+F-E=2。
　　
　　引申問題
　　
　　
　　
　　
　　圖２圖３
　　圖２是帶洞的多面體，圖３是兩個頂部相連的四面體，這時前面的結(jié)論還成立嗎？引導(dǎo)學(xué)生討論，引出前面結(jié)論的限制條件。
　　教師說明：上面的反例都不能被看成是“真正的”多面體，因為一個真正的多面體應(yīng)當(dāng)是無空穴的、無重疊的。
　　歸納簡單多面體的定義：連續(xù)變形中表面能變?yōu)橐粋€球面的多面體，叫做簡單多面體。
　　歐拉公式：對任何簡單的多面體，V+F-E=2成立。
　　
　　正多面體
　　運行“正多面體”互動程序（http://www.hu-dongxuexi.com/check.do?func=1&moduleID=88），如圖４所示。
　　正多面體只有五種，對于這五種多面體，仔細觀察完成表２。
　　正多面體的定義：每個面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個頂點為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體。
　　觀察思考：要求學(xué)生通過觀察，思考下列問題。
　　(1)對于正二十面體，每個面都是正三角形，從每個頂點出發(fā)3條棱，由這些條件能不能計算出它的頂點數(shù)？
　　(2)兩個相同的正四面體讓它們的一個面重合，這時是不是正多面體？
　　(3)除了歐拉公式之外，正多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F和棱數(shù)E之間還有沒有別的關(guān)系？
　　
　　典型例題
　　例1：1996年的諾貝爾化學(xué)獎授予對發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻的三位科學(xué)家。C60是由60個原子組成的分子，它的結(jié)構(gòu)為簡單多面體的結(jié)構(gòu)，這個多面體有60個頂點，從每個頂點都引出3條棱，各面的形狀分為五邊形或六邊形兩種，計算C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有多少？
　　解：設(shè)C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有x個和y個多面體的頂點數(shù)V=60，面數(shù)F=x+y，棱數(shù)E=
　　 (3×60)。根據(jù)歐拉公式，可得60+(x+y)-(3×60)=2。
　　另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來表示，即
　　 (5x+6y)=(3×60)。
　　由以上兩個方程可解出：x