“探究三角形內角和及其應用”教學片斷實錄

　　在教學中，借助幾何畫板，試圖以一種更嚴格的方式完成“探究三角形內角和及其應用”這部分的教學內容，并且不拘泥于教材，根據實際情況進行了適當拓展。在這里筆者選取了上課的部分實錄，以就教于廣大同仁。
　　
　　片斷一：任意三角形的內角和
　　
　　師：同學們，上一節我們學習了三角形的三邊關系，請大家回憶我們在小學學過三角形的內角和是多少呢，你能夠通過某種方式對你的結論進行說明嗎？
　　生1：我按照教材中的方法折疊得到三個內角可拼成一個平角，所以三角形的內角和為180°，如圖1所示。
　　生2：我是把三角形的三個內角用剪刀剪下，然后再拼可拼成一個平角。
　　生3：老師，我沒有剪刀，我用量角器測量三角形的三個內角的度數，三角形的三個內角的度數不等于180°，但是很接近180°，這是為什么呢？
　　師：你的想法很好，測量是最基本的方法之一，只是測量過程中有誤差，請同學們想一想有沒有更精確的測量工具。
　　生4：老師可以用上學期學過的幾何畫板測量三角形的三個內角的度數，然后再計算三角形的三個內角的和。
　　師：由于條件的限制，我只能讓幾個小組中的同學代表到計算機前探索。
　　學生操作結果如圖2所示。
　　生：（拖動A點，實現三角形任意變化）在拖動鼠標的過程中，三角形的各個內角任意變化，但是它們的和不變。
　　師：按照生1的方法，僅僅是研究了某一種三角形的內角和，由此得到的三角形內角和結論能不能推廣到普遍的情況呢？
　　學生對教師的提問展開了討論，最后達成共識，認為從特殊的三角形得出的結論不能簡單地進行推廣，并且認為生4用幾何畫板，由于在拖動A點的過程中，涵蓋了所有的三角形內角度數，計算結果仍然是180°，由此可以說所有三角形內角和是180°。
　　師：其實，生４所用的是我們數學中的一種方法——窮舉法。也就是把所有的可能情況都考慮到了，最后得出結論。
　　學生們的情緒高漲，此時我因勢利導，在上面問題的基礎上又提出了問題二。
　　
　　片斷二：四邊形內角和及其證明
　　
　　師：你們已探索出三角形的內角和是180°，那么請大家猜猜四邊形呢？
　　學生開始討論，并且有的學生提出，還可以用幾何畫板仿照三角形的方法來做。
　　
　　該學生分別拖動C點，實現了四邊形內角的部分變化，但是觀察到內角和為360°不發生變化。學生根據前面三角形的經驗，認為這樣也可以嚴格地推廣這一結論了。
　　師：大家仔細觀察，在C點被拖動的時候，是不是這個四邊形的任何角度都在變化？
　　生：（少數學生說）沒有，角A度數沒有變。
　　師：所以，當拖動C點時候，我們并沒有窮舉出所有的四邊形，而是找到了一類四邊形，能夠就由此說上述結論是普遍結論嗎？
　　學生沉默，似乎在反思自己的思考過程，又似乎在品味教師的話，偶爾有幾個學生交頭接耳議論。
　　有一個學生試探地說：可以用別的方法嗎？
　　師：歡迎大家突破已有的思維方式。
　　生1：我和同桌討論過，可以連接AC（或BD）后，可將四邊形變為兩個三角形的問題，如圖4所示。
　　
　　師：很好，非常好！你非常巧妙地把四邊形的問題轉化為三角形的問題，充分利用已經掌握的知識解決問題。
　　這個學生的發言引起了全班學生的討論，隨后又有其他學生提出了自己的解決方法。例如：
　　生2：如圖5在AB上取一點E，可將四邊形變為三個三角形減去一個平角。
　　生3：如圖6在四邊形ABCD內取一點，可將四邊形變為四個三角形減去一個周角。
　　生4：如圖7在四邊形ABCD外取一點，可將四邊形變為四個三角形的問題，可將四邊形變為兩個三角形的問題。
　　生5：如圖8延長DC與AB相交于點E，點E在四邊形ABCD外，可變成兩個平角與一個三角形的內角和再減去一個三角形的內角和，要比圖7的方法簡單。
　　師：同學們很有創意。下面我們用幾何畫板來驗證一種想法（驗證過程略）。
　　
　　片斷三：多邊形研究
　　
　　師：我們已經輕松地研究了三角形和四邊形的內角和問題，那么表1你能不能填寫上呢？
　　生1：用幾何畫板 4.06可以嗎？
　　生2：我認為完全可以不用。
　　……
　　師：我只能讓一組同學用幾何畫板，其他組就不能用了，建議你們開動腦筋，充分用你們的智慧來填寫表格。
　　學生分組學習，一個小組的學生用“幾何畫板”完成表格，其他學生進行討論，有的畫出多邊形進行測量，有的用上述研究四邊形內角和的方法充分利用已經掌握的三角形、四邊形內角和知識研究其他多邊形的內角和，還有的在評論別人的結果……
　　學生完成表格之后，引導他們觀察規律，最后得出任意多邊形的內角和公式。如表2所示。
　　
　　片斷四：三角形的外角和與多邊形的外角和
　　
　　師：內角的問題我們已經基本解決了，大家是不是愿意再研究一下外角呢？建議大家可以在課外時間對外角問題進行深入研究，并且展示你的研究結果。
　　課后學生利用幾何畫板研究了外角，下面是一個學生在課堂上匯報研究結果時候的操作步驟：
　　(1)在幾何畫板中畫三角形ABC；
　　(2)分別度量出∠DAC、∠FCB、∠EBC的度數；
　　(3)計算∠DAC+∠FCB+∠EBC的值；
　　(4)拖動三角形ABC的一個頂點A，發現外角和總是360°，保持不變。如圖9所示。
　　(5)用同樣方法可度量出四邊形、五邊形等多邊形的外角和。完成表3。
　　
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文