從一道判斷題說起

陳國新

2005年，廣東省佛山市南海區小學五年級數學期末考試卷中有一道判斷題，引起老師之間的爭論。題目是這樣的：相鄰兩個自然數是互質數()。

如果是以前，自然數從1開始，例如(1，2)＝1；(2，3)＝1(9，10)＝1，用輾轉相除法或輾轉相減法也可以證明其正確性。但現在0也是自然數，要判斷起來，的確有一定的難度。

而一些老師認為它是錯誤的，大致的觀點是互質數不應該考慮0。筆者認為，的確，小學階段研究整除時，一般不考慮0，這在教材中也有相應的說明。但既然題目中涉及有0，我們還是從它的定義來判斷，不能因為0的特殊性就武斷地認為它是錯誤的。要判斷0和1是不是互質數，就要看它們的最大公約數是不是1？

大家容易知道：1的約數只有1。但0的約數到底有多少，還要從整除、倍數和約數的概念人手。因為0÷1=0，所以0是1的倍數，1是0的約數。同樣，0÷2=0，所以0是2的倍數，2是0的約數。0÷3=0，所以0是3的倍數，3是0的約數?！?÷n=O，(n≠0)所以0是n的倍數，n是0的約數。也就是說，0的約數有無窮多個，1，2，3，4，……都是0的約數。這些結論在《簡明數論》中也有，與小學教材所說的并沒有矛盾。即0和1的公約數只有1，所以0和1是互質數。經過上述的論證，原命題是正確的。

我最近在函授本科學習期間，正好學習《簡明數論》，授課的老師正好是一位數論博士。我趁機請教了他，他認同了我的觀點。但他同時指出，“自然數”這個概念已經過時了，在數論學術界中幾乎沒有人再用它?？墒?，我們的教材中還有出現，且把0也歸人自然數中。

從上面對0的論述中又產生了新的問題。0是1的倍數，又是2的倍數，……這樣，0豈不是任意兩個(甚至多個)非0整數的最小公倍數，當然，這是不可能的。因為我們的小學教材中有特別的說明：研究整除，倍數和約數時，一般不考慮0。雖然如此，但還是不夠清晰，容易使人產生歧義。不妨借鑒一下《簡明數論》，書上是這樣定義的：“設整數a_{1,a2均不為零，我們把a1和a2的正的公倍數中的最小稱為a1和a2的最小公倍數。”因為小學階段沒有涉及正負數，所以筆者建議小學教材定義最小公倍數時最好能夠加上“除0外”。即“幾個整數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中(除0外)最小的一個稱為這幾個數的最小公倍數”。}

以上只是筆者的個人見解和一些不太成熟的建議，希望能夠拋磚引玉，引起大家的共鳴。

(選自《小學教學研究》)