架牢“直觀”到“抽象”的橋梁

人們習慣上會認為看不見摸不著的便是抽象的，而看得見摸得著的便是直觀的。因而，不少老師看到特級教師徐斌刊登在《小學數學教師》(2006年第7、8合刊)中的《算理直觀 算法抽象》一文后疑惑：算理直觀乎?算法抽象乎?

筆者認為，“算理直觀”與“算法抽象”是當今計算教學中不被我們廣大教師所重視的主要矛盾。“算理”是算的道理、依據，它看似抽象，但完全可以通過直觀的方式將其呈現出來，讓學生完全理解。“算法”是算的方法、形式，它看似直觀，但完全是人類不斷總結、抽象出來的結果，是抽象化的形式。在計算教學中，我們老師太注重讓學生掌握約定俗成的形式化的算法，而忽視抽象出這個算法過程中的算理。即使有不少老師能注意到借助直觀的方法幫助學生理解算理，但教師常常輕描淡寫地很快揭示所謂簡化算法，導致從直觀理解算理到揭示簡約抽象算法的中間出現斷層。學生雖然經過一定量的練習后能算對結果，但只是照葫蘆畫瓢反復機械模仿的結果，學生最終獲得的常常還是形式化的算法。所以徐斌老師現身說法，用看似“拙笨”的案例強烈呼吁：在算理直觀化與算法抽象性之間應該架設一座橋梁，鋪設一條道路，讓學生在充分體驗中完成思維的發展過程。

其實，“算理直觀”與“算法抽象”不只是計算教學中存在的主要矛盾，更是應用題教學中存在的主要矛盾。因為在計算教學中，如果教者忽視了直觀算理，學者通過反復模仿，仍舊能掌握抽象算法，仍舊能算對結果。但是，在應用題教學中，如果不重視直觀算理，就有可能使學生對某些題目的理解產生偏差。

以前的小學數學課本很重視數量關系式的訓練，并按題型一類一類地安排應用題的教學內容。教學時，教師往往在學生浮光掠影理解題意后就忙著揭示出題中抽象的數量關系式，讓學生去機械記憶，然后再按一定的程式指導學生根據抽象出的數量關系式亦步亦趨地去“分析”解題過程。當學生遇到解決同類型應用題時便按部就班去模仿，所以學生解決相關題型時正確率較高，但題型一變，學生往往就無從下手了。

這難道不是教師忽視了“算理直觀”與“算法抽象”的結果?正是針對這些弊端，如今的小學數學國標本教材中應用題的編排完全打破了原先的“題以類分”，并淡化抽象數量關系式的機械訓練，而強化對具體解題策略的充分探究，目的就是讓學生充分體驗從“直觀”到“抽象”的思維發展過程，有效提高學生解決生活中多變的實際問題的能力。然而，實際教學情形并不容樂觀，很多老師仍不重視為學生架牢從“直觀”到“抽象”的橋梁，不重視拓展，不重視解題策略的具體指導，教師只是就題講題，學生只能就題學題，學生的解題能力何以提高?

如一次數學檢測，命題人將練習中的“一張長方形彩紙，長12分米，寬9分米。如果將它裁成邊長是3分米的正方形，最多能裁出多少個?”這一題，改成：“一張長方形彩紙，長12分米，寬8分米。如果將它裁成邊長是3分米的正方形，最多能裁出多少個?”有的班級差不多全軍覆沒，學生基本上都是用：12x8÷(3x3)≈9(個)。究其原因，是老師只讓學生從原題中抽象出用“大面積除以小面積”的算法，而沒有讓學生直觀理解其中“除”的算理，學生怎么能不出錯?

如果討論這道練習時，在學生用除法算出12x9÷(3x3)＝12(個)后，老師不就此結束，而是讓學生將解答的結果畫出來，并使學生認識到，一排正好能畫12÷3＝4(個)，剛好畫了9÷3＝3(排)，一共有4x3＝12(個)。接著將原題中12改成10，9改成8，再讓學生算一算、畫一畫。結果，學生會發現算出的結果是10x8÷(3x3)≈8(個)，與畫出的結果6個大不相同。

這時，重點引導學生討論：為什么原題算的結果與畫的結果一樣，而改編后的不一樣?你發現了什么?因為“算理”讓學生直觀畫在了紙上，學生就能容易認識到兩道題的不同之處。讓學生掌握了畫圖的策略，理解了算式的算理，學生還會不分青紅皂白地用大面積去除以小面積嗎?

使用新教材后，不少老師還習慣穿著舊鞋，走著老路，而新教材淡化了應用題的題型類歸、淡化了數量關系的機械訓練，老路沒了，導致學生解題時少了原先堅實的輔助“拐杖”、標準的模仿“樣板”，解題正確率沒有使用老教材的學生高了。因而，不少教師認為這全是新教材惹的禍!真的全是新教材惹的禍嗎?新教材在建設之中，不能說一點問題也沒有，但是，我們教師在教學中如果能沉入學生的認知世界，在關鍵處，用一些看似“拙笨”的策略，為學生架牢從“直觀算理”到“抽象算法”之間的橋梁，使直觀數量關系到抽象的算式之間沒有斷層，讓學生充分體驗從“直觀算理”到“抽象算式”之間的過渡和演變過程，逐步完成從動作思維→形象思維→抽象思維的發展過程，讓學生深層次理解和切實把握應用題中的數量關系，并掌握一定的解題策略，學生解決問題的能力能不提高嗎?

(作者單位：金湖縣實驗小學)

責任編輯：王 偉