“余數(shù)”與“分類”

我們經(jīng)常運(yùn)用分類的方法解題，分類是要按一定的標(biāo)準(zhǔn)的，按自然數(shù)被某數(shù)除所得的余數(shù)進(jìn)行分類是數(shù)學(xué)中的一種常用方法，它往往能夠出其不意地解決一些難度較大的問(wèn)題。

【例1】求使8p²+1為素?cái)?shù)的所有素?cái)?shù)p．

[分析】要找到一個(gè)符合條件的素?cái)?shù)就很不容易，何況還要找到所有的符合條件的素?cái)?shù)。經(jīng)過(guò)多次嘗試后，也許你找到了一個(gè)數(shù)是3，但除此之外還有沒有其他的數(shù)呢?這是本題最大的難點(diǎn)。這里可以運(yùn)用余數(shù)分類法，即把所有的自然數(shù)按照被某數(shù)(本題定為3)除所得的余數(shù)進(jìn)行分類，然后再一一討論，得出答案。

【解】所有的自然數(shù)被3除所得的余數(shù)只有三種情況：0或1或2，按此把自然數(shù)分成3類：

1．若p=3k，則只有k=1時(shí)符合題意，此時(shí)p=3，其余情況與p為素?cái)?shù)矛盾。

2．若p=3k+1，則8p％1=8(3k+1)2+1=8(9k2+6k+1)+1=72kZ+48k+8+1=3(24k％16k+3)．

3．若p=3k+2，則8p²1=8(3k+2)²+1=8(9k％12k+4)十1=72k％96k+32+1=3(24k²+32k+11)．

后兩個(gè)結(jié)果都說(shuō)明8p²+1是3的倍數(shù)，不是素?cái)?shù)。

綜上所述，只有p=3時(shí)符合題意。

[點(diǎn)評(píng)]這種按照余數(shù)分類的方法在處理與素?cái)?shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)非常有效，它便于我們把所有的自然數(shù)都考察進(jìn)去，而不是盲目地一個(gè)一個(gè)地嘗試。

[誤區(qū)點(diǎn)拔]千萬(wàn)不能只經(jīng)過(guò)試驗(yàn)得出一個(gè)p=3就完事，一定要把“為什么只有3符合題意”的理由說(shuō)清楚。否則，本題的解答不能算是完美。

[例2]試證：任給5個(gè)整數(shù)，必能從中選出三個(gè)，使得它們的和能被3整除。

[分析]按這5個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)分類，再利用抽屈原理就可以解決。

[解]這5個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)只可能有0、1、2三種。

如果這5個(gè)數(shù)中被3除的余數(shù)三種情況都有，則余數(shù)為0、1、2的三個(gè)數(shù)之和必為3的倍數(shù)。

如果這5個(gè)數(shù)中被3除的余數(shù)中，至多只出現(xiàn)其中的兩種，則據(jù)抽屈原理，必有某一個(gè)余數(shù)至少出現(xiàn)過(guò)3次，這三個(gè)余數(shù)相同的數(shù)的和必為3的倍數(shù)。

綜上所述，不管哪種情況，都能保證從任給的5個(gè)數(shù)中選3個(gè)，使它們的和能被3整除。

[點(diǎn)評(píng)]按余數(shù)分類的解題方法比較靈活，有時(shí)不一定是按某數(shù)被3除的余數(shù)分類，至于要按某數(shù)被幾除的余數(shù)分類，那就要靠對(duì)題意的仔細(xì)思考和認(rèn)真分析了。