數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)

雷永生

我的老同學(xué)李浙生教授多年專攻數(shù)學(xué)哲學(xué)，在一九九二至一九九五年間連續(xù)出版了《數(shù)學(xué)科學(xué)與認(rèn)識(shí)論》和《數(shù)學(xué)科學(xué)與辯證法》兩本專著。這是兩本非常有價(jià)值的書(shū)，可惜的是，前者系自費(fèi)出版，印數(shù)極少；后者雖得到資助，但少得可憐，印數(shù)也極有限（作者出版這兩本書(shū)，不但沒(méi)有得到一分錢(qián)的稿酬，反而貼了不少錢(qián)），因而看到的人不多。不過(guò)，凡是看過(guò)這些書(shū)的人，不論是否同意作者的觀點(diǎn)，都認(rèn)為其價(jià)值在于求實(shí)與創(chuàng)新，特別是提出了許多非常重要的問(wèn)題，這些問(wèn)題對(duì)于激活人們的思維，無(wú)異于一副清涼劑和興奮劑。

這兩本書(shū)用極為豐富的數(shù)學(xué)發(fā)展史的資料論證數(shù)學(xué)與流行的辯證法（由黑格爾為其奠定基礎(chǔ)）和認(rèn)識(shí)論的關(guān)系，著力于說(shuō)明現(xiàn)行的辯證法和認(rèn)識(shí)論所講的規(guī)律不能包容數(shù)學(xué)發(fā)展的事實(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展及人對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)有其自己的特殊規(guī)律。

讓我們從書(shū)中隨便找?guī)讉€(gè)例子來(lái)看看吧：

十九世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾創(chuàng)立了只問(wèn)命題之真假（真命題取1值，假命題取0值）的二值邏輯。這看來(lái)是與辯證法所講的一分為二相符合的。但是，后來(lái)二十世紀(jì)的邏輯學(xué)家創(chuàng)立了三值邏輯（命題除了取1和0兩個(gè)值外，還可取1/2值）；二十世紀(jì)六十年代，數(shù)學(xué)家又創(chuàng)立了模糊數(shù)學(xué)和模糊邏輯，它們把命題可分成好多類。這樣，它們與辯證法就不一致了。如果說(shuō)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)和邏輯是一分為二的，那么，模糊數(shù)學(xué)和模糊邏輯就是一分為多的。這種發(fā)展表明人類的認(rèn)識(shí)更深入更細(xì)致更全面因而也更真實(shí)地體現(xiàn)了事物的本來(lái)面目。此其一。

概率論這一重要數(shù)學(xué)分支不是起源于生產(chǎn)斗爭(zhēng)、階級(jí)斗爭(zhēng)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐，而是起源于賭博，或者說(shuō)是起源于對(duì)賭博的研究。萊布尼茲曾鼓勵(lì)數(shù)學(xué)家研究賭博問(wèn)題，他說(shuō)：“我希望有一位高明的數(shù)學(xué)家能寫(xiě)一部大部頭著作來(lái)對(duì)各種各樣的賭博游戲作詳細(xì)的、很好的推理論證，這對(duì)于使發(fā)現(xiàn)的技術(shù)完善化是有很大用處的，人類心靈在賭博方面比在那些最嚴(yán)肅的事情上似乎顯得更精明。”萊布尼茲并不嗜賭，但他用數(shù)學(xué)眼光敏銳地看到賭博（以及所有的游戲）對(duì)于認(rèn)識(shí)的意義，這是非常高明的。本書(shū)作者認(rèn)為，“這一事實(shí)表明，游戲、娛樂(lè)活動(dòng)也是認(rèn)識(shí)的來(lái)源，也可形成理論”。我們反對(duì)賭博，但這并不妨礙我們對(duì)包括賭博在內(nèi)的游戲活動(dòng)進(jìn)行深入的研究。在這里，我想到瑞士心理學(xué)家皮亞杰以“活動(dòng)”概念來(lái)表述人的認(rèn)識(shí)來(lái)源，看來(lái)是更為全面的一種概括。此其二。

數(shù)學(xué)是最形式化、符號(hào)化的科學(xué)，因而形式與內(nèi)容的問(wèn)題在這里表現(xiàn)得非常奇特：形式常常脫離內(nèi)容而存在，而且數(shù)學(xué)越發(fā)展，它的形式就離內(nèi)容越遠(yuǎn)。這種現(xiàn)象的根源在于數(shù)學(xué)與經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系。雖然早期數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)驗(yàn)有很強(qiáng)的依賴性，但它很快發(fā)展了自身的獨(dú)立性，當(dāng)它依靠符號(hào)和演繹原則形成了自己的體系時(shí)，對(duì)經(jīng)驗(yàn)的依賴性就逐漸減少，獨(dú)立性愈來(lái)愈強(qiáng)，進(jìn)而發(fā)展到這樣的程度：數(shù)學(xué)中許多問(wèn)題的提出和解決，主要依靠邏輯的力量，以至完全變成形式化和符號(hào)化的科學(xué)。這種現(xiàn)象用傳統(tǒng)的辯證法關(guān)于形式與內(nèi)容的原理是無(wú)法解釋的。此其三。

自從黑格爾提出歷史的與邏輯的相統(tǒng)一的原則以來(lái)，人們已經(jīng)習(xí)慣于將認(rèn)識(shí)的歷史與認(rèn)識(shí)的邏輯看作是完全統(tǒng)一的。但是，這種觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上卻是不適用的。在數(shù)學(xué)史上，認(rèn)識(shí)的歷史與認(rèn)識(shí)的邏輯不一致的現(xiàn)象俯拾皆是。以微積分為例，它的認(rèn)識(shí)邏輯順序是：實(shí)數(shù)理論——極限理論——微積分運(yùn)算；而它的歷史發(fā)現(xiàn)的順序卻是：微積分運(yùn)算——極限理論——實(shí)數(shù)理論，兩者正好相反。其實(shí)，這種現(xiàn)象也并非只在數(shù)學(xué)中存在，這種現(xiàn)象說(shuō)明了科學(xué)發(fā)展史的復(fù)雜性，也表明了人類認(rèn)識(shí)的發(fā)展的豐富性，對(duì)這種現(xiàn)象，僅只用幾個(gè)抽象的公式、規(guī)律是難以概括的。此其四。

函數(shù)概念、曲線概念和幾何學(xué)的發(fā)展表明否定之否定規(guī)律沒(méi)有普遍性。最初，數(shù)學(xué)家用曲線表示函數(shù)，而十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家把函數(shù)作為解析表達(dá)式；十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家則認(rèn)為，函數(shù)是變量之間的關(guān)系。就函數(shù)概念的發(fā)展來(lái)說(shuō)，如果把十八世紀(jì)以前的將函數(shù)作為曲線的觀點(diǎn)作為正題，那么，十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家將函數(shù)作為解析表達(dá)式的觀點(diǎn)就是反題，就是十八世紀(jì)以前的函數(shù)觀點(diǎn)的否定。而十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家把函數(shù)看作變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則應(yīng)是否定之否定。然而，在十九世紀(jì)的函數(shù)觀點(diǎn)里，既沒(méi)有前兩種觀點(diǎn)的融合，也沒(méi)有向第一種觀點(diǎn)的回歸，因?yàn)檫@種觀點(diǎn)既是對(duì)把函數(shù)作為解析表達(dá)式的否定，也是對(duì)把函數(shù)作為曲線的觀點(diǎn)的否定。此其五。

舉例至此為止，復(fù)述書(shū)的內(nèi)容究竟不是本文的任務(wù)。在這里我要向讀者坦述的是我讀過(guò)這兩本專著后的感想。

多少年來(lái)，在我們這里也曾不斷地鼓噪過(guò)“反對(duì)教條主義”，但總給人以滑稽的感覺(jué)，因?yàn)槌３Ｊ且孕陆虠l反對(duì)舊教條，所以結(jié)果總是舊教條被壓下去，而新教條則大行其道（現(xiàn)在有人甚至把“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”也當(dāng)作教條）。其源蓋出于把某種理論、原理絕對(duì)化，將其封為放之四海而皆準(zhǔn)的絕對(duì)真理。就像我們的哲學(xué)教科書(shū)所說(shuō)的：這里所講的辯證法和認(rèn)識(shí)論的諸原理是關(guān)于整個(gè)世界，包括客觀世界和主觀世界的普遍規(guī)律。同時(shí)它還告訴我們：真理只有一個(gè)，除了這里所講的以外，都是錯(cuò)誤的、資產(chǎn)階級(jí)的甚至封建主義的謬誤。既然真理就在這里，我們就地膜拜吧，于是，這些原理也就成了教條。

其實(shí)，古今中外，從來(lái)沒(méi)有這樣的絕對(duì)真理。凡是具有科學(xué)精神的人都是非常小心地對(duì)待自己的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的，都努力尋找自己的理論的邊界即適用范圍，絕不愿夸大它的界限和意義，更不愿將它變成教條。只有那些具有科學(xué)野心甚至政治野心的人，才不知天高地厚地賦予自己的理論以絕對(duì)性。波普的“證偽”理論奠基于科學(xué)真理的相對(duì)性之上，認(rèn)為不能證偽的理論就不是真理，而可以證偽的理論都是相對(duì)的。這就從根本上克服了教條主義，因?yàn)椴徽搶?duì)任何理論都得去研究它的適用范圍。現(xiàn)在，李浙生教授的專著實(shí)際上就是從數(shù)學(xué)方面證偽了流行的認(rèn)識(shí)論和辯證法，這表面上看似貶低了它們，實(shí)際上則是將其放置在更合理的地位上，并且避免了陷入教條主義的危險(xiǎn)，這豈不是好事？如果還有人怒氣沖沖地不允許對(duì)他們的認(rèn)識(shí)論和辯證法進(jìn)行證偽的話，那我們只能悄悄地告訴他們：這樣不好，這有使你們的理論變成非真理的危險(xiǎn)。