基于四階Newton-Cotes公式優化背景值的灰色自記憶模型研究及應用

張高鋒，馬 艷，程 龍，茍耀峰，孫小敏

(1.中國電建集團西北勘測設計研究院有限公司,西安 710065；2.西安市二次供水管理中心,西安 710016；3.西安市高新區農業農村和水務局，西安 710076)

0 前 言

水是生命之源、生產之要、生態之基，隨著經濟社會快速發展，地區用水需求呈現快速增長趨勢，水資源供需矛盾日益凸顯?？茖W合理的預測經濟社會發展用水需求，是地區水資源規劃的基礎和前提，對于保障地區經濟社會發展用水，合理確定供水工程規模具有重要意義。目前水資源規劃主要采用定額法、趨勢法等進行經濟社會發展需水預測，但現有方法計算成果往往與實際存在較大偏差。為進一步提高規劃設計中需水預測成果的準確性，急需探索新的預測理論與方法，為地區用水量預測提供科學依據。

始于20世紀80年代的灰色預測技術，以其對需水預測等研究對象存在的“小樣本”“貧信息”有效處理，而受到國內外學者的廣泛關注[1-2]。為了進一步提高模型精度和穩定性，2003年范習輝[3]率先將灰色預測模型與自憶性原理相結合，構建了具有記憶功能的灰色自記憶模型，隨后灰色自記憶模型在徑流預報[4]、凌汛水位預報[5]、降水量預測[6]、地下水位變化[7]、水電站入庫徑流預報[8]、城市用水量預測[9]等領域得到應用，取得一定成效，但模型精度仍有待提高。

眾所周知，灰色自記憶模型的回溯階和灰色系統動力核形式是影響灰色自記憶模型預測精度的2個重要因素，其中回溯階選取可采用試算法確定，灰色系統動力核的形式則取決于灰色微分方程的發展系數a和灰作用量b，而a和b兩個參數求解又依賴于灰色微分方程背景值的構造形式[9]。因此，構建更加科學合理的背景值成為提高灰色自記憶模型精度的關鍵。本文從影響灰色自記憶模型精度的動力核形式出發，通過對灰色微分方程的背景值進行優化，在此基礎上構建基于背景值優化的灰色自記憶模型，并將其應用于地區需水預測中，以期為水資源規劃中需水預測提供新的依據。

1 灰色自記憶模型

設有原始時間系列X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)},將其按照下列累加生成新的數列：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

(1)

對于新數列建立一階線性微分方程：

其中：a為發展系數，b為灰作用量，按照公式(3)計算。

(4)

計算出灰色微分方程參數a、b后，將公式(2)移項得到dX(1)(t)/dt=-aX(1)(t)+b，將此微分方程作為動力核，運用自憶性原理即可建立灰色自記憶模型：

式中： αi,θi為記憶系數，yi=1/2(xi+xi+1)，f(x,i)為動力核，p為回溯階。

若令

則公式(5)可寫成如下的矩陣形式

X=YA+FW

(7)

2 基于四階Newton-Cotes公式優化背景值的灰色微分方程

從灰色自記憶模型的建模理論可知，灰色微分方程背景值的構造形式，對于灰色自記憶模型的精度具有重要影響，傳統灰色微分方程背景值采用原始系列一階累加值相鄰數據均值進行計算，即采用梯形公式進行構造，而實際背景值為一條曲邊梯形(如圖1)，圖中陰影部分即為采用梯形公式構建背景值所產生的誤差。為了進一步提高模型精度，應用四階Newton-Cotes求積公式對灰色微分方程背景值進行優化。

圖1 實際背景值與構造背景值對比

將區間[n-1,n]=[a,b]劃分為n等分，則區間上任一等距節點xk=a+kh，k=0,1…,4，步長h=(b-a)/n，則曲邊梯形面積z(1)(n)可近似按照下式計算：

當n=4，b-a=1時，則得：

+7f(t4)]+Rn(f)

公式(10)即為四階Newton-Cotes求積公式優化后的背景值公式，將公式(10)帶入灰色微分方程即可得到四階Newton-Cotes公式背景值優化后的灰色微分方程：

將公式(11)作為動力核，即可構建基于四階Newton-Cotes公式優化背景值的灰色自記憶模型，并進行擬合及預測。

3 應用實例

城市需水既包含已知信息，又包含未知信息或未確定信息，屬于灰色系統[9]。根據上述建模思路，選取北京市1995—2015年用水量作為建模樣本，建立基于四階Newton-Cotes求積公式優化背景值的灰色微分方程如下：

將公式(12)作為動力核，進一步建立基于四階Newton-Cotes求積公式優化背景值的灰色自記憶模型。取回溯階p=6，則模型記憶系數為：

α=[0.1600 -0.4112 0.5893 -0.9702 0.9352 -0.9179 1.6290]T

θ=[0.0756 0.0832 0.0623 0.1039 0.0370 0.1285 0.0032]T

(13)

求出記憶系數后，即可用所建模型對北京市2016—2020年用水量進行預測。模型擬合及預測結果見表1、圖2。由于回溯階取p=6，所以1995—2001年用水量無擬合值。

表1 基于四階Newton-Cotes求積公式優化背景值的灰色自記憶模型擬合及預測值

從表1可知，基于四階Newton-Cotes求積公式優化背景值的灰色自記憶模型擬合和預測效果較好，模型最大相對誤差3.93%，平均相對誤差-0.4%。采用后驗差法[15]對所建模型精度進行評價，檢驗標準見表2，評價結果見表3。從檢驗結果可知，模型擬合部分后驗差比值C=0.30，小概率誤差P=1.00，模型精度好；模型預測部分后驗差比值C偏大(C=0.62)，小概率誤差P減小(P=0.80)，模型精度合格，這主要因為2019年實際用水量發生較大突變，出現了極值，加之預測部分樣本較少，一旦某個預測值與實際值相差較大，都會極大的影響預測部分精度。但總體上來看，模型后驗差比值C=0.4，小概率誤差P=0.95，模型精度等級合格，能夠滿足實際應用要求。

圖2 基于四階Newton-Cotes求積公式優化背景值的灰色自記憶模型擬合及預測

表2 后驗差檢驗標準

表3 模型擬合結果檢驗統計

4 結 論

本文針對現有需水預測方法計算成果往往與實際存在較大差距問題，從城市需水的灰色特性出發，通過對灰色微分方程的背景值進行優化，在此基礎上構建基于背景值優化的灰色自記憶模型進行城市需水模擬和預測，得出結論如下：

(1) 需水預測屬部分信息已知，部分信息未知的灰色系統，以往的灰色自記憶模型采用的灰色微分方程背景值按照原始系列一階累加值相鄰數據均值進行計算，而灰色微分方程實際背景值為一條曲邊梯形，探討灰色微分方程背景值優化方法，對于提高模型精度具有重要意義。

(2) 采用四階Newton-Cotes求積公式對灰色微分方程背景值進行優化，并結合自記憶理論，構建了基于四階Newton-Cotes求積公式優化背景值的灰色自記憶模型；通過在用水量預測值應用，表明模型精度總體較好，可作為水資源規劃設計中需水預測的依據。

(3) 從模型擬合和預測部分精度看，擬合部分精度好，達到一級標準，預測部分受樣本數較少以及2019年用水量發生突變等影響，精度有所降低，達到合格等級，這也表明對于極值預測效果，該模型精度有待進一步提高。