課題進(jìn)課堂 課堂潤課題

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2025）26-0009-03

一、緣起

為推進(jìn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的研究，深化“課題進(jìn)課堂”初中項(xiàng)目實(shí)踐，優(yōu)化課堂教學(xué)生態(tài)，提升教科研工作的引領(lǐng)性和實(shí)效性，無錫市教育科學(xué)研究院舉辦了“課題進(jìn)課堂\"研究共同體初中教學(xué)研討活動(dòng).在此活動(dòng)的數(shù)學(xué)專場中，倪雯和尤曉珍兩位教師分別執(zhí)教了“4.1從問題到方程”展示課.作為該專場的點(diǎn)評(píng)專家，筆者將在新課標(biāo)理念指引下，就本節(jié)課教學(xué)實(shí)踐提出若干新視角下的關(guān)注點(diǎn).

二、課題進(jìn)課堂

倪老師的課依托課題“深度學(xué)習(xí)的教學(xué)變革研究”，可用三個(gè)“透”概括：主題深透、教師引透、學(xué)生悟透.整節(jié)課按四個(gè)環(huán)節(jié)展開：

1.活動(dòng)導(dǎo)入.以“猜年齡\"活動(dòng)引入，既拉近師生距離，也引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用算式或方程解決問題.通過活動(dòng)體驗(yàn)，學(xué)生能感受到用數(shù)學(xué)式子表達(dá)問題的簡潔性，并體會(huì)到方程的順向思維比算式的逆向思維更明晰.

2.問題探究.通過五個(gè)不同的實(shí)際問題，讓學(xué)生經(jīng)歷從問題到方程的完整過程，提煉建模方法.該環(huán)節(jié)旨在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，有效提升其抽象能力.

3.新知建構(gòu).引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所列方程進(jìn)行分類，觀察、比較后抽象出不同方程的共同特征，歸納出一元一次方程的定義，再輔以題組訓(xùn)練強(qiáng)化對(duì)定義的理解和掌握.

4.總結(jié)歸理.從四個(gè)層面進(jìn)行系統(tǒng)梳理：（1）知識(shí)層面：明確一元一次方程的定義；（2）方法層面：總結(jié)從問題到方程的步驟，以及從特殊到一般的定義歸納方法；（3）思想層面：滲透分類思想與建模思想；（4）素養(yǎng)層面：引導(dǎo)學(xué)生思考之后還可能學(xué)習(xí)與方程有關(guān)的哪些內(nèi)容.

尤老師的課依托課題“‘以學(xué)定教'促使初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程最優(yōu)化的實(shí)踐探究”，可用三個(gè)“通”概括：境脈聯(lián)通、內(nèi)外融通、學(xué)用貫通.整節(jié)課按以下六個(gè)環(huán)節(jié)展開：

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課.由法律“天平”與生活中的天平引入，創(chuàng)設(shè)貼近生活且具趣味性的情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助其進(jìn)一步體會(huì)相等關(guān)系，實(shí)現(xiàn)師生互動(dòng)，自然引入課題.

2.合作探究，感悟新知.引導(dǎo)學(xué)生給“鹽的重量\"賦予一個(gè)字母，初步感受方程，為后續(xù)深人學(xué)習(xí)方程知識(shí)奠定基礎(chǔ).

3.探究問題，初步體驗(yàn)方程.設(shè)置三個(gè)活動(dòng)：活動(dòng)一設(shè)置籃球聯(lián)賽相關(guān)問題，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)用方程解決問題的簡便性；活動(dòng)二通過列方程，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)問題中的相等關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)方程本質(zhì)的理解；活動(dòng)三通過設(shè)計(jì)題組求參練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納與理解一元一次方程的定義.

4.剖析問題，建立方程模型.借助插花和種樹兩類問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“從問題到方程”的建模過程，將直接經(jīng)驗(yàn)上升為數(shù)學(xué)認(rèn)知.

5.回歸問題，學(xué)會(huì)應(yīng)用方程.通過“百僧百饅”

“以繩測井”等古代數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)代演繹，激發(fā)學(xué)生運(yùn)用方程解決問題的興趣，讓學(xué)生深刻感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型.

6.小結(jié)提升，感受方程魅力.引導(dǎo)學(xué)生回顧從問題到方程的過程，結(jié)合小學(xué)簡易方程圖及本章的章前圖梳理知識(shí)，明確知識(shí)起點(diǎn)與發(fā)展路徑，感受方程魅力.

兩項(xiàng)課題的共同點(diǎn)是以“任務(wù)導(dǎo)學(xué)、自主和合作”為驅(qū)動(dòng)，變革學(xué)習(xí)、教學(xué)與評(píng)價(jià)方式，實(shí)現(xiàn)學(xué)生全面而有個(gè)性地成長.倪老師和尤老師展示課的精彩之處正源于此.

三、課堂潤課題

立足新課程與新課標(biāo)，展望基于課堂教學(xué)的課題研究，筆者認(rèn)為可以重點(diǎn)關(guān)注以下四個(gè)方面，以課堂出彩促進(jìn)課題研究的深化.

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律

“4.1從問題到方程\"這一課題設(shè)計(jì)頗為“別致”.編者的意圖在于表明研究方程是出于解決實(shí)際問題的需要，引導(dǎo)學(xué)生通過明確實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元一次方程，體現(xiàn)方程是解決實(shí)際問題的有效模型.在實(shí)際教學(xué)中，教師設(shè)置豐富的問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程，從而深化對(duì)方程模型的理解.這種“由外而內(nèi)”的設(shè)計(jì)策略符合初一學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，但缺乏“數(shù)學(xué)味”，尤其缺少從“數(shù)”到“式”再到“方程\"的傳承.因此，本節(jié)課可嘗試如下類比導(dǎo)入：

問題1：請(qǐng)任意舉出兩個(gè)數(shù)，你可以比較它們的大小嗎？

問題2：任意舉出兩個(gè)整式，你可以比較它們的大小嗎？

教師引導(dǎo)：由數(shù)到整式，是數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步.整式含有字母，表達(dá)的意義更抽象.為什么第3章\"代數(shù)式”沒有研究整式的大小關(guān)系？從剛才的分析可知，兩個(gè)整式的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，不像兩個(gè)數(shù)那樣可以直接比較，而是分成多種情況.當(dāng)字母取不同值時(shí)，兩個(gè)整式的數(shù)量關(guān)系可能是大于、小于或等于，如 x+1 和 x 可直接看出 x+1gt;x ，但 x+1 和1-x 呢？你能直接看出它們的關(guān)系嗎？我們先來研究一種最特殊的關(guān)系——相等，如 x+1=1-x ，我們把這樣的等式叫作方程.

由此可以讓學(xué)生領(lǐng)悟到：從“數(shù)\"到“方程”是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然趨勢(shì)．

（二）關(guān)注數(shù)學(xué)建模過程

史寧中教授認(rèn)為，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展本質(zhì)上是學(xué)生自己“悟”出來的，是學(xué)生通過獨(dú)立思考，以及與他人討論反思后逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣.從核心素養(yǎng)培育角度看初中數(shù)學(xué)教學(xué)，一個(gè)重要舉措是給予學(xué)生“悟”的機(jī)會(huì)，而“悟”的本質(zhì)正是深度學(xué)習(xí)與深度思考.

本節(jié)課以不同方式描述實(shí)際問題中數(shù)量間的相等關(guān)系，使學(xué)生體會(huì)到用方程描述這種相等關(guān)系是最簡潔的.以課本中的籃球聯(lián)賽問題為例，教師需思考：是否給學(xué)生讀題機(jī)會(huì)？學(xué)生是否理解了題意？數(shù)量間的相等關(guān)系學(xué)生會(huì)找嗎？學(xué)生能合理設(shè)未知數(shù)嗎？方程真的容易列出來嗎？

無錫市惠山區(qū)指向?qū)W生核心素養(yǎng)培育的“三生\"課堂是良好范例，它回歸課堂“生活\"本真，尊重學(xué)生“安靜讀書”\"專注思考”\"完整表達(dá)\"“規(guī)范操練”的權(quán)利.不過，課堂規(guī)則設(shè)定需符合常理，例如籃球聯(lián)賽規(guī)則本為勝一場得2分，負(fù)一場得1分，而課堂上教師直接修改為勝一場得2分，平一場得1分，負(fù)一場扣1分，這種修改并不合常理.

“三生\"課堂的第二個(gè)樣態(tài)是強(qiáng)化課堂的有效“生成”，確立對(duì)話關(guān)系，構(gòu)建對(duì)話文化，創(chuàng)設(shè)對(duì)話情境，搭建對(duì)話平臺(tái)，在對(duì)話中生成優(yōu)質(zhì)的教學(xué)話題、清晰的思維路徑和有效的問題解決方法.

本節(jié)課的目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生通過比較得出“用方程描述相等關(guān)系最簡潔\"的結(jié)論.然而，實(shí)際教學(xué)中常見的情形是：教師出示問題后，往往是少數(shù)“尖子生”直接列出方程，教師再追問相等關(guān)系.以教材中的籃球聯(lián)賽問題為例：設(shè)勝 x 場，負(fù) （12-x） 場，不少學(xué)生所列的方程為 x+（12-x）=12. 其實(shí)這是一個(gè)二元情境，數(shù)量間有兩個(gè)相等關(guān)系.現(xiàn)在設(shè)了勝 x 場，負(fù)的場數(shù)用含 x 的代數(shù)式表示，是基于其中的一個(gè)相等關(guān)系.因此，列方程應(yīng)找另一個(gè)相等關(guān)系.這樣的建模過程，才是我們希望看到的課堂生成樣態(tài).

（三）關(guān)注學(xué)科育人契機(jī)

新課標(biāo)提出學(xué)科育人要求，因此教學(xué)應(yīng)從“立德樹人，培養(yǎng)核心素養(yǎng)\"的總目標(biāo)出發(fā).在日常教學(xué)中，教師應(yīng)向?qū)W生滲透中國古代數(shù)學(xué)史中方程領(lǐng)域的巨大成就、數(shù)學(xué)思想方法以及中國數(shù)學(xué)家的智慧，以增強(qiáng)學(xué)生的文化自信.例如，“元\"作為未知數(shù)的表述，源于我國宋元時(shí)期的“天元術(shù)”，它是中國古代數(shù)學(xué)家利用未知數(shù)列方程的一般方法.

教材中有一道我國古代數(shù)學(xué)題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺.問繩長、井深各幾何？2024年全國不少省市的中考題都出現(xiàn)了類似問題，且都對(duì)其做了充分解釋.從考試的科學(xué)性與公平性來看，這種做法可以理解，但教學(xué)不等于考試.新課標(biāo)倡導(dǎo)綜合與實(shí)踐的教學(xué)以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力、社會(huì)擔(dān)當(dāng)?shù)染C合品質(zhì).因此，建議教學(xué)時(shí)先出示原文，讓學(xué)生翻譯，再通過“做數(shù)學(xué)”再現(xiàn)“以繩測井\"實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)三大必備素養(yǎng).

此外，“以繩測井”問題采用兩種方式表示同一個(gè)事物，從而得到一個(gè)等式，這種策略在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛.例如，七年級(jí)下冊(cè)“乘法公式\"的推導(dǎo)和八年級(jí)上冊(cè)“勾股定理”的證明等均是用不同的方法計(jì)算同一圖形的面積，得出數(shù)量之間的關(guān)系式，體現(xiàn)數(shù)與形的完美結(jié)合.更為重要的是，該方法還體現(xiàn)了一種思維方式：從不同角度研究同一個(gè)對(duì)象，常能發(fā)現(xiàn)新結(jié)論.這有助于后續(xù)“圖形的性質(zhì)”的研究，甚至可延伸至多元評(píng)價(jià)等方面.

這也是“三生\"課堂該有的第三個(gè)樣態(tài)：塑造課堂的鮮活“生命”，注重多種學(xué)習(xí)方式的綜合運(yùn)用，注重個(gè)性與品質(zhì)塑造，注重思維與精神成長，使課堂充滿智慧與靈性.這樣的教學(xué)猶如太湖石的靈動(dòng)：既有“瘦\"的簡約（方程模型）、“皺”的生動(dòng)（做數(shù)學(xué)），又有“漏\"的留白（悟的機(jī)會(huì)）、“透”的深刻（數(shù)學(xué)育人）.

（四）關(guān)注單元教學(xué)結(jié)構(gòu)

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注的是知識(shí)間的橫向聯(lián)系與縱向貫通，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的整體性及數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在一致性.因此，應(yīng)圍繞主題從單元角度來設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)，實(shí)現(xiàn)多元化目標(biāo)的有機(jī)融合，體現(xiàn)知識(shí)的聯(lián)系性與內(nèi)容的整體性.

在數(shù)學(xué)單元教學(xué)中，為避免知識(shí)的碎片化，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決真實(shí)問題的完整過程.具體而言，當(dāng)學(xué)生面對(duì)一個(gè)完整的真實(shí)問題時(shí)，能在解決問題的過程中自主發(fā)現(xiàn)、歸納和提煉數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展核心素養(yǎng).從這個(gè)層面看，單元教學(xué)的課堂結(jié)構(gòu)應(yīng)從原來的“分一總\"轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱傄环忠豢偂?

本節(jié)課是“一元一次方程\"單元的第一課時(shí)，學(xué)生直接面對(duì)具有挑戰(zhàn)性的問題解決任務(wù)，經(jīng)歷完整的問題解決過程，從中發(fā)現(xiàn)并提出“一元一次方程”概念，然后類比有理數(shù)、代數(shù)式的研究方法，從結(jié)構(gòu)上將其納入已有知識(shí)體系，形成對(duì)單元知識(shí)的整體認(rèn)知.方程的解、解方程的概念、一元一次方程的解法等具體內(nèi)容，均在反思問題解決過程中被提煉出來.

接下來，分別深入討論一元一次方程的概念、解一元一次方程和用一元一次方程解決問題.這三部分可作為三個(gè)小單元進(jìn)行整合，而在每個(gè)小單元中也可以確定一個(gè)主題，并按照“總一分一總\"的結(jié)構(gòu)開展教學(xué).

最后一個(gè)“總\"和第一個(gè)“總\"相呼應(yīng)，再次反思一元一次方程研究的內(nèi)容與方法，明確方程模型思想，并在化歸思路與靈活性上實(shí)現(xiàn)提升.可進(jìn)一步提出問題：

某超市的水果價(jià)格如圖1所示.（1）試說明方程 15-3.2x=

2.2的實(shí)際意義；（2）仿照（1），編寫幾個(gè)方程，

說明其實(shí)際意義，并與同學(xué)交流.

圖1

尤老師在課末出示的思考題“根據(jù)方程 2x+ 3（x-4）=58 創(chuàng)編一道貼近現(xiàn)實(shí)生活的題目”，筆者認(rèn)為置于本單元第一課時(shí)略顯倉促.教材對(duì)本單元的整體設(shè)計(jì)思路分為三步：“從問題到方程”（“由外而內(nèi)\"獲得研究對(duì)象、“解方程”（“數(shù)學(xué)內(nèi)部\"探索研究對(duì)象、“用方程解決問題\"（“由內(nèi)而外\"應(yīng)用研究對(duì)象）.最后一個(gè)“總”旨在應(yīng)用方程模型解釋現(xiàn)實(shí)情境，從而實(shí)現(xiàn)“由外而內(nèi)\"到“由內(nèi)而外”的真正融通.

因此，教材在章末小結(jié)與思考前設(shè)置了數(shù)學(xué)活動(dòng)“一元一次方程應(yīng)用的調(diào)查”（詳見教材第114頁），目的在于讓學(xué)生在調(diào)查和收集資料的基礎(chǔ)上，自主提出一個(gè)可用一元一次方程解決的實(shí)際問題，然后求解這個(gè)方程并合理解釋方程解的實(shí)際意義.筆者認(rèn)為，這樣編制的問題才是真問題，獲得的方程才是真方程，作出的解釋才有真價(jià)值.學(xué)生在此過程中獲得的體驗(yàn)是真體驗(yàn)，發(fā)展的素養(yǎng)也是真素養(yǎng).

四、結(jié)束語

課題進(jìn)課堂，課堂潤課題.相信在無錫市教育科學(xué)研究院的引領(lǐng)與各項(xiàng)目學(xué)校的深耕實(shí)踐下，課題與課堂相互印證、相互滋養(yǎng)、相互提升的路徑必將越走越堅(jiān)實(shí)、越走越深遠(yuǎn)、越走越開闊.

[參考文獻(xiàn)］

[1］楊裕前，董林偉.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)[M].南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版M.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022

[3]劉乃志.“整體數(shù)學(xué)”教學(xué)研究與實(shí)踐探索[M].北京：中國國際廣播出版社，2021.

（責(zé)任編輯 黃春香）