一題多解啟思維 深度學習提素養

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2025）26-0023-03

深度學習強調通過深度思考、知識聯結與遷移應用，實現對知識的深度理解與內化，進而培養學生的元認知能力、問題解決能力及學科核心素養.本文基于深度學習理論，以“一題多解”為切入點，引導學生運用中位線法、“化斜為直\"法、構造法、建系法等方法解題，以拓寬學生思維，幫助其在代數與幾何思維轉換中重構認知圖式，將解題經驗轉化為可遷移的數學思想方法，使幾何直觀、推理能力等核心素養在問題解決過程中自然生成，構建“解法多樣性 $$ 認知結構化 $$ 素養整體性”的發展路徑.

一、問題呈現

如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，點 E，F 分別是邊 AB，BC 的中點，連接 EC，DF 交于點 P ，點 G，H 分別是 EC ，DF 的中點，連接 GH ，則 GH 的長度為——

圖1

二、題目分析

（-） 條件分析

在正方形ABCD中，對邊平行且相等，鄰邊相等且互相垂直.已知點 _G，H 分別是 EC，DF 的中點，根據中點定義，有 ，且 AE= ！ 在Rt△BCE中，由勾股定理得 EC²=BE²+BC² ，可算出 EC= ，同理可得 因三邊分別相等，可證ΔBCE?ΔCDF（SSS） ，根據全等三角形性質可得DF⊥CE ，且 此時，可巧用三角形的中位線或倍長中線求 GH

（二）圖形分析

從圖形整體看，正方形具有對稱性，可通過建立平面直角坐標系，標出點 ^G，H 的坐標，再利用兩點間距離公式求出 GH. 對圖形局部進行分析，聯想到“十字型”全等和“子母型”相似，圖中有多對直角三角形相似，如 ΔBCE～ΔPCF. 由此，可想到求解GH的另一種方法：以 GH 是 RtΔGHP 的斜邊為出發點，運用勾股定理，或者采用“化斜為直\"法求解.

三、解法探究

（一）直接求解

在 RtΔGHP 中運用勾股定理求 GH ，有 GH²= GP²+HP² ，故需要先求出 GP 和 HP

解法1：利用線段和差關系求 GP 和 HP. 通過推理易得 DF⊥CE ，因此利用\"子母型\"相似模型易證ΔCPF～ΔCBE ，得 故 業 由中點的定義得 HF= ，所以 再運用線段的和差關系求得 因此，在 RtΔGPH 中，由勾股定理得 GH=

解法2：運用射影定理求GP 和 HP. 如圖 2，G，F 分別是EC 和 BC 的中點，連接 GF ，則_GF 是 ΔBCE 的中位線，有 ，且 ΔGFC 是直角三角形.根據射影定理 ΔGFC～ΔGPF ，得 FG²= CG?GP ，因為 EC=√5，所以GP=√5 ，再利用 （20 FP²=GP?CP ，得 FP= 所以 因此，解得

圖2

（二）運用中位線法

有中點可通過添加中位線、無中點可通過構建中位線來確定線段的數量關系；當條件中有線段中點時，可通過補全三角形利用中位線的性質來解決問題.

解法3：補全三角形運用中位線.

【思路1通過作輔助線構造中位線 GH. 如圖3-1，連接CH并延長交 AD 于 Q ，由 AD// BC 得內錯角 ∠CFH=∠QDH ∠DQH=∠FCH ，又因 H 是 DF 的中點，得 FH=DH ，則有ΔDHQ?ΔFHC（AAS） ，依據全等三角形對應邊相等的性質易得 H，Q 分別是CQ，AD 的中點，再連接 EQ ，即構造出 GH 為 ΔcEQ 的中位線.根據三角形中位線性質，有 ，易得 因此，解得 ：

圖3-1

【思路2】在思路1的基礎上，有 E，Q 均為中點，故連接BD.如圖3-2，有 因此，解得

圖3-2

解法4：以 H 是 FD 的中點為出發點.如圖4，連接 FG 并延長，過點 D 作 OD//GH 交 FG 延長線于點 o 可證得 GH 是ΔODF 的中位線， G 是 oF 的中點，即 延長 FO 交AD 于 Q ，易證 FQ⊥AD. 因為 OF=2GF=BE=2 所以 OQ=FQ-OF=2. 在 RtΔOQD 中，由勾股定理得 OD²=OQ²+QD²， 計算得""因此，解得"

圖4

（三）運用“化斜為直”法

將斜三角形轉化為直角三角形解決問題.

解法5：如圖5，連接 FG 并 延長，過 H 作 MO⊥OF ，交 CD 于 M ，交 FG 延長線于點 易證 得四邊形OFCM是正方形，再由“8”字型全等模型 得 ΔOFH?ΔMDH（ASA） ，則 （24號 又因為 由勾股定理求得

圖5

解法6：如圖6，連接 FG 并延長交 AD 于點 Q ，過 H 作 HO⊥QF 交 QF 于點 O. 可知 Q 是 AD 的中點，且 FQ⊥AD ，由 OH 是 ΔDQF 的中位線得 又因為 GF=1 ，則 OG=OF-GF=1 ，由勾股定理求得

圖6

（四）構造全等三角形

實現線段和角的轉化，運用全等三角形的有關性質來解決問題，

解法7：以 H 是 FD 的中點為出發點.如圖7，延長 GH 交 CD 于點 M ，有對頂角 ∠GHF=∠MHD ，連接 GF ，因為 HF=HD ，證得 ΔHGF?ΔHMD（ASA） ，故 （2

【思路1】以 _GM 為斜邊構造直角三角形進行求解.如圖7，作 GN⊥CD 交 CD 于點 N. 易證ΔHGF?ΔHMD（ASA） ，故 DM= GF=1，NC=GF=1 ，所以 MN=2 ，GN=FC=2 ，在 RtΔMGN 中，由勾股定理得 GM²=GN²+MN² 解得 因此，

圖7

【思路2】以 HM 為斜邊構造直角三角形進行求解.如圖8，連接 _GF ，延長 GH 交 CD 于點 M ，過點 H 作 CD 的垂線，垂足為點N ，易得 DM=GF=1 ，所以 MN= DN-DM=1. 易得 HN 是 ΔDFC 的中位線，則求得

圖8

1，在 RtΔMHN 中由勾股定理得 又因為ΔHMD?ΔHGF ，所以

解法8：以 G 是 EC 中點為出發點.如圖9，連接 EH ，并延長交 CD 于點 M ，易證 HM=E ，延長HG 交 BC 于點 R ，連接 GF. 易得ΔEGH?ΔCGR（ASA） ，則 RC=EH=3 ，所以 BR= BC-RC=1，RF=BF-BR=1. 因此，在 RtΔGFR 中由勾股定理得 GR²=GF²+RF² ，解得 因此， 同理，也可以 HR 為斜邊構造直角三角形進行求解.

圖9

（五）構造相似三角形

通過構造相似三角形求解.

解法9：如圖10，連接 GF ，EF ，易知 CE=DF ， GF=1.CF= ，所以 又可證 CE⊥DF ，GF⊥FC ，所以 ∠GFH+∠PFC= 90^° ， ∠FCE+∠PFC=90^° ，故∠GFH=∠FCE ，可得 ΔGFH～ΔFCE ，所以 因為在 RtΔBEF 中由勾股定理得 ，所以

圖10

（六）運用建系法

建立平面直角坐標系，表示出 _G，H 的坐標，運用代數法求解.

解法10：如圖11，以B 為原點， BC 所在直線為x 軸， AB 所在直線為 y 軸建立平面直角坐標系，則C（4，0） ， F（2，0） ！ E（0，2） D（4，4） 因為 G，H 分別是EC，DF 的中點，所以根據中點公式得 G（2，1），H（3，2） 再根據兩點的距離公式得

圖11

四、教學啟示

（-） 一題多解，促進思維發展

教師在日常教學中遇到經典題型時，可引導學生深度探究.學生從不同角度分析與思考問題，會產生多樣的解題方法，體驗問題解決的多元性，感受數學的奇妙.在辨析解法間的區別與聯系時，能揭示問題本質，明確思考方向，其中既有從條件出發的聯想與發散思維，也有關注圖形的直觀思維，以及數形結合思想和模型思想.

對于涉及中點問題的題目，教師可通過問題串引導學生有序思考，串聯知識點與常見數學模型，促進學生思維發展.由于學生基礎層次和能力存在差異，其思考問題的角度也各不相同.因此，在教學中教師應鼓勵學生各抒己見、闡述思考過程.這不僅能讓學生經歷問題解決的思維過程，有效提升思維能力，還能讓學生在探究不同解法的過程中將抽象的解題思路清晰化、顯性化.此舉有助于學生積累解題經驗，讓不同層次的學生都找到適合自己的解法、獲得成就感，最終實現解題經驗的有效遷移，促進知識的深層次建構與思維方式的優化，達到“知一題、通一類\"的高效學習目的.

（二）變式拓展，促進數學能力提升

數學教學的本質是“教會學生思考”.學生要掌握運用數學思維方法分析與解決問題的能力，以帶動具體知識的學習積累，從而在遇到問題時思考得更全面、深刻、合理.基于此，教師應注重變式拓展，促進學生數學能力提升.如原題中的正方形結構具有特殊性，解法較多.教師可改變圖形形狀或變換部分條件，引發學生思考：這些解法是否仍適用？實現問題從特殊到一般的過渡，引發思維碰撞.學生通過借鑒正方形問題的解決方法，感受變為平行四邊形等一般情況時解法的變化與局限性，進一步深化解題能力，強化對中點和垂直問題的相關知識的鞏固，便于在解決問題時理解原理和技巧.

通過變式拓展，能開闊學生視野，引發其深度思考，從而實現從知識到能力，再從能力到素養的進階.

（三）深度學習，培養核心素養

在對一道題展開深度學習與探究時，教師應鼓勵學生獨立思考、積極交流，使他們逐步感悟數學思想，把握解題方法.深度學習有助于學生運用數學的眼光分析問題.在解題過程中，學生應借助幾何直觀仔細觀察，分析條件、結論與所求問題之間的內在關聯與規律，通過適當添加輔助線，對題目信息進行加工、重組與再處理，進而分步驟求解.同時，在數學探究中不斷進行猜想與驗證，有助于培養其想象力和創新意識.

深度學習也有利于學生運用數學的思維思考與解決問題.面對問題時，學生應回歸數學本質，深挖內在聯系，構建數學模型，選取恰當方法進行計算與推理，形成完整、規范的解題過程.這一過程有助于培養嚴謹的思維習慣和良好的思維品質.

此外，對于學有余力的學生，還應鼓勵他們從具體問題出發，舉一反三，體會常規解題方法應用的普遍性，實現從“解題\"到\"悟道\"的跨越.

（責任編輯 黃春香）