將轉換法進行到底

1 問題提出

在高中物理實驗中，許多物理量因自身屬性難以直接測量，尤其是速度這一運動學量，在物體做變速運動時，瞬時速度的測量更是難點.為解決這一問題，轉換法應運而生一將不易測量的物理量轉換為易測量的物理量，通過間接計算獲得待測物理量.本文以“驗證動量守恒定律\"實驗為載體，系統歸納轉換法在不同實驗場景中的應用特點，通過改變實驗條件、創新測量方式，構建多層次的思維進階路徑，拓展解析其本質，幫助學生深人理解轉換法的應用原理，提升實驗設計能力和科學思維水平.

2 思維鏈條

動量守恒定律的表達式為 m₁v₁+m₂v₂= m₁v₁^′+m₂v₂^′ ，實驗驗證的核心是測量碰撞前后的速度.由于速度難以直接測量，根據轉換法的核心邏輯：找到速度與易測量物理量（如長度、高度、角度等）的定量關系，用易測量間接替代速度.

2.1 方法呈現

一例1 （基礎場景：平拋運動）如圖1所示，用“碰撞實驗器”可以驗證動量守恒定律，即研究兩個小球在軌道水平部分碰撞前后的動量關系.

圖1

（1）圖中 O 點是小球拋出點在地面上的垂直投影.實驗時，應將質量較大的小球作為入射球，先讓入射球 m₁ 多次從斜軌上 s 位置由靜止釋放，找到其平均落地點的位置 P ，測量平拋射程 OP ，然后，把被碰小球 m₂ 靜置于軌道的水平部分的末端，再將人射球m₁ 從斜軌上 s 位置由靜止釋放，與小球 m₂ 相碰，并多次重復.接下來要完成的必要步驟是

A.用天平測量兩個小球的質量

B.用游標卡尺測出人射球和被碰小球的半徑

C.測量小球 m₁ 開始釋放的高度 h

D.測量小球的拋出點距地面的高度 H

E.找出 m₁…m₂ 相碰后平均落點的位置 M N

F.測量平拋射程 OM，ON

（2）當所測物理量滿足表達式 時，即說明兩小球碰撞中動量守恒；若兩小球發生彈性正碰，則關于射程OP、OM和 ON ，僅此三者之間的關系式為

（1）由動量守恒定律得 m₁v₀=m₁v₁+ m₂v₂ ，要用天平測量兩個小球的質量；兩球碰后均做平拋運動，平拋運動的高度相同，在空中運動的時間相同，平拋的水平射程正比于初速度，可以用水平射程代替初速度，不需要測高度 H 和 h .由于m₂ 是放在水平槽上，所以兩球的水平射程的起點相同，所以不用測出入射球和被碰小球的半徑.選項A、E、F正確.

（2）由實驗原理，且 v∝x ，兩小球碰撞中動量守恒，應滿足的表達式為 m₁?OP=m₁?OM+m₂?ON ：若兩小球發生彈性正碰，再由機械能守恒定律有 2m12+mU2，得v=0+v1，未放m2球時， m₁ 球落點的平均位置為 P ，兩球碰后落點的平均位置為 M 和 N ，三者之間的關系式為 ON= OP+OM

本實驗的目的是驗證動量守恒定律，以“等量替代”簡化測量，實驗原理轉換成

m₁?OP=m₁?OM+m₂?ON.

2.2 方法應用

基于基礎轉換邏輯，可設置不同實驗場景，通過改變運動形式或裝置結構，拓展轉換法的應用范圍，

例2（進階場景：斜面上的平拋運動）如圖2所示是某同學為探究碰撞中動量是否守恒的實驗裝置，實驗中選取兩個半徑相同、質量不等的小球，按下面步驟進行實驗：

圖2

① 用天平測出小球1和小球2的質量分別為 m₁ 和 m₂ ：

② 安裝實驗裝置，將斜槽 AB 固定在桌邊，使槽的末端水平，再將一斜面 BC 連接在斜槽末端；

③ 先不放小球2，讓小球1從斜槽頂端 A 處由靜止釋放，標記小球在斜面上的落點位置 P ;

④ 將小球2放在斜槽末端 B 處，仍讓小球1從斜槽頂端 A 處由靜止釋放，兩球發生碰撞，分別標記小球1、小球2在斜面上的落點位置；

⑤ 用毫米刻度尺測出各落點位置到斜槽末端 B 的距離.圖中 M，P，N 點是實驗過程中記下的小球在斜面上的三個落點位置， M，P，N 到 B 點的距離分別為 BM，BP，BN. 依據上述實驗步驟，請回答下面問題：

（1）兩小球的質量 ?m₁??m₂ 應滿足 m₁ m₂ （填“ gt; ”\" °leddash \"或“ lt;\"） ：

（2）小球1與小球2發生碰撞后，小球1的落點是圖中 點；

（3）用實驗中測得的數據來表示，只要滿足關系式 ，就能說明兩球碰撞前后動量是守恒的.

（4）某同學做了另一實驗：保持小球2的半徑不變，改變小球2的質量（兩小球質量關系均符合（1）問），將小球1多次從斜軌上 A 點由靜止釋放，與不同質量的小球2相碰，用刻度尺測量出每次實驗中落點痕跡與 B 點間距離 BM，BP，BN ，記為 x₁…x₂…x₃ ，以 為橫坐標， 為縱坐標，作出 圖像，若該碰撞為彈性碰撞，則下列圖像可能正確的是

（1）為了保證入射小球不被反彈，人射小球的質量要大于被碰小球的質量，即 m₁gt;m₂

（2）由于小球1與小球2發生碰撞后，小球1的速度小于小球2的速度，所以小球2做平拋運動的水平位移大于小球1的水平位移，所以小球1的落點是圖中的 M 點.（根據碰撞的基本原則，速度合理， v₁^′lt; v₂^′ ，即碰后的落點分別為 M，N ）

（3）設斜面的傾角為 θ ，小球做平拋運動，則 2gt2，得v ，即 ，若小球碰撞過程中動量守恒，則有 m₁v₀= m₁v₁+m₂v₂ ，所以

（4）因為小球1碰撞前的速度不變，則小球1單獨落到斜面上時的位移不變，則 2m1v+mU2，即 m1x2=（204號 m₁x₁+m₂x₃ ，聯立得 ，選項B正確.

斜面上的平拋運動是對平拋運動的第一次拓展，實驗條件的改變導致實驗結論也發生了根本性改變，本次拓展以 代替 υ ，實現了對該實驗原理的第一次深度學習與進階，本質上還是轉換法.

例3 （拓展場景：豎直擋板與平拋運動）某同學用如圖3所示裝置，通過半徑相同的 A，B 兩球的碰撞來驗證動量守恒定律.先測量所得入射球 A 的質量為 m_A ，被碰撞小球 B 的質量為 m_B ，圖中 O 點是小球拋出點在水平地面上的垂直投影，實驗時，將白紙、復寫紙固定在豎直放置的木板上，用來記錄實驗中球A 、球 B 與木板的撞擊點.首先將木板豎直立在軌道末端右側并與軌道接觸，讓入射球 A 從斜軌上起始位置由靜止釋放，撞擊點為 B^′ ；然后將木板平移到圖中所示位置，入射球 A 從斜軌上起始位置由靜止釋放，確定其撞擊點 P ；再將入射球 A 從斜軌上起始位置由靜正釋放，與球 B 相撞，確定球 A 和球 B 相撞后的撞擊點分別為 M 和 N .測得 B^′ 與 N，P，M 各點的高度差分別為 h₁，h₂，h₃ .若所測物理量滿足表達式，則說明球 A 和球 B 碰撞中動量守恒.

圖3

小球碰后做平拋運動，速度越快，下落高度越小，單獨一個球下落時，落點為 P ，兩球相碰后，落點分別為 M 和 N ，據動量守恒定律有 m_Av= m_Av₁+m_Bv₂ ，而速度滿足 x=vt ，根據 2gt2，可得 可見 ，代人動量守恒表達式有 成立.

毫無疑問，利用小球平拋運動的水平位移不變，用 代替 v ，無疑將平拋運動再拓展，實現學生思維的第二次進階.

2.3 方法拓展

當實驗裝置偏離平拋運動，轉換法可結合牛頓運動定律、能量守恒定律等，建立更復雜的速度替代關系.

例4（軌道滑行場景）如圖4-甲所示，為“探究碰撞中的守恒量\"的實驗裝置圖，帶有U形槽的鋁制軌道一端固定在鐵架臺上，另一端平放在桌面上，連接處為較短的圓弧.外形完全相同的鋼柱與鋁柱能穩定地在軌道中運行（如圖4-乙所示）.實驗步驟如下：

圖4

① 在傾斜軌道上適當位置標記 A 點，將鋼柱右側底面與 A 點對齊，并由靜止釋放，它的右側底面運動到 C 處靜止，在水平軌道上標記 C 點，測量 A，C 兩點間的水平距離 L₁

② 拿走鋼柱，將鋁柱右側底面與 A 點對齊，并由靜止釋放，它的右側底面運動到 C^′ 處靜止，在水平軌道上標記 C^′ 點，測量 A?C^′ 兩點間的水平距離 L₂ ：

③ 在水平軌道上離斜面底端 B 足夠遠的位置標記 D 點，測量 D，C 之間的距離 x₀ ：

④ 將鋁柱放在 D 處，使其 （填\"左側\"或“右側”底面與 D 點重合；

⑤ 仍將鋼柱從 A 處由靜止釋放，使其與鋁柱碰撞，測量碰撞后鋼柱移動的距離 x₁ 、鋁柱移動的距離 x₂ ：

⑥ 測量鋼柱的質量 m₁ 、鋁柱的質量 m₂

回答以下問題：

（1）在步驟 ④ 中應填 ；（2）驗證該過程中動量守恒的表達式為（用各步驟中物理量表示）.

（1）為了使鋼柱運動到 D 點時右側與其接 觸，所以鋁柱左側底面與 D 點重合.

（2）若動量守恒，則碰撞前的動量與碰撞后的動量相等.碰前，鋼柱運動到 D 點時的速度 v₁= ，設 A 點距離水平軌道的高度為 h ，則m1gh=FaLi=ma1L1，求出加速度a1= ，同理得鋁柱的加速度為 ，所以

即 ，據動量守恒定律有

m₁v₁=m₁v₁^′+m₂v₂，

化簡得m1

前面兩種拓展與進階都緊緊圍繞平拋運動展開，本題綜合運用了牛頓運動定律，用長度的相關函數關系代替速度在思維方法上是一次質的飛躍.除了涉及長度的函數關系，還可以利用三角函數公式代替速度.

例5（圓弧軌道場景）在實驗室里為了驗證動量守恒定律，采用如圖5裝置：先將入射小球 a 從斜槽軌道上某固定點處由靜止開始滾下，在四分之一圓弧軌道上留下壓痕，再把被碰小球 b 放在斜槽軌道末水平段的最右端，讓人射小球 a 仍從固定點由靜正開始滾下，和被碰小球 b 相碰后，兩球分別落在圓弧的不同位置處，重復多次，找到平均落點 M，P，N .用量角器量出 O^′P、O^′M、O^′N 與豎直方向的夾角分別為θ1 "、θ 2"、 θ 3 。

圖5

（1）放上被碰小球 b ，兩球相碰后，小球 a 的落地點是圖中圓弧面上的 點，小球 b 的落地點是圖中圓弧面上的 點.

（2）設入射小球 a 的質量為 m₁"，被碰小球 b 的質量為 m₂"，則在用該裝置實驗時，所得驗證動量守恒定律的結論為 （用題中所給物理量的字母表示）.

（1）小球離開軌道后做平拋運動，設圓弧軌道的半徑為 R ，設軌道末端與小球落點連線與豎直方向夾角為 θ ，小球做平拋運動的初速度為 v ，水平方向""，豎直方向 y=Rcosθ=2gt2，得v=""，則 θ 越大小球做平拋運動的初速度 υ 越大，兩球發生碰撞后入射球的速度變小，小于碰撞前入射球的速度，且小于被碰球的速度，則 P 點是碰撞前人射球 a 的落點， M 是入射球 a 碰撞后的落點， N 點是被碰球碰撞后的落點.

（2）因""，兩球碰撞過程系統動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得

在圓弧內部，物體運動的水平距離和高度均可用半徑的三角函數值來表示，于是速度不再與半徑有關，而是用簡單的三角函數關系代替速度.

3結語

轉換法是解決物理實驗測量難題的核心方法，在驗證動量守恒定律中，本質是建立速度與易測量的定量關系，本文通過系統研究動量守恒實驗中的轉換法的應用，構建從基礎到創新的完整思維鏈條.實驗的核心價值不僅在于驗證定律，更在于培養“具體問題具體分析”的思維一一當實驗條件變化（如運動形式、裝置結構改變）時，需重新推導轉換關系，這正是物理學科核心素養中“科學探究”與“科學思維”的體現，這種研究方法不僅適用于動量守恒實驗，也可推廣到其他物理實驗的教學中，為培養學生的科學探究能力提供有效路徑.

（完）