基于沖量計(jì)算的各種巧妙方法解題例析

沖量是物理學(xué)中一個(gè)比較重要的物理量，在近年高考試題中，常作為選擇題的一個(gè)或兩個(gè)選項(xiàng)明確考查點(diǎn)，而在應(yīng)用動(dòng)量定理解答有關(guān)的物理問(wèn)題時(shí)必然涉及沖量的表示與計(jì)算.對(duì)于各種不同物理情境中的沖量表示與計(jì)算，可有多種非常巧妙的方法.下面精選2025年高考題中有關(guān)沖量的試題為例按三種情形進(jìn)行歸類分析，以確切理解和靈活掌握關(guān)于沖量的各種表示與計(jì)算方法.

1利用線性力的平均值計(jì)算沖量

一般化的函數(shù)平均值定義為：對(duì)于連續(xù)函數(shù) y= f（x） ，在區(qū)間 [x₁，x₂] 上的平均值，等于函數(shù) y= f（x） 的圖像在該區(qū)間上與 x 軸圍成圖形的面積除以該區(qū)間的長(zhǎng)度，即 .由此可得函數(shù)圖像的面積 中與平均值的關(guān)系式為 S=_y^-Δx .這表明，某一區(qū)間上的圖像面積等于函數(shù)的平均值與該區(qū)間長(zhǎng)度之積.

在物理學(xué)中，若圖像面積具有一定的物理意義，則對(duì)應(yīng)一個(gè)過(guò)程量的計(jì)算公式，或者說(shuō)，某個(gè)物理量可表示為一個(gè)物理量的平均值與另一個(gè)物理量的變化量之積的形式.例如，恒力做功的公式為 W=FΔx .若物體受到的作用力 F 隨位置坐標(biāo) x 而變化，則需對(duì)作用力關(guān)于坐標(biāo)取平均值，做功的公式變?yōu)?W= .這表明，變力做的功等于變力相對(duì)于位移的平均值與位移之積.

特殊函數(shù)的平均值主要是線性的函數(shù)平均值.對(duì)于一次函數(shù) y=kx+b ，在區(qū)間 [x₁，x₂] 上的算術(shù)平均值為 ，可得 即 b .由此可知，線性函數(shù)的平均值等于區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值之和的一半，或者說(shuō)等于區(qū)間上的最小值與最大值之和的一半，恰好等于區(qū)間的中點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.若將線性函數(shù)的自變量在某區(qū)間上取平均值，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值恰好為該區(qū)間上函數(shù)值的平均值.或者說(shuō)，對(duì)于線性函數(shù)，若將因變量與自變量同時(shí)取平均值，則函數(shù)的形式保持不變.

1. 1 隨時(shí)間變化的線性力的沖量

恒力的沖量公式為 I=FΔt ，若力 F 隨時(shí)間 χ_t 而變化，則需對(duì)作用力關(guān)于時(shí)間取平均值，沖量公式變?yōu)? .這表明，對(duì)于隨時(shí)間而變化的力，其沖量等于變力相對(duì)于時(shí)間的平均值與時(shí)間之積.或用 F-t 圖像與橫軸圍成圖形的面積表示沖量.對(duì)于規(guī)則圖形的面積可以進(jìn)行定量計(jì)算，要注意面積存在正負(fù)值，而總面積等于各面積的代數(shù)和.

例1（多選）（2025

年廣東卷）如圖1所示，無(wú)人機(jī)在空中作業(yè)時(shí)，受到一個(gè)方向不變、大小隨時(shí)

圖1

間變化的拉力.無(wú)人機(jī)經(jīng)飛控系統(tǒng)實(shí)時(shí)調(diào)控，在拉力、空氣作用力和重力作用下沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng).已知拉力與水平面成 30^° 角，其大小 F 隨時(shí)間 t 的變化關(guān)系為 F=F-kt（Fgt;0，F(xiàn)，k 均為大于0的常量），無(wú)人機(jī)的質(zhì)量為 Ψ_m ，重力加速度為 g .關(guān)于該無(wú)人機(jī)在0到 T 時(shí)間段內(nèi)（ T 是滿足 Fgt;0 的任一時(shí)刻），下列說(shuō)法正確的有（ ）.

A.受到空氣作用力的方向會(huì)變化

B.受到拉力的沖量大小為

C.受到重力和拉力的合力的沖量大小為

D. T 時(shí)刻受到空氣作用力的大小為

無(wú)人機(jī)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則三力平衡，可轉(zhuǎn)化為二力平衡.由于拉力大小發(fā)生變化，而重力保持不變，可知拉力與重力的合力大小與方向均發(fā)生變化，因此空氣作用力的大小與方向都發(fā)生變化，選項(xiàng)A正確.由于拉力隨時(shí)間均勻變化，可知其沖量為 ，選項(xiàng)B正確.重力與拉力不在同一直線上，因此計(jì)算合力沖量應(yīng)為矢量和，而非代數(shù)和，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.在 T 時(shí)刻受到空氣作用力的大小等于拉力與重力的合力大小，需將拉力正交分解，可得 由于F_y 與重力同向，則豎直方向的合力為 F_y^′=mg+ ，由勾股定理可得拉力與重力的合力為 ，可知選項(xiàng)D正確.

在判斷空氣作用力是否變化時(shí)，需將三力平衡轉(zhuǎn)化為二力平衡，即空氣作用力的大小等于拉力與重力的合力的大小，空氣作用力的方向跟拉力與重力的合力的方向相反，然后利用力的合成與分解即可判斷選項(xiàng)A、D的正確性.在計(jì)算線性力的沖量時(shí)需對(duì)變力取算術(shù)平均值.

1. 2 隨速率變化的線性力的沖量

若力與速度成正比，即 F=kτ ，物體在 Δt=t₂- t₁ 時(shí)間內(nèi)的位移為 s ，則作用力關(guān)于時(shí)間的平均值為 ，作用力的沖量為 這表明，對(duì)于隨速度而變化的力，其沖量跟位移成正比.

例2 （2025年陜晉青寧卷）如圖2所示，光滑水平面上存在豎直向上、寬度 d 大于2L的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B .甲、乙兩個(gè)合金導(dǎo)線框的質(zhì)量均為

圖2

A.甲線框進(jìn)磁場(chǎng)和出磁場(chǎng)的過(guò)程中電流方向相同B.甲、乙線框剛進(jìn)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，所受合力大小之比為1：1C.乙線框恰好完全出磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，速度大小為0D.甲、乙線框從剛進(jìn)人磁場(chǎng)區(qū)域到完全出磁場(chǎng)區(qū)域產(chǎn)生的焦耳熱之比為 4：3

線框進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)，磁通量增大，根據(jù)楞次定律和右手定則可知感應(yīng)電流沿順時(shí)針方向；線框出磁場(chǎng)時(shí)，磁通量減小，根據(jù)楞次定律和右手定則可知感應(yīng)電流沿逆時(shí)針方向，兩個(gè)過(guò)程中的電流方向相反，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.甲、乙線框剛進(jìn)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv₀ ，甲線框中的感應(yīng)電流為 ，受到的安培力大小 ；乙線框受到的安培力大小 選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

甲線框單邊切割磁感線過(guò)程中，在任一時(shí)刻受到的安培力大小為 （204號(hào) ，在全過(guò)程中受到的沖量為 由動(dòng)量定理有 ，可得甲線框的末速度 v₁^′=0 由于兩個(gè)線框電阻不同，則末速度不同，乙線框的末速度不為零，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

對(duì)乙線框由動(dòng)能定理有 ，可得末速度大小為 ；由能量守恒定律知兩線框產(chǎn)生的熱量分別為 ，可知熱量之比為 4：3 選項(xiàng)D正確.

在求解線框的末速度時(shí)，需利用動(dòng)量定理列方程，關(guān)鍵是利用線性平均值推導(dǎo)線框單邊受到安培力的沖量與單邊在磁場(chǎng)中的位移成正比，要注意線框單邊在磁場(chǎng)中的位移等于線框長(zhǎng)度的2倍；若磁場(chǎng)區(qū)域的寬度小于線框的長(zhǎng)度，則線框單邊在磁場(chǎng)中的位移等于磁場(chǎng)寬度的2倍.

2利用微元法來(lái)表示或計(jì)算沖量

在利用微元法解題時(shí)，可包括兩種情形；其一，對(duì)于一段很短時(shí)間計(jì)算瞬時(shí)沖量，對(duì)短暫過(guò)程由動(dòng)量定理列方程；其二，對(duì)于各段很短時(shí)間計(jì)算瞬時(shí)沖量并累加求和，對(duì)整個(gè)過(guò)程由動(dòng)量定理列方程

例3（多選）（2025年湖南卷）如圖3所示，關(guān)于 x 軸對(duì)稱的光滑導(dǎo)軌固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌形狀為拋物線，頂點(diǎn)位于 O 點(diǎn).一足夠長(zhǎng)的金屬桿初始位置與 y 軸重合，金屬桿的質(zhì)量為 Ψ_m ，單位長(zhǎng)度的電阻為 r₀ .整個(gè)空間存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B .現(xiàn)給金屬桿一沿 x 軸正方向的初速度 v₀ ，金屬桿運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與y 軸平行，且與電阻不計(jì)的導(dǎo)軌接觸良好.下列說(shuō)法正確的是（ ）.

圖3

A.金屬桿沿 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，金屬桿中電流沿 y 軸負(fù)方向B.金屬桿可以在沿 x 軸正方向的恒力作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)C.金屬桿停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，與導(dǎo)軌圍成的面積為 D.若金屬桿的初速度減半，則金屬桿停止運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)的距離小于原來(lái)的一半

利用右手定則可判斷金屬桿中的感應(yīng)電流沿 y 軸負(fù)方向，選項(xiàng)A正確.金屬桿產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv ，感應(yīng)電流為 ，則安培力為 .假設(shè)金屬桿勻速運(yùn)動(dòng)，則 L 逐漸增大，安培力逐漸增大，因此所需外力逐漸增大，與假設(shè)矛盾，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的沖量為 對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程由動(dòng)量定理有 ，可得弓形面積為 ，選項(xiàng)C正確.由面積 可知，若金屬桿的初速度減半，則金屬桿停止時(shí)的面積減半，而軌道形狀為拋物線，其弓形的弦長(zhǎng)由小變大，因此金屬桿停止時(shí)經(jīng)過(guò)的距離大于原來(lái)的一半，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

在利用動(dòng)量定理列方程推導(dǎo)拋物線的弓形面積時(shí)，需首先利用微元累加法推導(dǎo)金屬桿在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到安培力的沖量與面積的關(guān)系式，而其中的和式 表示金屬桿掃過(guò)拋物線弓形的面積，但由于其中含有兩個(gè)變量，因此只能利用微元累加法，不能利用平均值法.

3利用動(dòng)量定理間接求沖量

包括兩種情形：其一，對(duì)于受到多個(gè)力作用的物體，如果不能利用沖量公式直接計(jì)算某個(gè)力的沖量，則可根據(jù)各力沖量的矢量和間接求出某個(gè)力的沖量，前提條件是其余各力的沖量可進(jìn)行定量計(jì)算，而且各力的矢量和已知，或者說(shuō)動(dòng)量的變化量已知；其二，對(duì)于受到單個(gè)力作用的物體，如果不能利用沖量公式直接計(jì)算這個(gè)力的沖量，則可通過(guò)計(jì)算動(dòng)量的變化量間接求出這個(gè)力的沖量.例如求解向心力在勻速圓周運(yùn)動(dòng) 周期內(nèi)的沖量，可通過(guò)計(jì)算動(dòng)量變化量而得出，前提條件是已知?jiǎng)蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的速度.

例4（2025年廣西卷）如圖4所示，兩條固定的光滑平行金屬導(dǎo)軌，所在平面與水平面夾角為 θ ，間距為1，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，兩端各接一個(gè)

圖4

阻值為2R的定值電阻，形成閉合回路；質(zhì)量為 Ψ_m 的金屬棒垂直于導(dǎo)軌放置，并與導(dǎo)軌接觸良好，接入導(dǎo)軌之間的電阻為 R ；勁度系數(shù)為 k 的兩個(gè)完全相同的絕緣輕質(zhì)彈簧與導(dǎo)軌平行，一端固定，另一端均與金屬棒中間位置相連，彈簧的彈性勢(shì)能 E_p 與形變量 x 的關(guān)系為 ;將金屬棒移至導(dǎo)軌中間位置時(shí)，兩彈簧剛好處于原長(zhǎng)狀態(tài)；整個(gè)裝置處于垂直于導(dǎo)軌所在平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B .將金屬棒從導(dǎo)軌中間位置向上移動(dòng)距離 Δ_a 后靜止釋放，金屬棒沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)處，用時(shí)為 Ψ_t ，最遠(yuǎn)處與導(dǎo)軌中間位置距離為 b ，彈簧形變量始終在彈性限度內(nèi)，此過(guò)程中（ ）.

A.金屬棒所受安培力沖量大小為

B.每個(gè)彈簧對(duì)金屬棒施加的沖量大小為

C.每個(gè)定值電阻產(chǎn)生的熱量為

D.金屬棒的平均輸出功率為

金屬棒產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=Bl? ，相當(dāng)于電源，外電阻并聯(lián)的總電阻為 R ，與內(nèi)電阻

串聯(lián)的總電阻為 2R ，則電路中的電流為I = E / R0 =

金屬棒受到的安培力為 ，可知安培力的沖量為IA=Ft= 金屬棒發(fā) （204號(hào)生的位移為 s=a+b ，得沖量為 ，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.每個(gè)彈簧對(duì)金屬棒的沖量始終相等，對(duì)整體由動(dòng)量定理有 I_A-mgtsinθ-2I_k=0 ，可得彈力的沖量 ，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.彈簧的形變量先后分別為 a.b ，則兩個(gè)彈簧的彈性勢(shì)能變化量為 ，重力勢(shì)能變化量為 mg（a+b）sinθ ，由能量守恒定律可知電路產(chǎn)生的總熱量為 ，由于內(nèi)、外電阻相等，則外電阻產(chǎn)生的總熱量為 ，可知每個(gè)電阻產(chǎn)生的熱量為 ，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.金屬棒對(duì)兩個(gè)外電阻做的電功為 W=2Q ，則輸出的平均功率為 ，可知選項(xiàng)D正確.

在推導(dǎo)安培力的沖量時(shí)，需設(shè)金屬棒的速度υ ，以便計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)以及安培力，最后可消去速度 υ ，由于安培力是變力，因此在計(jì)算沖量時(shí)需用平均值.對(duì)于彈簧彈力的沖量無(wú)法直接計(jì)算，只能對(duì)整體應(yīng)用動(dòng)量定理列方程間接計(jì)算.

例5 （2025年1月浙江卷，節(jié)選）如圖5所示，接有恒流源的正方形線框邊長(zhǎng)為 ，質(zhì)量為m ，電阻為 R ，放在光滑水平面上，線框部分處于垂

圖5

直于地面向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.以磁場(chǎng)邊界 CD 上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右建立 Ox 軸，線框中心和一條對(duì)角線始終位于 Ox 軸上.開關(guān)S斷開，線框保持靜止，不計(jì)空氣阻力.

（1）線框中心位于 x=0 處，閉合開關(guān)S后，線框中電流大小為 I ，求：

① 閉合開關(guān)S瞬間，線框受到的安培力大小；

② 線框中心運(yùn)動(dòng)至 過(guò)程中，安培力做的功及沖量；

③ 線框中心運(yùn)動(dòng)至 時(shí)，恒流源提供的電壓.

O （1）① 閉合開關(guān)S瞬間，在磁場(chǎng)中線框的等解析 效長(zhǎng)度為 ι=2L ，則受到的安培力大小為F_A1=BIl=2BIL

② 線框中心運(yùn)動(dòng)至 過(guò)程中，設(shè)某時(shí)刻的位移為 s ，則在磁場(chǎng)中線框的等效長(zhǎng)度為 ι=2（L-s） ，可知安培力大小為 F_A=BIl=2BI（L-s） .位移起點(diǎn)為零，安培力的平均值 ，做功為 W_A= ，當(dāng) 時(shí)，得 .根據(jù)動(dòng)能定理有 m2.聯(lián)立方程可得速度大小為 .由動(dòng)量定理可知安培力的沖量大小為 ，方向沿 x 軸正方向.

③ 線框中心運(yùn)動(dòng)至 時(shí)，設(shè)恒流源提供的電壓為 U ，在很短時(shí)間 Δt 內(nèi)，由能量守恒定律有 UIΔt= BIL?vΔt+I²RΔt ，可得

對(duì)于線性力 F_A=2BI（L-s） ，不能直接利用公式 計(jì)算沖量，因?yàn)榫€性力不是隨時(shí)間變化.由于安培力與位移呈線性關(guān)系，因此可利用平均值計(jì)算安培力做的功，再應(yīng)用動(dòng)能定理求出末速度，進(jìn)而算出末動(dòng)量，再根據(jù)動(dòng)量定理得到?jīng)_量.為了求出恒流源提供的電壓，需對(duì)很短時(shí)間應(yīng)用能量守恒定律列方程，也可應(yīng)用瞬時(shí)功率守恒列方程，即UI=BIL?v+I²R 在計(jì)算兩段導(dǎo)體受到的安培力時(shí)需用導(dǎo)體在磁場(chǎng)中的有效長(zhǎng)度.

4小結(jié)

綜上可見，與沖量有關(guān)的高考題形式多樣、情境多變、解法各異.對(duì)沖量的考查不局限于單純的力學(xué)問(wèn)題，也可通過(guò)電磁學(xué)問(wèn)題進(jìn)行多角度考查.有時(shí)明確考查沖量的計(jì)算與判斷，有時(shí)在應(yīng)用動(dòng)量定理的過(guò)程中考查沖量的表示與計(jì)算，由此加強(qiáng)物理知識(shí)的聯(lián)系，使得試題具有一定的綜合性與新穎性.雖然高考題千變?nèi)f化，常考常新，但涉及的知識(shí)和方法是確定的，需要在平時(shí)的復(fù)習(xí)和訓(xùn)練中深化理解、熟練掌握和靈活運(yùn)用，同時(shí)提高獨(dú)立分析和解決物理問(wèn)題的能力.

（完）