2025年高考題中的彈簧連接體問題剖析

輕彈簧作為高中物理力學(xué)部分的重要模型，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)物體間的關(guān)聯(lián)，還具備能量?jī)?chǔ)存的功能.以彈簧為載體構(gòu)建的連接體問題，能夠?qū)⑴ｎD運(yùn)動(dòng)定律、胡克定律、能量守恒定律、機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)串聯(lián)，題目綜合性強(qiáng)，全面考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.因此，彈簧連接體問題也一直是歷年各地高考的高瀕考點(diǎn).本文以2025年全國(guó)各地高考物理試題中涉及彈簧連接體的題目為切入點(diǎn)，深入剖析彈簧連接體問題的考查要點(diǎn)，并相應(yīng)提出解題策略，旨在為同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考提供有力支持.

1運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法解決彈簧連接體問題

考點(diǎn)1彈力的大小和方向

當(dāng)彈簧發(fā)生形變（彈性限度內(nèi)）時(shí)，彈簧上各部分會(huì)產(chǎn)生大小均勻的彈力，同時(shí)也會(huì)對(duì)兩端與其接觸的物體產(chǎn)生彈力，彈力的大小與彈簧的形變量成正比，即 ，彈力的方向與彈簧形變的方向相反，即當(dāng)彈簧發(fā)生拉伸形變時(shí)，彈力指向彈簧收縮的方向，當(dāng)彈簧發(fā)生壓縮形變時(shí)，彈力指向彈簧伸長(zhǎng)的方向.

考點(diǎn)2彈力的瞬時(shí)性

彈簧彈力屬于接觸力，若彈簧的一端和其他物體脫離接觸，或處于拉伸狀態(tài)的彈簧突然被剪斷，物體所受彈力會(huì)立即變?yōu)榱?在彈簧的兩端都保持與其他物體接觸的條件下，當(dāng)物體所受的外力突然改變（如繩斷裂、接觸面脫離等），由于彈簧形變明顯，形變量的改變需要一定時(shí)間，物體所受彈簧彈力在這一瞬間保持不變.

考點(diǎn)3彈簧振子的受力和運(yùn)動(dòng)

在彈簧連接體中，若物體受到的合力 方向始終與 x^′ 相反， x^′ 為物體到平衡位置的位移，則彈簧與物體組成彈簧振子模型，物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移、速度、加速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間均呈周期性、往復(fù)性、對(duì)稱性變化.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期 ，只與物體的質(zhì)量和彈簧的勁度系數(shù)有關(guān).

例1 （多選）（2025年甘肅卷）如圖1所示，輕質(zhì)彈簧上端固定，下端懸掛質(zhì)量為2m 的小球 A ，質(zhì)量為 Ψ_m 的小球 B 與 A 用細(xì)線相連，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).彈簧勁度系數(shù)為 k ，重力加速度為 g .現(xiàn)剪斷細(xì)線，下列說法正確的是（ ）.

A.小球 A 運(yùn)動(dòng)到彈簧原長(zhǎng)處的速度最大B.剪斷細(xì)線的瞬間，小球 A 的加速度大小為 C.小球 A 運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為 D.小球 A 運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量

剪斷細(xì)線之前 ，剪斷細(xì)線瞬間彈簧彈力不變，此時(shí)對(duì)小球 A 由牛頓第二定律得 F_iji-2mg=2ma ，解得小球 A 的加速度大小 a= 故 B正確.剪斷細(xì)線后，由于彈力大于小球A 的重力，小球 A 先向上做加速運(yùn)動(dòng)，隨著彈力的減小，向上的加速度減小，當(dāng)加速度為零時(shí)小球 A 速度最大，此時(shí)彈力等于重力，彈簧處于拉伸狀態(tài)，故A錯(cuò)誤.剪斷細(xì)線之前彈簧伸長(zhǎng)量為 3mg，剪斷細(xì)線后小球A 在豎直方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在平衡位置時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為 ，即振幅為 ，由對(duì)稱性可得小球 A 運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為 ，故C正確.由上述分析可知，小球 A 運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為 ，故D錯(cuò)誤.

例2（多選）（2025年河北卷）如圖2所示，截面為等腰三角形的光滑斜面體固定在水平地面上，兩個(gè)相同的小物塊通過不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩跨過頂端的輕質(zhì)定滑輪，靜止在斜面體兩側(cè)，細(xì)繩與斜面平行.此外，兩物塊分別用相同的輕質(zhì)彈簧與斜面體底端相連，且彈簧均處于原長(zhǎng).將左側(cè)小物塊沿斜面緩慢拉下一小段距離，然后松開.彈簧始終在彈性限度內(nèi)，斜面傾角為 θ 不計(jì)摩擦和空氣阻力.在兩物塊運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法正確的是（ ）.

圖2

A.左側(cè)小物塊沿斜面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)B.細(xì)繩的拉力隨左側(cè)小物塊加速度的增大而增大C.右側(cè)小物塊在最高位置的加速度與其在最低位置的加速度大小相等D.若 θ 增大，則右側(cè)小物塊從最低位置運(yùn)動(dòng)到最高位置所用的時(shí)間變長(zhǎng)

對(duì)生側(cè)小物塊，議舊對(duì)面間！的應(yīng)佗判a，山牛頓第二定律得 T+kx-mgsinθ=ma ，對(duì)右側(cè)小物塊，由牛頓第二定律得 mgsinθ+kx-T=ma，聯(lián)立可得 2kx=2ma=2F ，即左側(cè)小物塊受到的合外力 F=ma=kx ，方向與位移方向相反，物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故A正確.根據(jù)以上分析， 2T=2mgsinθ ，可得細(xì)繩的拉力保持不變，故B錯(cuò)誤.同理可知，右側(cè)小物塊也做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正確.彈簧振子的振動(dòng)周 m，與斜面傾角無(wú)關(guān)，故D錯(cuò)誤.

例1中小球在彈簧的作用下在豎直面內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，例2中兩物塊在兩側(cè)彈簧的共同作用下在斜面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).解決此類問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)：1）在研究彈簧彈力時(shí)， F_??=kx ，k為彈簧的勁度系數(shù)， x 為彈簧的形變量，形變量越大，彈力越大，當(dāng)彈簧的壓縮量和伸長(zhǎng)量相等時(shí)，彈力大小相等，方向相反.2）在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中滿足 F_?=k^′x^′，k^′ 為比例系數(shù)， x^′ 為物塊相對(duì)于平衡位置的位移，物塊所受合外力以平衡位置為對(duì)稱點(diǎn)，物塊離平衡位置越遠(yuǎn)，合外力越大，當(dāng)物塊在平衡位置兩側(cè)且與平衡位置的距離相等時(shí)，合外力大小相等，方向相反.

2運(yùn)用功能關(guān)系解決彈簧連接體問題

考點(diǎn)4彈簧的彈力做功和彈性勢(shì)能

彈簧是一種能量轉(zhuǎn)移媒介，當(dāng)彈簧彈力做正功時(shí)，彈性勢(shì)能減??；當(dāng)彈簧彈力做負(fù)功時(shí)，彈性勢(shì)能增加.彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式為 .計(jì)算彈簧的彈力做功的方法有：1）由于 F_PP 隨位移呈線性變化，可以先求平均力，再用功的定義式 進(jìn)行計(jì)算;2）作出 F_gh-x 圖像，圖線與 x 軸所夾圖形的面積，即為彈簧彈力做功的大小;3）根據(jù)功能關(guān)系 W_yfl= 進(jìn)行計(jì)算；4）根據(jù)動(dòng)能定理、能量守恒定律或機(jī)械能守恒定律間接計(jì)算彈簧彈力所做的功.

考點(diǎn)5彈簧彈力的沖量

彈簧彈力的沖量大小為 ，由于 為變力，通常采用動(dòng)量定理來(lái)間接計(jì)算 I_?? 的大小，方向始終與 F_?? 方向相同.

例3（多選）（2025年云南卷）如圖3所示，傾角為 θ 的固定斜面，其頂端固定一勁度系數(shù)為 k 的輕質(zhì)彈簧，彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)下端位于 o 點(diǎn).質(zhì)量為 m 的滑塊 Q （視為質(zhì)點(diǎn)）與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanθ .過程 I：Q 以速度 O₀"從斜面底端 P 點(diǎn)沿斜面向上運(yùn)動(dòng)恰好能滑至 O 點(diǎn)；過程Ⅱ：將 Q 連接在彈簧的下端并拉至 P 點(diǎn)由靜止釋放， Q 通過 M 點(diǎn)（圖中未畫出）時(shí)速度最大，過 O 點(diǎn)后能繼續(xù)上滑.彈簧始終在彈性限度內(nèi)，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，忽略空氣阻力，重力加速度為 g .則（ ）.

圖3

A. P?M 兩點(diǎn)之間的距離為 B.過程 I 中， Q 在從 P 點(diǎn)單向運(yùn)動(dòng)到 O 點(diǎn)的過程中損失的機(jī)械能為 （204號(hào)C.過程 I 中， Q 從 P 點(diǎn)沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大位移為 D.連接在彈簧下端的 Q 無(wú)論從斜面上何處釋放，最終一定靜止在 OM （含 _O，M 點(diǎn)）之間

設(shè) PO 的距離為 L ，對(duì)過程I，由動(dòng)能定理得 mu.設(shè)MO的距離為 L_l ，過程 I 中，當(dāng) Q 速度最大時(shí)，由平衡條件得 kL₁=mgsinθ+μmgcosθ，P_νM 兩點(diǎn)之間的距離為 L₂=L-L₁ ，聯(lián)立解得 L₂= ，故A錯(cuò)誤.由功能關(guān)系可得，過程I 中， Q 在從 P 點(diǎn)單向運(yùn)動(dòng)到 O 點(diǎn)的過程中 Q 和彈簧組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能 ΔE=μmg cos θ?L ，結(jié)合-mgsin θ?L-μmg cos mu2，解得△E=4m，但在過程Ⅱ中單獨(dú)對(duì)于Q而言機(jī)械能是增加的，故B錯(cuò)誤.設(shè)過程 I 中， Q 從 P 點(diǎn)沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大位移為 Ψ_x ，根據(jù)能量守恒定律可得 mg sin θ?_X+μmg cos ，再結(jié)合 mu2，解得x= ，故C正確.無(wú)論 Q 從何處釋放， Q 在斜面上運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧與 Q 初始時(shí)的勢(shì)能變?yōu)槟Σ翢幔?Q 在 M 點(diǎn)時(shí)，滿足 kL₁=mgsinθ+μmgcosθ Q 在 O 點(diǎn)時(shí)，滿足 mgsinθ=μmgcosθ ，所以在 OM （含 _O，M 點(diǎn)）之間速度為零時(shí)， Q 將靜止，故D正確.

例4 （2025年黑吉遼蒙卷）如圖4所示，光滑絕緣水平面 AB 與豎直面內(nèi)光滑絕緣半圓形軌道 BC 在 B 點(diǎn)相切，軌道半徑為 r ，圓心為o，O，A 間距離為 3r .原長(zhǎng)為 2r 的輕質(zhì)絕緣彈簧一端固定于 O 點(diǎn)，另一端連接一帶正電的物塊.空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，物塊所受的電場(chǎng)力與重力大小相等.物塊在 A 點(diǎn)左側(cè)釋放后，依次經(jīng)過 A，B，C 三點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能分別為 E_kA、E_kB、E_kC ，則（ ）.

A. E_kAkBkC B. E_kBkAkC

C. E_kAkCkB D. E_kCkAkB

由題意可得 A 點(diǎn)彈簧的伸長(zhǎng)量為 r，B 點(diǎn)和C 點(diǎn)彈簧的壓縮量為 r ，即三個(gè)位置彈簧的 彈性勢(shì)能相等.物塊由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)的過程中彈簧彈力和重力做功都為零，電場(chǎng)力做正功，動(dòng)能增加，可得 E_kBgt;E_kA .同理物塊由 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 C 點(diǎn)的過程中彈簧彈力和電場(chǎng)力做功都為零，重力做負(fù)功，動(dòng)能減小，可得 E_kBgt;E_kC .物塊由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 C 點(diǎn)全過程由在一起，圓動(dòng)能定理得 qEl_AB-mgl_BC=E_kC-E_kAgt;0 ，因此有

.故C正確.

例3中有重力、彈簧彈力、摩擦力做功，涉及滑塊動(dòng)能、重力勢(shì)能、彈簧彈性勢(shì)能和系統(tǒng)摩擦熱的轉(zhuǎn)化.例4中有重力、彈簧彈力、電場(chǎng)力做功，涉及物塊動(dòng)能、重力勢(shì)能、電勢(shì)能和彈簧彈性勢(shì)能的轉(zhuǎn)化.解決此類涉及多個(gè)力做功、多種能量轉(zhuǎn)化的綜合問題的方法是：1）根據(jù)初、末位置彈簧的形變情況計(jì)算出初、末位置彈簧的彈力，然后計(jì)算出此過程彈簧彈力所做的功，再結(jié)合其他力做功的情況，列出動(dòng)能定理表達(dá)式進(jìn)行求解；2）根據(jù)初、末位置彈簧的形變量計(jì)算出初、末位置彈簧的彈性勢(shì)能，再結(jié)合能量轉(zhuǎn)化情況，列出能量守恒定律的表達(dá)式進(jìn)行求解.

3運(yùn)用守恒觀點(diǎn)解決彈簧連接體問題

考點(diǎn)6彈簧連接系統(tǒng)的機(jī)械能守恒

對(duì)于物體和彈簧組成的系統(tǒng)而言，彈簧彈力屬于內(nèi)力，若系統(tǒng)外部除重力外沒有其他力做功（或其他力做功代數(shù)和為零），系統(tǒng)內(nèi)部有彈簧彈力做功，動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，則此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，

考點(diǎn)7彈簧連接系統(tǒng)的動(dòng)量守恒

對(duì)于物體和彈簧組成的系統(tǒng)而言，彈簧彈力屬于內(nèi)力，若此系統(tǒng)不受外力或者所受外力矢量和為零，則此系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒.

（2025年全國(guó)卷）如圖5所示，物塊 P 固定在水平面上，其上表面有半徑為 R 的 圓弧軌道 P 右端與薄板 Q 連在一起，圓弧軌道與 Q 上表面平滑連接.一輕彈簧的右端固定在 Q 上，另一端自由.質(zhì)量為 Ψ_m"的小球自圓弧頂端 A 點(diǎn)上方的 B 點(diǎn)自由下落，落到 A 點(diǎn)后沿圓弧軌道下滑，小球與彈簧接觸后，當(dāng)速度減小至剛接觸時(shí)的""時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為 2mgR ，此時(shí)斷開 P 和Q 的連接，從靜止開始向右滑動(dòng). g 為重力加速度大小，忽略空氣阻力，圓弧軌道及 Q 的上、下表面均光滑，彈簧長(zhǎng)度的變化始終在彈性限度內(nèi).

圖5

（1）求小球從落人圓弧軌道至離開圓弧軌道，重力對(duì)其做的功.

（2）求小球與彈簧剛接觸時(shí)速度的大小及B、A兩點(diǎn)間的距離.

（3）欲使 P 和 Q 斷開后，彈簧的最大彈性勢(shì)能等于 2. 2mgR，Q 的質(zhì)量應(yīng)為多大？

（4）欲使 P 和 Q 斷開后， Q 的最終動(dòng)能最大， Q 的質(zhì)量應(yīng)為多大？

（1）小球從落入圓弧軌道至離開圓弧軌道，重力對(duì)其做的功為 W_G=mgR

（2）設(shè)小球與彈簧剛接觸時(shí)速度的大小為 v₀"，對(duì)小球和彈簧組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律得"""，同時(shí)對(duì)小球從開始下落到離開圓弧軌道由機(jī)械能守恒定律得""，聯(lián)立解得"

（3）彈簧達(dá)到最大彈性勢(shì)能時(shí)，小球與 Q 共速，設(shè)Q 的質(zhì)量為 M ，對(duì)小球和 Q 組成的系統(tǒng)由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得"?""，聯(lián)立解得 M=4m ：

（4）對(duì)小球和 Q 組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律可得，要使 Q 的最終動(dòng)能最大，需滿足小球的速度剛好為零時(shí)，彈簧剛好恢復(fù)原長(zhǎng).設(shè)此時(shí) Q 的質(zhì)量為 M^′，Q 的最大速度為 v_m"，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律""Mu，解得M=1， 9m.

例5中斷開 P 和 Q 的連接后，兩個(gè)物體與彈簧組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律.解決此類問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)兩個(gè)特殊狀態(tài)：1）當(dāng)兩物體共速時(shí)，彈簧形變量最大，彈簧的彈性勢(shì)能最大，兩物體的總動(dòng)能最??；2）當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能為零，兩物體的總動(dòng)能恢復(fù)到初始狀態(tài).

本文從動(dòng)力學(xué)方法、功能關(guān)系和守恒觀點(diǎn)三個(gè)方面出發(fā)，幫助學(xué)生厘清彈簧連接體問題的七個(gè)重要考點(diǎn).但在很多題目中，這三個(gè)方面不是孤立地單獨(dú)呈現(xiàn)，往往一個(gè)題目涉及多物體、多過程的運(yùn)動(dòng)、受力、能量轉(zhuǎn)化等多方面的綜合考量，這就需要學(xué)生熟練運(yùn)用以上做題方法，并且做到融會(huì)貫通，舉一反三.

（完）