高中物理中的近似計算與估算問題

2025-11-14 00:00:00王朝祥張聰閆凌加

高中數理化 2025年20期

近似法是高中物理中廣泛采用的思想方法.在分析解決實際問題時，對于那些難以或無須進行精確測量與計算的物理量，通常需要靈活運用微分、冪級數、二項式定理等數學工具進行近似處理或粗略估算，以便對問題作出合理的解答.

1應用微分思想進行近似計算

若函數 y=f（x）在點 x₀ 處的導數 f^′（x₀）≠0 且 ∣Δx∣=∣x-x₀∣ 很小，忽略函數變化量 Δy 與函數微分 dy 的差異，有 f（x）-f（x₀）≈f^′（x₀）（x-x₀），整理得 f（x）≈f（x₀）+f^′（x₀）（x-x₀）

如果 f（x₀）和 f^′（x₀）都容易計算，這個式子可以用于 f（x）的近似計算.從導數的幾何意義來說，這種近似計算的實質是用曲線 y=f（x）在 x₀ 處的切線來近似代替該曲線.

若 x₀=0 ，上式變為 f（x）≈f（0）+f^′（0）x .應用此式，可以推導出幾個常用的近似計算公式（下列各式中 |x|0）：（1+x）^m≈1+mx，m 取任意常數；sinxtan x≈x，x 以弧度為單位；cos x≈1 ； e^x≈ 1+x · .·

這幾個近似計算公式在高中物理中應用比較廣泛.例如，研究單擺的小振幅振動時，單擺回復力可以進行如下分析：

由此可見，單擺做小振幅振動時，所受的回復力大小與位移大小成正比，方向與位移方向相反，符合簡諧運動的特征，即單擺做簡諧運動，

又如，某種金屬材料的線膨脹系數為 α ，其長度 l 與溫度 Ψ_tΨ_Ψ 的關系式為 l=l_o（1+αt），用這種材料做成立方體，立方體的體積 V=l³=l₀³（1+αt）³≈ l³（1+3αt）=V（1+βt），由此可見 β=3α ，即體膨脹系數為線膨脹系數的3倍，

再如平面折射成像問題.如圖1所示，物點 s 發出的光線經平面折射，成像于像點 S^′ （虛像）.在近軸條件（入射角、折射角趨于零）下， sinθ=tanθ=θ ，結合n₁sinθ₁=n₂sin θ₂ ，可以推得 n₁tanθ₁=n₂tanθ₂ ，即有有中即（20

圖1

例1已知單擺的振動周期，其中 g 取 9.8m?s^-2 ，擺長原為 20cm ，為使周期增大 0.05s ，擺長需要增加多少？

解析

擺長增加 Δl ，周期對應的增加量 ΔT= 代人數據解得

本題中周期 T 是擺長 l 的函數，可以利用微分思想進行近似計算，思路如下： T（l）= T（l₀）+T^′（l₀）（l-l₀），即 ΔT=f^′（x₀）?Δl ，另外，在代入數據計算時，可以利用進行近似計算.

例2如圖2所示，從 z 軸上的 O 點發射一束電荷量為 q（q"?gt;0 ）、質量為 Ψ_m"的帶電粒子，其速度的大小都等于υ ，速度方向分布在以 O 點為頂點、""軸為對稱軸的一個頂角很小的錐體內.試設計一種勻強磁場，使這束帶電粒子會聚于 z 軸上的另一點 M，M 點到 O 點的距離為 d .要求給出該磁場的方向和磁感應強度的最小值.不計粒子間的相互作用和重力的作用，

圖2

如圖3所示，磁場應該沿 z 軸正向，帶電粒子做等距螺旋運動，螺距為 h ，且""其中，θ0 ，cos θ≈1 ，整理得""其中 n=1，2 ，（204號 3，….n=1 時 B 取最小值"

圖3

例3計算同軸柱形電容器的電容：電容器長為L ，內外筒半徑分別為 R_A，R_B，L?（R_B-R_A），邊緣效應可忽略，筒可以看成無限長，筒中無介質.

如圖4所示，讓內外筒分別帶上電荷+Q，-Q ，筒間存在徑向非勻強電場，在內外筒之間建立長為 L 、截面半徑為 r 的高斯面，根據高斯定理整理得電場強度 E₀= 2πerL；筒間電勢差

圖4

筒中無電介質時，同軸柱形電容器的電容

若筒中充滿相對介電常數為 ε_r 的電介質，則（20電場強度，筒間電壓相應變為原值的倍，電容變為原來的 ε_r 倍，即若d=（RB-RA），同軸柱形電容器的電容的決定式近似為

回顧上述實例可以體會到，近似計算并不意味著計算結果的粗糙和不準確.其實恰恰相反，通過近似計算可以得到誤差相對較小的可靠結果，近似計算的過程也體現了不斷接近真實值的方法和途徑.

2 建構理想模型解決估算問題

估算是在物理原理指導下的近似計算.高中物理的實際問題，其研究對象和過程往往比較復雜、多種因素交織，為簡化運算、準確揭示問題本質，在處理過程中需要抓住主要因素、忽略次要因素，構建理想模型解決問題.具體步驟可以概括為“分析問題情境，構建模型 $$ 篩選物理規律，列出方程 $$ 合理近似計算，得出結果\"等三個環節.

物理模型包括對象模型（如點電荷、質點、理想氣體）、過程模型（如勻速直線運動、勻加速直線運動、等距螺旋運動）和條件模型（如勻強磁場、勻強電場、空氣阻力忽略不計等）.建模時，需要抓住主要問題，對實際問題進行合理抽象.

常見的估算題，文字大多比較簡潔，已知條件較少，有些估算題甚至一個已知量也沒有，這就需要認真審題、仔細推敲、廣泛聯系，從字里行間挖掘隱含條件，充分利用所掌握的物理常數和所熟悉的生活常識，作為估算依據.

物理估算題對所求結果的準確程度要求不高，一般只要求計算結果保留 1～2 位有效數字，甚至只要求估算待求物理量的數量級（如用油膜法估算油酸分子的直徑）或取值范圍.為了提高估算的效率，并保證結果的合理性，估算時應注意如下原則：1）代入數據計算時，一般情況下，每個已知量要比計算結果多保留一位有效數字；2）兩個同類物理量相加減時，若兩個量比值在10倍以上，較小的量可以忽略；3）估算過程中常用到一些數學近似，如，忽略高階無窮小……

例4太陽因核聚變釋放出巨大的能量，同時其質量不斷減少.太陽每秒鐘輻射出的能量約為 4× 10²⁶ J，根據愛因斯坦質能方程，太陽每秒鐘減少的質量最接近（）.

A. 10³⁶kgB. 10¹⁸kg （20號 C.10¹³kgD.10⁹kg

. 根據愛因斯坦質能方程 E=mc² 可知，太陽解析輻射的能量與質量虧損的關系為 ΔE= △mc2，太陽每秒鐘減少的質量 10⁹kg ，選項D正確.

本題是高考試題，考查對愛因斯坦質能方程的理解和應用，同時考查估算方法的運用和計算等推理能力.

高考中對計算能力的考查有些是要求考生計算出具體的數值，有些只是要求把握計算結果的數量級.從學科素養的角度來看，估算也是進行科學探究的一種具體表現.

例5某中學生在跳繩比賽時每分鐘跳了180次，假設在每次跳躍中，騰空時間占每次跳躍所用時間的，請估算該中學生在跳繩時克服重力做功的平均功率.

跳躍的周期 s，每個周期的騰空解析時間 s，該中學生跳起后的運動可看作豎直上拋運動，起跳初速度次跳躍克服重力做功，取該中學生的質量為 50kg ，該中學生在跳繩時克服重力做功的平均功率

。點本題取材于中學生的生活實際，體現估算題“分析問題情境，構建模型 $$ 篩選物理規律，列出方程 $$ 合理近似計算，得出結果”的三個環節.

審題時，將跳起后的運動看作豎直上拋運動（理想模型），根據豎直上拋運動的規律計算起跳時的初速度，從而進一步估算該中學生在跳繩時克服重力做功的平均功率.

題目中沒有具體給出中學生的質量，學生可以結合自己的體重進行估算，計算結果在 50～100W 的大致范圍內都是正常的.

例6人造衛星在繞地球運行時，會遇到稀薄大氣的阻力.如果不進行必要的軌道維持，稀薄大氣對衛星的這種微小阻力會導致衛星軌道半徑逐漸減小，以至最終落回地球.這個過程是非常漫長的，因此衛星每一圈的運動仍可以認為是勻速圓周運動.規定兩質點相距無窮遠時的引力勢能為零，理論上可以得出質量分別為 m₁…m₂ 的兩個物體相距 r 時，系統的引力勢能為 Gmm2.已知人造衛星的質量為m，某時刻繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑為 r ，地球半徑為 R ，地表附近的重力加速度為 g

（1）求此時刻衛星的瞬時速度大小 υ 和衛星的機械能 E_#L ：

（2）由于大氣阻力的影響，衛星的軌道半徑逐漸由 r₁ 減小為 r₂ .求在這個過程中，萬有引力做的功W_G 與克服大氣阻力做的功 W_f 的比值.

（3）已知地球半徑為 6400km 當衛星軌道離地面的高度為 200km 時，由于大氣阻力的影響，測得衛星每繞地球一周，軌道高度降低 20m .試估算在此高度大氣對衛星的阻力大小 f 與衛星所受地球引力大小 F 的比值 k （答案保留1位有效數字）.

（1）設地球質量為 M ，對于地球表面質量為m₀ 的物體，萬有引力等于重力，即 m₀g ，整理得 GM=gR² ；衛星繞地飛行，萬有引力提供向心力，則有整理得；由得；由題意 E_p= 則

（2）根據功能關系有整理得 W_f=

（3）衛星軌道漸變，每一周仍視為勻速圓周運動，則有 W_f=2πrf ，所以

結合得，

本題綜合考查萬有引力與天體運動、功能關系，對學生的近似計算和估算能力有較高要求.第（3）小題的模型建構非常關鍵——衛星軌道漸變，每一周仍視為勻速圓周運動，即有 W_f=2πrf ，這一步簡化了克服摩擦力做功的計算；推導摩擦力大小的解析式時，運用近似計算，再一次簡化摩擦力的計算.題目最后的比值運算屬于估算問題，只要求保留1位有效數字，代入數據計算時不必精確計算到最后一步.（可以粗略地約分）