“三一學(xué)法”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐探索

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三一學(xué)法；一題多解；一解多題；一題多題【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2025）27-0038-04

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”提出，要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。面對(duì)數(shù)學(xué)問題，如何啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考？筆者認(rèn)為可以從下面三個(gè)維度去研究：第一，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考，從多個(gè)角度尋找問題的解決方法；第二，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納，探索不同問題的共同解法；第三，讓學(xué)生學(xué)會(huì)提出問題，通過(guò)問題的生長(zhǎng)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度思考。上述問題研究的方法就是“三一學(xué)法”，又稱“三一思考法”，是指在學(xué)習(xí)過(guò)程中自覺運(yùn)用\"一題多解、一解多題、一題多題”的思考要求進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)。“三一學(xué)法\"本質(zhì)上是一種養(yǎng)成多角度思考問題、一般化認(rèn)識(shí)與解決問題、跨界延伸汲取營(yíng)養(yǎng)產(chǎn)生新問題的積極思維方式。運(yùn)用“三一學(xué)法”，可以引導(dǎo)學(xué)生時(shí)時(shí)處處思考，讓訓(xùn)練慢下來(lái)、思考深度化，推動(dòng)知識(shí)關(guān)聯(lián)化、本質(zhì)化。2]

“一題多解\"“一解多題”和\"一題多題\"三者沒有必然的先后順序，而是相互聯(lián)系、相互作用、相互融通的（如圖1）。三者之間形成了一個(gè)完整的認(rèn)知生態(tài)系統(tǒng)，共同推動(dòng)學(xué)生思維能力的提升。在“一題多題”的探究過(guò)程中，學(xué)習(xí)者往往會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由表及里、由淺人深的認(rèn)知過(guò)程。當(dāng)面對(duì)一個(gè)核心問題時(shí)，通過(guò)深人分析其本質(zhì)特征，學(xué)生將會(huì)發(fā)現(xiàn)該問題可能對(duì)應(yīng)著多種不同的解法路徑，這便涉及“一題多解”的思維過(guò)程。同時(shí)，在拓展問題邊界的過(guò)程中，學(xué)生又會(huì)意識(shí)到不同問題可能共享相同的解題策略，這又體現(xiàn)出“一解多題”的思維特征。因此，“一題多題\"中蘊(yùn)含“一題多解\"和“一解多題”。在“一解多題”的過(guò)程中，我們通過(guò)將同一解題方法應(yīng)用于不同問題情境，不僅能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)方法的普適性理解，更能觸發(fā)他們多維度的思維拓展。一方面，通過(guò)對(duì)解法的遷移應(yīng)用，學(xué)生能夠識(shí)別不同問題間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而構(gòu)建起“一題多題\"的問題網(wǎng)絡(luò)；另一方面，通過(guò)具體的問題啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思考，可以引導(dǎo)其發(fā)掘更多解法，實(shí)現(xiàn)對(duì)“一題多解”的探索。在“一題多解”的過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生深入分析某一解法的本質(zhì)特征時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)其適用范圍往往超出原問題本身，從而導(dǎo)向“一解多題”的思維路徑。同時(shí)，通過(guò)變化原問題的條件，可以派生出一系列的新問題，形成“一題多題”的問題鏈，可見，“一題多解”也離不開“一解多題\"和\"一題多題”。

（圖1）

“三一學(xué)法\"對(duì)教學(xué)提出了更高的要求，不再是傳統(tǒng)的“一題多解”，而是要通過(guò)對(duì)一個(gè)問題的深度分析與拓展，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，完善他們的知識(shí)與方法結(jié)構(gòu)，達(dá)到“舉一反三”的效果，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)。本文將嘗試以一道教材例題的講評(píng)為例，展現(xiàn)“三一學(xué)法\"在實(shí)踐教學(xué)的運(yùn)用過(guò)程。

例題設(shè) x，y 為實(shí)數(shù)，已知 則 sin（x-y） 的值為 。

例題分析：這道例題來(lái)源于蘇教版高中數(shù)

學(xué)教材必修二，教材的習(xí)題部分多次出現(xiàn)相似

的問題條件。例如，第57頁(yè)練習(xí)第5題“已知

，求 cos（α-β） 的

值。\"第61頁(yè)練習(xí)第3題\"已知 新

（204號(hào) 求 sin（α+β） 的值。\"第61頁(yè)練習(xí)

第5題“已知sinα-cosβ=-2， sin（α-β） 的值”。學(xué)生熟悉該問題的背景，但是在解題的時(shí)候卻處處碰壁，無(wú)法找到解決問題的突破口。

一、一題多解，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考

學(xué)生利用已有的方法無(wú)法解決問題，是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的常態(tài)，此時(shí)學(xué)生需要利用求異思維沖破思維定式的束縛，從多個(gè)角度認(rèn)識(shí)問題，探究解題思路。一題多解\"的本質(zhì)是探究性學(xué)習(xí)，要求學(xué)生發(fā)散思考，深化對(duì)問題的理解，在解法探究過(guò)程中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移和思維發(fā)展。因此，在課堂上教師可以通過(guò)給予學(xué)生充分的思考時(shí)間與交流時(shí)間，利用小組合作啟發(fā)學(xué)生思考，突破思維難點(diǎn)，尋找解題突破口，從而得到多種解法。

法1：將條件中的兩個(gè)等式平方相加或相減，分別得到 ，借助三角函數(shù)的平方差公式得到 ，因此 sin $（ x - y ） = ＼frac { 3 } { 5 } 。$

法2：利用誘導(dǎo)公式對(duì)條件進(jìn)行變形得到 和 3，借助和差化積公式求得 ，利用萬(wàn)能公式得到 即 sin（x- $y ） = ＼frac { 3 } { 5 } 。$

法3：由條件得到 sinx+cosy=2（cosx+siny）

利用輔助角公式得到 x 與 y 的關(guān)系，最后利用輔

助角的萬(wàn)能公式求得 中

法4：因?yàn)?x=（x-y）+y，y=x-（x-y） ，所以借助角的變換得到所求角的三角函數(shù)關(guān)系，即 ，利用方程組求解得到 $＼sin （ x - y ） = ＼frac { 3 } { 5 } 。$ （204號(hào)

法5：已知 sin²x+cos²x=1，sin²y+cos²y=1 ，再加條件中的兩個(gè)等式得到關(guān)于 sinx，cosx，siny cosy的四個(gè)方程，解方程得到

“三一學(xué)法\"的“一題多解”與傳統(tǒng)的“一題多解”不同，特別強(qiáng)調(diào)“呈現(xiàn)多種解法之后，引導(dǎo)學(xué)生分析解法之間的關(guān)系，比較解法之間的優(yōu)劣”。法1、法4與法5的本質(zhì)都是建立方程并解方程，然后利用方程的解來(lái)表示所求的式子，體現(xiàn)了方程思想。法2與法3的本質(zhì)是尋找角之間的關(guān)系，從而將角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)之間的關(guān)系去解決。尋找角之間的關(guān)系對(duì)于學(xué)生來(lái)講，思維難度大但是運(yùn)算水平要求低，而建立方程雖然容易想到但是實(shí)際運(yùn)算復(fù)雜。因此，對(duì)于此題，最優(yōu)的解法應(yīng)該是“尋找角之間的關(guān)系”，學(xué)生掌握這種方法，可以提升思維水平，高效解決問題，從而實(shí)現(xiàn)從“一題多解\"到“一題優(yōu)解”。

二、一解多題，引導(dǎo)學(xué)生歸納本質(zhì)

在數(shù)學(xué)課堂上，我們經(jīng)常會(huì)碰到“一題多解”的情況，但是卻很少碰到“一解多題”的情況。因?yàn)椤耙唤舛囝}”即“問題不同，解法相同”，需要學(xué)生在平時(shí)的解題過(guò)程中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行歸納總結(jié)。與“一題多解”的求異思維不同，“一解多題”強(qiáng)調(diào)求同思維，要求學(xué)生掌握方法的本質(zhì)。

教材習(xí)題1已知 2，cosa + ，求 cos（α-β） 的值。

教材習(xí)題2 已知 2，cosa + ，求 sin（α+β） 的值。

教材習(xí)題3 已知 求 sin（α-β） 的值。

教材習(xí)題4證明下列恒等式： sin⁴α+ cos⁴α=1-2sin²αcos²α （2

教材習(xí)題5 證明下列恒等式：

教材習(xí)題6 已知 ，求sin2α 的值。

教材習(xí)題7 π），求tanα的值。

通過(guò)對(duì)這7道教材習(xí)題的比較研究，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：這些問題的條件雖然不同，但是解法一樣。例如，教材習(xí)題1一3的解法都是將條件中的兩個(gè)等式兩邊同時(shí)平方，然后相加，利用同角的正弦與余弦的平方和等于1從而簡(jiǎn)化問題。法1和法5也是利用同角正弦與余弦的平方和等于1，只不過(guò)比教材習(xí)題的綜合性更強(qiáng)，解法1需要借助三角函數(shù)的平方差公式，解法5需要求解四元方程，對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和運(yùn)算能力提出了更高的要求。教材習(xí)題4—7也是利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，這與本文的例題和教材習(xí)題1一3的解法是一樣的，從數(shù)學(xué)的本質(zhì)來(lái)分析就是“一解多題”—多個(gè)問題對(duì)應(yīng)著同一種解法，這是歸納思維的體現(xiàn)。在平時(shí)的教學(xué)中，教師可以通過(guò)“一解多題\"強(qiáng)化學(xué)生對(duì)解決問題的通性通法的掌握，以“四基”為抓手真正培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

三、一題多題，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

“一題多題\"不是簡(jiǎn)單的重復(fù)訓(xùn)練，也不是變式訓(xùn)練，而是教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行深度思考與探究之后的拓展與延伸。學(xué)生通過(guò)查閱資料、小組討論、教師點(diǎn)撥之后提出一系列新問題，這些問題可以是與此題相關(guān)的教材習(xí)題、高考題、模擬題，從而幫助學(xué)生歸納數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)；也可以是命制的新問題，以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思考的能力，讓學(xué)生從“解題者\(yùn)"轉(zhuǎn)變?yōu)閈"命題者”。通過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生既鞏固了所學(xué)知識(shí)與方法，又加深了對(duì)數(shù)學(xué)的理解，有效提升了提出問題和解決問題的能力。

問題1 已知 的值。

【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化學(xué)生對(duì)和差化積公式的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，問題的目標(biāo)指向性明確，屬于基礎(chǔ)題。

問題2 已知 α，β 都是銳角，且滿足 cosβ= 則（ ）。

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)問題是一道高考題，考查學(xué)生的“切化弦”兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，強(qiáng)化學(xué)生研究角之間關(guān)系的意識(shí)。單選題的設(shè)置啟發(fā)學(xué)生思考角之間的關(guān)系，降低問題的抽象程度與難度，便于學(xué)生接受，屬于中檔題。

問題3 記 ΔABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 _a，b，c ，已知 ，則 中的最小值為 。

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)問題改編于高考題，條件是不同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，問題是與邊長(zhǎng)有關(guān)的代數(shù)結(jié)構(gòu)的最值。條件與問題之間的關(guān)系對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是思維的難點(diǎn)，學(xué)生需要自主尋找角之間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)問題的代數(shù)結(jié)構(gòu)式，并利用基本不等式解決問題。此題可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考，探究多種解法，有助于其提升解決復(fù)雜問題的能力，屬于難題。

問題4已知 ，且 sinα-sinβ= 則 tanα+tanβ=

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)問題與教材中的題目和本文所講的例題相似，但是學(xué)生無(wú)法順利解決問題，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生打破定勢(shì)思維，培養(yǎng)其獨(dú)立思考和靈活轉(zhuǎn)換問題思路的能力，從而提升學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，屬于難題。

“三一學(xué)法\"通過(guò)“一題多解”“一解多題”和“一題多題”三個(gè)維度的有機(jī)整合，構(gòu)建了一個(gè)系統(tǒng)化的思維培養(yǎng)體系。其中，“一題多解”有助于提升學(xué)生的演繹思維和發(fā)散思維，“一解多題\"有助于提升學(xué)生的歸納思維和逆向思維，“一題多題\"有助于提升學(xué)生的高階思維和創(chuàng)造性思維。“三一學(xué)法\"以“思維化\"教學(xué)為抓手，改進(jìn)教學(xué)品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)思考、深度學(xué)習(xí)。在高中數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，“如何利用數(shù)學(xué)課堂貫徹拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)任務(wù)”成為當(dāng)前教育研究的重要課題。“三一學(xué)法”無(wú)疑為我們提供了切實(shí)可行的實(shí)踐新思路，為學(xué)生學(xué)習(xí)賦能，助力其養(yǎng)成“合作、探究、反思”等科學(xué)家的基本品質(zhì)，培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才所需的思維。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]葛軍.改善學(xué)生的學(xué)習(xí)：南京師大附中的教改探索[J].中小學(xué)管理，2021（5）：5-8.

助理編輯：王一民