基于角的核心概念驅動概念體系重塑與優化

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）23-0111-06

在高中數學立體幾何教學過程中，角的概念從平面幾何拓展至空間幾何，其中二面角作為核心概念，對學生深入理解空間幾何具有至關重要的作用。本研究以二面角復習課為切入點，探討基于角的核心概念驅動的概念體系重塑與優化的教學實踐。

一、研究綜述

角作為刻畫方向的度量，是幾何學的核心概念，它既存在平面幾何圖形中，又存在空間幾何圖形中，貫穿于三角函數、向量、解析幾何、立體幾何等高中主干內容，貫穿平面與空間幾何。在平面幾何里，角用于描述兩條相交直線的相對位置，是研究三角形、多邊形等圖形性質的基礎，如三角形內角和定理等。在空間幾何中，角的概念得以延伸拓展，二面角就是典型例子。

二面角是立體幾何中描述兩個平面相對位置關系的重要概念，連接了線、面、體等多種幾何元素。從平面幾何到立體幾何的過渡中，二面角發揮了橋梁作用，例如在棱錐、棱柱等多面體中，面與面的夾角常通過二面角來刻畫，可見，二面角能夠幫助學生從二維平面思維邁向三維空間思維，理解空間幾何體的結構特征，體現了角概念從低維到高維的重要發展。在解答立體幾何的計算與證明問題中，二面角是常用的解題工具，如求點到平面的距離、證明面面垂直等常需借助二面角的平面角來構建數學模型求解。通過掌握二面角的核心概念，學生能夠將復雜的立體幾何問題轉化為可操作的數學計算，進而提高解題能力。

在二面角學習中，學生常面臨諸多難點，空間想象能力不足首當其沖。他們難以在腦海中構建起兩個相交平面的立體形態，對二面角的“面一棱一面\"結構缺乏直觀認知。學生面臨的概念遷移困難也較為突出，從平面角過渡到二面角時，他們難以將已掌握的平面角知識與二面角建立有效聯系，無法準確理解二面角的平面角的定義，導致后續求解二面角大小等問題時困難重重。與此同時，傳統教學中的概念傳授常停留在記憶層面，忽視了學生的認知差異與思維發展規律。

核心概念再建是教學深化的必然需求。通過核心概念再建，教師能精準定位學生學習二面角概念時處于哪個層次，從而有效開展針對性教學。布盧姆教育目標分類學將學習目標分為記憶、理解、應用、分析、評價和創造等六個層次[1。教師可基于布盧姆教育目標分類學解構學習層次，結合SOLO分類理論定位思維結構，將抽象概念轉化為多維度表征，如符號、圖形、操作等[2。這既能精準診斷學生的認知障礙，又能通過分層任務推動思維進階，避免機械灌輸導致的理解淺表化。此外，核心概念再建還能銜接學科知識與現實應用，使學生從被動接受轉向主動建構，實現從知識記憶到素養培養的教學目標轉變。

基于上述分析，筆者將研究目標設定為兩個方面。一方面是探索以角為核心的概念體系重塑方式，以此優化二面角的教學實踐。依據思維層次理論，從低階思維向高階思維發展需要科學引導作為支撐。重塑核心概念，幫助學生把零散知識串聯起來，搭建起系統知識網絡，加深對概念的理解，實現從淺層次記憶到深層次應用與創造的思維跨越，從而提升學習效果。另一方面是通過實踐驗證分層教學策略對學生數學思維發展的影響。通過梳理角在平面與空間幾何中的關聯，結合布盧姆教育目標分類學與思維層次理論，剖析學生理解二面角的難點。構建一套符合學生認知規律的概念體系，讓學生順利實現從平面角到二面角的知識遷移，提升他們的空間想象能力與邏輯思維能力，增強教學實效性。

二、二面角概念體系重塑策略

布盧姆教育目標分類學為知識體系的構建與重塑提供了科學框架。教師可以從概念溯源、層級構建、實踐轉化三個維度重塑基于角的核心概念體系的二面角概念體系。

（一）概念溯源：錨定角的本質，解構二面角概念內核

教師在布盧姆教育目標分類學中記憶與理解目標指引下，追溯角的本質特征一一從平面幾何“從一點出發的兩條射線所組成的圖形”到空間幾何“由一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形”，明確二面角是角的概念從二維到三維的延伸。通過對比分析平面角與二面角的構成要素、度量方式，從角的形成與發展、分類與聯系著手，以角的本質屬性為主線，將二面角的棱、面、平面角等關鍵要素與角的基本屬性建立關聯，消除認知模糊點，構建整體框架，重塑二面角概念的邏輯根基。

（二）層級構建：遵循認知進階，分層重構概念體系依據布盧姆教育目標分類學，結合SOLO分類理論定位思維結構，可以將對二面角概念認知任務劃分為遞進式層級。在應用與分析層面，教師可以設計階梯任務：從簡單立體圖形中識別二面角（單點結構），到在復雜幾何體中拆解多個二面角關系（多點結構），再到構建二面角與線面位置關系的知識網絡（關聯結構）；在評價與創造層面，鼓勵學生評估不同二面角模型的優劣，嘗試通過改變圖形條件創造新的二面角情境，推動概念體系從零散向結構化、系統化轉變，實現從低階記憶到高階思維的跨越。例如，對比分析二面角與異面直線所成角、直線與平面所成角，明確它們在定義、求解方法和應用場景方面的異同。通過對比，學生能清晰認識到不同空間角概念間的聯系與區別，構建起完整的空間角概念體系。

（三）實踐轉化：多模態表征融合，深化概念理解應用

在布盧姆教育目標分類學的指導下，教師可以結合SOLO分類理論，將抽象概念轉化為符號、圖形、操作等多維度表征，從而重塑二面角概念的學習路徑。符號表征方面，需要規范二面角的數學符號書寫與公式推導；圖形表征中，可以利用動態幾何軟件演示二面角變化過程，強化空間感知；操作表征時，可以通過圖解分析，讓學生直觀感受二面角的形成與度量。教師需創設情境，使學生在真實的幾何情境中計算二面角的大小，引導學生運用二面角概念解決實際問題，將重塑后的概念體系轉化為可遷移的實踐能力。例如，根據圖解，直觀分析作二面角的平面角的過程經歷了作線面角、作線線角，求二面角的本質就是求線線角；學習在不同幾何圖形中尋找和構造二面角的平面角的技巧，練習幾何法和向量法在求解各類空間角中的應用；等等。學生將能夠理解代數方法在解決幾何問題中的通用性，打通代數與幾何知識的壁壘。

三、二面角復習課教學實踐

（一）教學目標

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》針對圍繞核心概念再建概念提出了以下教學要求：教師首先要引導學生理解核心概念的本質，通過問題情境、數學活動等，讓學生感受概念的形成過程，體會核心概念與其他概念的聯系，進而構建概念體系；其次鼓勵學生運用信息技術學習、探索和解決問題，例如使用信息技術展示空間圖形能夠為理解和掌握圖形幾何性質提供直觀素材；同時，注重培養學生的數學思維和素養，鼓勵學生運用核心概念去解決問題，在實踐中深化對新概念的理解，促進知識的遷移和應用，提升學生的數學能力，發展學生的數學學科核心素養[3]。基于以上要求，筆者確定二面角復習課目標如下。

課程目標分為三個方面：第一，閱讀幾何情境，能識別情境中的數學問題，會用數學的眼光觀察現實中的情境問題；第二，分析幾何情境，能用幾何方法思考分析，會用數學的思維思考現實情境中的問題；第三，理解幾何情境，能用數學符號表示求解過程，會用數學語言表述現實情境中的問題。

單元目標也設計為三個方面：第一，通過回顧對比角的概念，能厘清平面、空間中角的相關概念的聯系，體會平面和空間中角的共性與差異；第二，運用幾何的方法分析平面和空間基本圖形的位置關系，能用幾何法和向量法解決角的度量問題，體會幾何法與向量法的共性與差異；第三，巧用向量法解決簡單的實際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具。

課時目標如下：通過單個和多個情境對比梳理與二面角核心概念相關的概念，能用思維導圖表示不同角之間的聯系，體會邏輯推理的核心素養；通過整合二面角一題多解的解題經驗，能說出求二面角的幾何法和向量法的一般步驟，發展抽象概括的能力；通過分析二面角的幾何情境，優化解決二面角問題的方法，提高解決問題的能力。

目標達成的標志：學生能夠用思維導圖表示各類角的概念的關聯性，能說出幾何法和向量法的一般方法和步驟，能利用“最優解”解決二面角的問題。

教學重點共兩個：深挖與二面角相關的核心概念，重建概念體系；整合求二面角的一般方法和步驟，優化解決問題的方法策略。教學難點為優化二面角解題策略的過程。

（二）教學過程

1.設問注重知識的整體性、關聯性、遷移性，搭建框架重建概念體系

數學知識之間具有整體性，各模塊不是孤立存在，而是有機融合的；其次，教師要重視知識之間的關聯性，要清晰地認識到二面角和線面角、線線角相互依存、相互促進；教師還要強調知識的遷移性，引導學生將已學知識與方法從熟悉的情境遷移至新的情境，培養學生舉一反三的能力。因此，基于對概念的記憶和理解，結合二面角在平面與空間的紐帶作用，本節復習課從角的主線出發，整體把握角的形成與發展，明確求二面角

就是求線線角。

問題1：同學們，高中階段我們學習了各種形式的角，你還記得有哪些嗎？

師生活動：師生共同回憶、總結（如圖1所示）。為擴充角的取值范圍，刻畫角的旋轉過程，引入動態定義任意角；為刻畫直線的傾斜程度，引入傾斜角；為更好地實現幾何與代數的轉化，引入向量夾角；為刻畫異面直線的位置關系，引入異面直線所成的角；為刻畫直線與平面的位置關系，引入直線與平面所成的角；為刻畫平面與平面所成角的關系，引入二面角，同時引入二面角的平面角實現對二面角大小的測量。

設計意圖：在布盧姆教育目標分類學記憶目標指引下，師生結合各種角形成的動態圖象回顧概念，為深挖二面角與其他相關概念的橫向關聯、拓展概念體系鋪墊。學生回憶舊知，關注數學表達，提升了抽象概括的能力。

問題2：回顧并對比角的形成過程，不同角的結構成有什么區別？

問題3：對比角的研究方式，不同角之間有什么聯系？

設計意圖：在布盧姆教育目標分類學理解目標的指引下，教師通過追問，關注學生能否通過情境對比進行準確分類，引導學生從不同的視角觀察角之間的關聯，啟發學生提出問題，并初步完成分類任務。如：根據角的研究方式，先有平面直角坐標系研究角，后有利用空間角刻畫空間中的線線、線面、面面關系，最終又回歸在平面中表示和度量空間中的角；根據角的結構特征，角還可以分為線線角、線面角、面面角。接著自然生成兩個或者三個研究方向，即空間角和平面角兩個研究方向或者線線角、線面角、面面角三個研究方向。

圖1不同角的形成過程

問題4：你能否用思維導圖將角進行分類？

師生活動：學生嘗試用思維導圖對角進行分類，教師評價反饋，得到如圖2所示的思維導圖。

圖2角的分類

設計意圖：教師提供機會讓學生表達，充分發揮學生的主觀能動性，推進“教一學一評”一致性教學，為梳理知識框架鋪墊。思維導圖能夠直觀呈現角的分類、結構、聯系，使學生整體把握知識結構體系，洞察由平面角刻畫空間角的轉化路徑。

問題5：我們高中階段學習的最后一類角是什么角？它是如何定義的？

學生活動：復述二面角的概念與二面角的平面角的概念。

二面角：從一條直線發出的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角。這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面，二面角的大小取值范圍為 [0，π] ○

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角。

設計意圖：教師利用Geogebra繪圖軟件直觀呈現二面角的平面角的作圖過程，帶領學生回顧二面角的定義的形成過程，回歸教材，深化概念，理解如何用幾何法求二面角。

問題6：除了根據定義利用幾何法找二面角的平面角，還有其他找二面角的平面角的方法嗎？

教師活動：教師利用Geogebra繪圖軟件直觀呈現用向量法找二面角的平面角的過程，帶領學生回顧二面角的定義，深化學生的理解，并強調法向量的夾角大小不一定等于二面角的大小，它們有可能互補。

設計意圖：教師引導學生思考二面角的平面角的多元構造方法，使學生建立幾何法與向量法的聯系。運用Geogebra演示向量法的應用，能夠更直觀地突出法向量夾角與二面角的關系，幫助學生深入理解有關知識。

這一教學片段以角為主線，通過系列問題引導學生回顧各類角的概念、對比各類角的形成過程與研究方式，用思維導圖分類梳理，構建知識框架。問題設計注重知識的整體性、關聯性和遷移性，從平面角到空間角，引導學生建立概念之間的聯系，還借助Geogebra繪圖軟件直觀呈現圖形，深化學生對二面角概念的理解，為后續學習做好鋪墊。

2.題目選擇要注重基礎性、綜合性、應用性，優化分層教學策略

依據布盧姆教育目標分類學認知層次，結合SOLO分類理論定位思維結構，教師可以在應用與分析層面設計階梯任務。教師根據學生學習水平和能力差異進行分層教學，以高考評價體系和高考真題考查方向為指引，設計具有梯度的例題和訓練題。通過分層教學與個性化指導，適時引導學生思考問題本質，糾正錯誤觀念，促進學生對知識的深度理解，剖析解決問題方法的本質，引導學生優化解題策略一一多想少算。

首先，典例應盡可能選擇便于同時使用幾何法和向量法兩種方法求解的題目，為學生運用二面角知識和鞏固方法提供復習案例，強化學生的基礎，也為后續進階練習中優化解題策略提供先行組織和參考依據。

例題：（2017年全國卷I理科，第17題）如圖4，在四棱錐 P//BCD 中，AB//CD，且 ∠BAP=∠CDP=90^° □（1）證明：平面PAB⊥平面 PAD ：

（2）若 PA=PD=AB=DC ， ∠APD=90^° ，求二面角 A-PB-C的余弦值。

圖3二面角的平面角

圖4例題圖

教師活動：教師提出問題7，引導學生分析例題的第（1）問。平面 PAB⊥ 平面 PAD 時，平面 PAB 與平面 PAD 所成的二面角是多少度？證明平面 PAB⊥ 平面 PAD 的思路是什么？引導學生說出平面 PAB 與平面PAD 所成的二面角是90度，也稱為直二面角。要證明平面 PAB⊥ 平面 PAD ，需證明 AB⊥ 平面 PAD ；要證明AB⊥平面 PAD ，需證明AB⊥PA且AB⊥PD（如圖5所示）。

圖5解答例題第（1）問的思路

設計意圖：分析證明面面垂直的思路，引導學生發現證明面面垂直的本質就是尋找直二面角，當二面角的平面角為直角時，亦可以證明面面垂直。學生經歷了“證明線線垂直一證明線面垂直一證明面面垂直”的過程，能夠重建求解直二面角的作答體系。

教師活動：教師提出問題8，引導學生分析例題的第（2）問。求二面角A-PB-C余弦值的思路有哪些？并說說具體求解過程。

學生活動：學生說出求二面角的兩種方法- 一幾何法和向量法，并分別利用幾何法求解二面角（如圖6所示）或者建立空間直角坐標系利用向量法求解（如圖7所示）。

圖6利用幾何法求解二面角的圖形分解

圖7利用向量法求解二面角的圖形分解

設計意圖：本例為2017年高考真題，第（1）問證明平面 PAB⊥ 平面 PAD ，能夠讓學生在證明過程中理解證明面面垂直的本質就是求直二面角；第（2）問求二面角A-PB-C，不管是用幾何法還是向量法，都較容易求解。選擇本題作為例題進行一題多解剖析，容易讓學生接受和理解。分析圖解過程，引導學生發現幾何法求解二面角是將面面角轉化為線面角后再轉為線線角，因而求解二面解的本質就是求線線角；利用向量法求二面角是通過求兩個平面法向量的夾角來求解，本質都是將空間幾何轉化為平面幾何，最終在同一平面內求線線角。

其次，真題訓練的設計應以提升學生的思維能力為目的，可傾向于考查幾何法或者向量法的應用，重點為引導學生學會分析問題，選擇合適的方法解決問題，達到優化解題方法的目的。

真題訓練：（2023年新課標 I 卷，第20題）如圖8，三棱錐 A/-BCD 中， DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB= ∠ADC=60^°，E 為 BC 的中點。

（1）證明： BC⊥DA ：

（2）點 F 滿足 ，求二面角 D/-AB/-F 的 正弦值。

圖8真題訓練圖

教師活動：教師提出問題9，求解第（2）問的方法有哪些？哪種方法更合理，為什么？

學生活動：學生分別用幾何法和向量法求解（如圖9所示），比較后發現用向量法求解此題更簡潔。

圖9學生求解真題訓練的兩種方法（預設）

設計意圖：檢測課堂效果能夠及時發現和糾正學生的不足，提高學生的解題能力。教師也能夠根據課堂情況及時調整教學策略，通過對比分析向量法和幾何法的解題思路，引導學生思考如何利用定義分析，選擇合理的方法進行求解，引出“多想少算”的思想。

最后，限時訓練的設計要注重創設高考考試的情境，讓學生在有限的時間內求解一道高考真題，訓練學生時間分配等應變能力，達到優化解題時間策略的目的。

限時訓練：（2024年全國 I 卷，第17題）平面四邊形 ABCD 中， AB=8 ， ， ∠ADC=90^° ，∠BAD=30^° ，點 E，F 滿足 ， ，將ΔAEF 翻折至平面 PEF ，使得 。

（1）（略）

（2）求平面 PCD 與平面 PBF 所成的二面角的正 弦值。

要求：限時訓練，針對第（2）問，請思考3分鐘，并給出你的解題方法和思路。

圖10限時訓練圖

設計意圖：本題所求二面角由圖中兩個無公共棱的半平面構成，在高考中想要用幾何法解決此類問題一般是比較困難的。以此題作為限時訓練，能夠啟發學生快速審題、提煉解題思路，提高學生解決問題的能力。

3.總結要注重方法的可行性、普適性、系統性，提升思維能力，發展素養

可行性方法能夠讓學生克服畏難情緒，增強學習信心，培養積極探索的思維習慣；普適性方法能夠鍛煉學生的歸納推理能力，使學生學會從不同題目中抽象出通用的解題思路，提升邏輯思維水平；系統性方法能夠幫助學生構建知識網絡，培養學生的整體思維和抽象概括能力。基于二面角的抽象空間屬性，直觀呈現過程與方法，是確保學生思維得到有效提升的途徑。因此，筆者借助布盧姆教育目標分類學，結合SOLO分類理論將抽象概念轉化為多維度表征，采用符號、圖形、操作等多維度表征帶領學生重塑二面角概念。因此，在總結階段，教師可以采取以下三個做法。

首先，教師重現用幾何法求解二面角的思路（如前文圖5所示），引導學生分解圖形深挖概念本質，重構知識、方法、本質的整體框架，加深學生對找二面角過程的理解，深化對二面角與線面角、線線角的關聯的理解，重構概念，理解求二面角就是求線線角。

其次，教師重現分別用幾何法和向量法求解二面角的思路（如圖11所示），在圖形分解的輔助下加強學生對普適性方法的理解，直觀對比不同方法的優劣，讓學生能夠選擇更合理的方法解決問題，達到優化解題思路的目的。

圖11幾何法和向量法求解二面角的圖形分解圖

最后，教師重現求解限時訓練的圖形分解（如圖12所示），引導學生明確選擇合適的方法解決問題的重要性。

圖12求解限時訓練的圖形分解圖

總結階段教師先重現幾何法思路，分解圖形重構概念；再對比幾何法與向量法，幫助學生選擇更優的方法；最后重現限時訓練圖形分解，強化方法選擇的重要性，三步遞進深化總結，引導學生形成從知識解構到方法優化再到實踐應用的系統性認知。

基于布盧姆教育目標分類學，結合SOLO分類理論設計的二面角教學，將抽象概念轉化為多維度表征，通過符號、圖形、操作等多種形式重塑二面角概念，為高中數學立體幾何教學提供了一種有效的教學方法。以角的核心概念為驅動，重塑和優化概念體系的教學實踐，通過明確不同層次的教學目標，并圍繞這些目標設計相應的教學活動和評估方式，能夠更好地滿足學生的認知發展需求，促進學生對二面角知識的全面掌握和思維能力的提升，有效提高教學質量和學生的數學學科核心素養。盡管在教學實踐中仍存在一些需改進的問題，但隨著不斷完善和應用，該教學方式有望為提升高中數學教學質量提供更有力的支持。后續研究可進一步探討布盧姆教育目標分類學在其他數學知識板塊教學中的應用，以及如何更好地將該理論與現代教育技術相結合，優化教學過程，提升教學效果。

參考文獻

[1]布盧姆.教育目標分類學：第一分冊認知領域[M].羅黎輝，丁證霖，石偉平，譯.上海：華東師范大學出版社，1986.

[2]吳有昌，高凌飚.關于SOLO分類法的一些新思考[J].華南師范大學學報（社會科學版），2009（5）：152-155.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）M.北京：人民教育出版社，2020.

（責編劉小璦）