解構(gòu)抽象 剖析內(nèi)涵 實操破局

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1674-6058（2025）23-0020-04

高中階段對函數(shù)圖象的對稱性的討論，主要圍繞軸對稱和中心對稱兩種類型展開.其中，軸對稱主要討論對稱軸為垂直于 x 軸的直線的情況.對稱性在函數(shù)定義及單調(diào)性等基本性質(zhì)之后引入[1-3].在學(xué)生掌握函數(shù)奇偶性概念的基礎(chǔ)上，適當(dāng)拓展，可進(jìn)一步系統(tǒng)研究一般軸對稱和中心對稱函數(shù)的特點[4-6].

高中關(guān)于函數(shù)對稱性的教學(xué)與考查，注重引導(dǎo)學(xué)生理解對稱性的定義和性質(zhì)，掌握函數(shù)的奇偶性與對稱性的關(guān)系，認(rèn)識圖象平移對函數(shù)對稱性的影響，并能通過解析式判斷對稱軸或?qū)ΨQ中心.綜合類題目常結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識考查學(xué)生綜合運用函數(shù)性質(zhì)解決問題的能力，

解決函數(shù)對稱性問題，數(shù)形結(jié)合至關(guān)重要，通過函數(shù)的代數(shù)表達(dá)和幾何性質(zhì)理解問題是關(guān)鍵.相較于一般函數(shù)或抽象函數(shù)，三角函數(shù)的對稱性更直觀.學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，不僅能夠深化對對稱性的理解，更有助于從動態(tài)視角理解函數(shù)的性質(zhì)，逐步實現(xiàn)知識的融會貫通，為突破抽象函數(shù)對稱問題提供堅實支撐.

一、函數(shù)對稱性基礎(chǔ)知識及理論拓展

函數(shù)對稱性是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的基礎(chǔ)知識，與單調(diào)性、周期性、奇偶性等性質(zhì)并列，是理解函數(shù)圖象和性質(zhì)的關(guān)鍵.該知識點在高考中考查形式多樣，涵蓋選擇題、填空題和解答題，既有直接考查定義和性質(zhì)的簡單題，也有結(jié)合圖象、變換和實際應(yīng)用的復(fù)雜題[7-8].

學(xué)習(xí)函數(shù)對稱性有助于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，能幫助學(xué)生培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)與數(shù)形結(jié)合能力，使其在解決相關(guān)問題時能夠迅速把握結(jié)構(gòu)特征、形成解題思路.因此，函數(shù)對稱性既是學(xué)生必須掌握的重要知識點，也在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解決問題能力方面作用重大.

對人教版教材的梳理顯示，教師在引入函數(shù)奇偶性時，一般依據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義得出：f（x） 為偶函數(shù)的充要條件是其圖象關(guān)于 y 軸對稱；f（x） 為奇函數(shù)的充要條件是其圖象關(guān)于原點中心對稱.強(qiáng)調(diào) ?x∈D （定義域），則 -x∈D 具體定義如下：

偶函數(shù)： ?x∈D，f（-x）=f（x） （即 f（-x）-f（x）= 0）? 圖象關(guān)于 y 軸（即 x=0 ）對稱.

奇函數(shù)： ?x∈D，f（-x）=-f（x）（ 即 f（-x）+f（x）= 0）? 圖象關(guān)于原點（即 （0，0） 對稱.

進(jìn)一步拓展思考偶函數(shù)的定義，可推得更一般的軸對稱性質(zhì)：

?x∈D，f（-x）=f（x） ，即 f（0-x）=f（0+x） ，則函數(shù)圖象關(guān)于 x=0 軸對稱，若 f（a-x）=f（a+x） 則函數(shù)圖象關(guān)于 x=a 軸對稱（由此也可看出函數(shù)y=f（a+x） 是偶函數(shù)）；若 f（a-x）=f（b+x）. 則函數(shù)圖象關(guān)于x= 軸對稱.

這部分內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計采用數(shù)形結(jié)合，有助于加深學(xué)生理解.借助圖形觀察，學(xué)生在概念描述上不易出錯，且容易達(dá)成共識.不過，內(nèi)容推導(dǎo)和演示雖直觀易懂，但若未形成具體模式，未梳理總結(jié)觀察的落腳點和關(guān)鍵點，那么學(xué)生在遇到變換形式的考查時，就無法關(guān)聯(lián)相關(guān)內(nèi)容.因此，課堂演示結(jié)束后教師需適度留白，通過變換形式的抽象表達(dá)式，為學(xué)生提供函數(shù)基本性質(zhì)理解階段性演進(jìn)的空間.

普適的表達(dá) ：f（a-x）-f（b+x）=0 ，函數(shù)圖象關(guān)于 軸對稱.

拓展奇函數(shù)定義可得到中心對稱性質(zhì)：

?x∈D，f（-x）=-f（x）. ，即 f（-x）+f（x）=0，f（a- x）+f（a+x）=2c ，則函數(shù)圖象關(guān)于點 （a，c） 中心對稱.易知 由此也可以看出函數(shù) y=f（a+x）-c 是奇函數(shù)）.

推廣 ;f（-x）+f（2a+x）=2c，f（2a-x）+f（x）= 2c ，都具備關(guān)于 （a，c） 中心對稱的性質(zhì)； f（a-x）+ f（b+x）=c ，關(guān)于 中心對稱.

也可以寫成 f（-x）+f（a+b+x）=c ，函數(shù)圖象關(guān)于 中心對稱.

普適的表達(dá) ：f（a-x）+f（b+x）=c ，函數(shù)圖象關(guān)于 中心對稱.

對稱性的抽象函數(shù)整理總結(jié)，能為學(xué)生掌握這部分內(nèi)容提供重要抓手.因此，課堂應(yīng)將這部分內(nèi)容的整理總結(jié)與之前從函數(shù)奇偶性到對稱性的推演連貫呈現(xiàn).畢竟學(xué)生的思考具有連續(xù)性，不宜將知識點分散在不同課時講授，否則學(xué)生難以構(gòu)建知識體系.不同學(xué)生對這部分內(nèi)容的理解存在差異，課堂上教師不宜安排難度過高的習(xí)題，可選用簡單習(xí)題輔助理解和練習(xí)，人教A版教材的基礎(chǔ)練習(xí)就適合新授課學(xué)生.函數(shù)對稱性雖是高中初級階段較難掌握的知識點，但學(xué)生思維活躍，教師應(yīng)充分鼓勵其發(fā)散思維，以更好地理解消化知識.

二、人教版高中數(shù)學(xué)教材抽象函數(shù)對稱性證明及課堂例題研究

人教版高中數(shù)學(xué)教材在復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性后，推進(jìn)對稱性和周期性的教學(xué).這種設(shè)置符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系.探究函數(shù)對稱性和周期性的代數(shù)性質(zhì)與幾何意義，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的內(nèi)在邏輯，以及從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)一步完善了函數(shù)性質(zhì)的知識體系.學(xué)生需在研究過程中把握變化中的規(guī)律與不變因素，掌握解決此類問題的關(guān)鍵方法[9].

人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第87頁第13題聚焦抽象函數(shù)的中心對稱及軸對稱，教師可借此引導(dǎo)學(xué)生深人理解對稱性和對稱變換的特點，掌握識別和尋找對稱中心和對稱軸的方法.下面給出該題的證明過程.

13.我們知道，函數(shù) y=f（x） 的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) y=f（x） 為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù) y=f（x） 的圖象關(guān)于點 P（a，b） 成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) y=f（x+a）-b 為奇函數(shù).

（1）求函數(shù) f（x）=x³-3x² 圖象的對稱中心；

（2）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù) y=f（x） 的圖象關(guān)于 y 軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù) y= f（x） 為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論.

分析：首先，證明函數(shù) y=f（x） 的圖象關(guān)于點P（a，b） 成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) y= f（x+a）-b 為奇函數(shù).

證明：

充分性：函數(shù) y=f（x） 的圖象關(guān)于點 P（a，b） 成中心對稱圖形，則有 f（a-x）+f（a+x）=2b ，對f（a+x）-b 進(jìn)行變形可得 x）-b] ，根據(jù)奇函數(shù)的定義，對于函數(shù) g（x）=f（a+ x）-b ，有 ，所以函數(shù) y=f（a+x）-b （2號為奇函數(shù).

必要性：同理得證.

對于這個充要條件，可從圖象平移的角度理解：函數(shù) y=f（x） 的圖象關(guān)于點 P（a，b） 成中心對稱圖形，將函數(shù) y=f（x） 的圖象沿 x 軸向左平移 Φ_a 個單位，得到 y=f（a+x） 的圖象關(guān)于 （0，b） 中心對稱；再沿 y 軸向下平移 b 個單位，得到 y=f（a+x）-b 的圖象關(guān)于原點 （0，0） 中心對稱，根據(jù)奇函數(shù)的圖象性質(zhì)可知 y=f（a+x）-b 為奇函數(shù).反之，如果 y= f（a+x）-b 為奇函數(shù)，將函數(shù)圖象向右平移 a 個單位，再向上平移 b 個單位，即可得到 y=f（x） 的圖象，顯然其關(guān)于 P（a，b） 中心對稱.

其次，證明（2）推廣結(jié)論：函數(shù) y=f（x） 的圖象關(guān)于直線 x=a 成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（a+x） 為偶函數(shù).

證明：

充分性：函數(shù) y=f（x） 的圖象關(guān)于直線 x=a 成軸對稱圖形，則有 f（a-x）=f（a+x）. 令 f（a+x） ，則 g（-x）=f（a-x） ，所以 g（-x）=g（x）. 根據(jù)偶函數(shù)的定義，可知 f（x+a） 為偶函數(shù).

必要性：反之易得.

這個性質(zhì)可通過圖象平移來理解，此處不再展開論述.

以上兩條性質(zhì)，給出一般軸對稱和中心對稱的充要條件.

最后，求函數(shù) f（x）=x³-3x² 圖象的對稱中心.

解：已知函數(shù) y=f（x） 的圖象關(guān)于點 P（a，b） 成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) y=f（a+x）-b 為奇函數(shù).假設(shè)函數(shù) f（x）=x³-3x² 圖象的對稱中心為 （a，b） ，則 y=f（a+x）-b 為奇函數(shù)，即 f（a+x）- ，即 f（a+x）-b=（a+x）³-3（a+ 則 ，化簡得

由于 x∈（-∞，+∞） 的任意性，上式恒成立必然有

因此，函數(shù) f（x）=x³-3x² 圖象的對稱中心為（1，-2）

通過研究這道習(xí)題，學(xué)生能體會到函數(shù)圖象平移會改變其對稱性.這種變化源于奇偶性的本質(zhì)特性.借助圖象變化，學(xué)生能充分感受到數(shù)形結(jié)合工具的強(qiáng)大魅力.雖然本題以抽象函數(shù)為切入點，但所得結(jié)果具有普遍適用性，即便對于無法直接繪圖的函數(shù)，該結(jié)果也同樣有效，對稱性真是函數(shù)中美妙的性質(zhì)！

三、函數(shù)對稱性與周期性綜合試題的考查

課堂上適度引人高考真題的簡化版或拆解版，有助于拓寬學(xué)生視野.高考題目命制嚴(yán)謹(jǐn)，考查的知識點精準(zhǔn)恰當(dāng)，既能助力學(xué)生有效構(gòu)建知識體系，又不會讓學(xué)生覺得過于吃力，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為課堂教學(xué)增添亮點.

[例1]（2021年新高考 I 卷，T8）已知函數(shù) f（x） 的定義域為 R（f（x） 不恒為0） ，f（x+2） 為偶函數(shù)，f（2x+1） 為奇函數(shù)，則（ ）.

C.f（2）=0D.f（4）=0

分析： ?f（x+2） 為偶函數(shù)， ∴f（x） 關(guān)于 x=2 軸對稱； ∵f（2x+1） 為奇函數(shù)， ∴f（2x+1）=-f（-2x+ 1），即 f（x） 關(guān)于點 （1，0） 中心對稱，且 f（1）=0

由函數(shù)中心對稱與軸對稱的關(guān)系可知， f（x） 的周期為 T=4

由 f（1）=0 ，又根據(jù) f（x） 關(guān)于 x=2 軸對稱，易知f（3）=0 ，再根據(jù)周期性，易知 f（-1）=0 ，故選B.

本題通過推廣應(yīng)用抽象函數(shù)對稱性和周期性的性質(zhì)，全面考查學(xué)生對函數(shù)基本性質(zhì)的掌握以及運用其解決實際問題的能力.題目設(shè)計巧妙，兼顧基礎(chǔ)性與綜合性，兼具靈活性，能引導(dǎo)學(xué)生深入思考，培養(yǎng)其創(chuàng)新思維和解決問題的能力.

[例2]（2021年全國甲卷，T12）設(shè)函數(shù) f（x） 的定義域為 R，f（x+1） 為奇函數(shù) ，f（x+2） 為偶函數(shù)，當(dāng) x∈[1，2] 時 ，f（x）=ax²+b. 若 f（0）+f（3）=6 ，則 ）.

分析： ∵f（x+1） 為奇函數(shù)， ∴f（x） 關(guān)于 （1，0） 中心對稱，且 f（1）=0 ： ∵f（x+2） 為偶函數(shù)， ∴f（x） 關(guān)于 x=2 軸對稱.

由中心對稱與軸對稱關(guān)系，易知 f（x） 的周期為T=4 ，且 f（3）=0

： ?f（0）+f（3）=6 ， ?f（0）=6 ，又根據(jù) f（x） 關(guān)于（1，0） 中心對稱，易知 f（2）=-6

當(dāng) x∈[1，2] 時 ，f（x）=ax²+b ，分別有 f（1）=a+ b=0 ， f（2）=4a+b=-6 ，易知 ，則x∈[1，2] 時 ，f（x）=-2x²+2.

又根據(jù) f（x） 的周期為 （204號由于不滿足 x∈[1，2] ，無法代入求函數(shù)值.

再次根據(jù) f（x） 關(guān)于 （1，0） 中心對稱，易知 此時滿足 x∈[1，2] ，即可代人函數(shù)求值， ，故選D.

解答時，學(xué)生要運用函數(shù)的對稱性和周期性簡化問題、尋找解題突破口.分析函數(shù)圖象的對稱軸與對稱中心可確定特定區(qū)間內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律；利用周期性，可將復(fù)雜區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為簡單區(qū)間內(nèi)的值，從而簡化計算.

[例3]（2022年全國高考 I 卷，T8）已知函數(shù)f（x） 的定義域為R，且 f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y） f（1）=1 ，則 ：

A. ^-3 B.-2 C. 0 D.1分析：取 x=1，y=0 ，則 f（1）+f（1）=f（1）f（0）

由 f（1）=1 ，易知 f（0）=2 再令 y=1 ，則 f（x+1）+ f（x-1）=f（x） ，在此基礎(chǔ)上，令 x=x+1 ，上式即為f（x+2）+f（x）=f（x+1） ，兩式相加，則 f（x+2）+ f（x-1）=0 ，易知 f（x） 的周期為 T=6

根據(jù) f（x+1）+f（x-1）=f（x） ，以及 f（0）=2 f（1）=1 ，推得

根據(jù)周期性， f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=-3 ，故選A.

通過結(jié)合函數(shù)的周期性，運用抽象函數(shù)特殊值代人的方法，考查學(xué)生靈活應(yīng)變及處理抽象函數(shù)的能力.解答此類問題時，學(xué)生需具備知識理解能力，能靈活運用函數(shù)工具.處理抽象函數(shù)，不僅要求學(xué)生熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)和運算規(guī)則，還需理解這些性質(zhì)，具備靈活應(yīng)用特殊值代入法的能力.通過這類題目的訓(xùn)練，學(xué)生可進(jìn)一步提升知識應(yīng)用能力和思維能力.

[例4]（2022年全國乙卷理科，T12）已知函數(shù)f（x），g（x） 的定義域均為R，且 f（x）+g（2-x）=5 ， ，若 y=g（x） 的圖象關(guān)于直線x=2 對稱， ，則 ）.

A. ^-21 B.-22 C.-23 D.-24

分析：對 g（x）-f（x-4）=7 ，取 x=2-x ，則g（2-x）-f（-2-x）=7① ，結(jié)合 f（x）+g（2-x）=5 ② ，由 ②-① 得 f（x）+f（-2-x）=-2 ，易知 f（x） 關(guān)于（-1，-1） 中心對稱，由于定義域為 R ，易知 f（-1）=-1 再對 ，取 x=2+x ，則 g（2+ x）-f（x-2）=7③ 由于 y=g（x） 的圖象關(guān)于直線 x=2 對稱，有 結(jié)合 f（x）+g（2-x）=5 ， ②-③ 得到 f（x）+ f（x-2）=-2④ 令 x=x+2 ④ 式即 f（x+2）+f（x）=-2⑤ ⑤-④ 得到 f（x+2）=f（x-2） ，易知 f（x） 的周期為 T=4 再根據(jù) 和 f（x）+g（2-x）=5 ，易知f（0）=1.

再結(jié)合 ④，f（x）+f（x-2）=-2 ，以及 f（-1）=-1 得到：

由于 f（x） 的周期為 T=4 ，故選D.

考查學(xué)生對函數(shù)周期性的理解以及運用特定值代入法處理抽象函數(shù)問題的能力.解決此類問題時，學(xué)生應(yīng)先準(zhǔn)確理解函數(shù)周期性的定義，通過觀察、代數(shù)變換等分析與簡化函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定周期函數(shù).同時，需熟練掌握特定值代入的技巧，該方法常可揭示函數(shù)的對稱性或周期性特征，從而簡化問題求解.

四、結(jié)束語

函數(shù)的基本性質(zhì)是高中階段學(xué)生需重點理解并掌握的知識，其中奇偶性、對稱性和周期性體現(xiàn)了函數(shù)的重要性質(zhì)特征，且互相關(guān)聯(lián).抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難點，因其抽象度高，學(xué)生畏難情緒重，若再結(jié)合考查函數(shù)的對稱性和周期性，學(xué)生處理起來會更覺棘手.本文從函數(shù)奇偶性切入，深入剖析函數(shù)的對稱性，結(jié)合高考真題探討對稱性與周期性搭配的題目特征及分析思路，助力學(xué)生更好地理解和掌握這些概念，提高解決實際問題的能力.通過函數(shù)對稱性分析，學(xué)生能直觀把握函數(shù)圖象特征；結(jié)合高考真題練習(xí)，不僅能鞏固理論知識，還能提升解決實際問題的綜合能力，

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（責(zé)任編輯 黃春香）