基于“四度六步“教學(xué)法的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

[中圖分類號] G633.6 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-6058（2025）23-0024-04

余弦定理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它在初中定性判斷三角形全等的基礎(chǔ)上，進一步定量描述了三角形三邊及一角的關(guān)系.余弦定理的探究不僅彰顯了向量在研究幾何問題上的強大作用，更是后續(xù)解三角形內(nèi)容的核心.鑒于余弦定理的重要性，眾多學(xué)者對其教學(xué)展開了研究.如張曉丹借助學(xué)生已有知識設(shè)置問題情境，設(shè)計出以發(fā)展學(xué)生高階思維、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目標(biāo)的余弦定理教學(xué)方案[1]；苗瑛琦在解讀教材的基礎(chǔ)上，探究在余弦定理教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的途徑與方法[2；王燕榮等人以深入理解教材編寫意圖為前提、啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思維深層參與為原則，深人探究余弦定理教學(xué)3.分析已有研究可知，學(xué)者多側(cè)重于知識的系統(tǒng)傳授，關(guān)注知識的完整性與準(zhǔn)確性，但對學(xué)習(xí)氛圍營造和知識拓展的關(guān)注相對不足.基于此，本文在已有研究的基礎(chǔ)上重新思考余弦定理的教學(xué)設(shè)計.

“四度六步\"教學(xué)法由廣西特級教師戴啟猛經(jīng)多年實踐、探索與總結(jié)凝練而成.該教學(xué)法以“四度\"（有溫度、有梯度、有深度、有寬度）為教學(xué)主張，以“六步\"（溫故、引新、探究、變式、嘗試、提升）為教學(xué)架構(gòu)，并依此進行教學(xué)設(shè)計，以打造更精彩的課堂4.它為學(xué)生提供了清晰的學(xué)習(xí)路徑，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，促使學(xué)生深人思考，實現(xiàn)師生共同發(fā)展，還能提升學(xué)生的思維能力.目前，不少學(xué)者研究了如何在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效落實“四度六步\"教學(xué)法.例如，李坤華基于“四度六步\"教學(xué)法重新設(shè)計“函數(shù)的圖象（1）\"課例，展示了“四度六步”教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢5；黎有文等結(jié)合低年級小學(xué)生的年齡特點設(shè)計“9加幾”一課的教學(xué)，實現(xiàn)了“四度六步\"教學(xué)法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用；尚文平等以函數(shù)復(fù)習(xí)課“比較大小”為例，詮釋并遵循“四度六步\"教學(xué)法所倡導(dǎo)的理念和程式，展示了“四度六步”教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中的應(yīng)用[7].

本文基于“四度六步\"教學(xué)法，對人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊“余弦定理\"的教學(xué)進行設(shè)計，為一線教師提供參考.

一、基于“四度六步”教學(xué)法的教學(xué)過程設(shè)計

（一）溫故—復(fù)習(xí)提問，溫故孕新

師：初中時我們學(xué)過哪些判定三角形全等的方法？

生：邊角邊（SAS）、邊邊邊（SSS）角角邊（AAS）、角邊角（ASA）斜邊直角邊（HL）.

師：以SAS為例，如果已知一個三角形的兩邊及其夾角，那么這個三角形是唯一確定嗎？

生：是.

師：既然唯一確定，那能求出這個三角形其他邊的長度和角的大小嗎？

（學(xué)生面露困惑，教師可稍作停頓，觀察學(xué)生反應(yīng)后再補充說明）

師：初中我們定性研究了三角形，今天我們從定量角度探討已知三角形兩邊及其夾角，如何求第三邊的邊長.

設(shè)計意圖：新知識源于舊知識.引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形全等判定方法，有助于多角度理解三角形性質(zhì)，為引入余弦定理做鋪墊，讓學(xué)生體會知識的連貫性.

（二）引新 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

某海域A處的甲船獲悉，在其西偏北 60^° 方向相距7海里的 B 處有一艘漁船遇險拋錨等待營救.甲船立即前往救援，并通知位于其正東方向相距20海里的 C 處的乙船.乙船接到通知后立即前往 B 處協(xié)助營救遇險漁船.

問題1：你能準(zhǔn)確描述乙船到達B處的航行路線嗎？

師：描述乙船到達 B 處的航行路線還需什么條件？

生：需要求出 BC 的長度.

師：僅求出 BC 的長度就能準(zhǔn)確描述嗎？

生：不能，從 c 點出發(fā)，走 BC 長度能到達的地方很多，還需確定航行方向.

師：考慮很周全.那用什么描述航行方向呢？

生：題目有提示，可用方位角表示.以點 C 為中心畫方位圖，算出角 C 的大小就能描述乙船的航行方向.

師：觀察很仔細.此問題既要考慮大小又要關(guān)注方向，這與我們前面學(xué)過的什么知識有關(guān)聯(lián)？

生：向量，向量既有大小又有方向.

設(shè)計意圖：基于現(xiàn)實生活情境和學(xué)生知識經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)與探究的熱情.學(xué)生思考時易忽略“方向”，教師啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生意識到僅考慮“距離”不夠，還需考慮“方向”，進而聯(lián)想到運用向量解決問題，厘清思路，引導(dǎo)學(xué)生將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

（三）探究一 一合作探究，活動領(lǐng)悟

師：能否用數(shù)學(xué)語言表述上述情境？

生：如圖1，在 ΔABC 中，已知 AB=7，AC=20，A=120^° ，求BC 和 C

圖1

問題2：如何運用向量知識解決此問題？

師：請同學(xué)們小組合作探究.

生1：我們小組認為，設(shè) 求 BC 的長度，即求 的模長.根據(jù)向量數(shù)量積，向量 與自身的數(shù)量積等于模長的平方，所以有 ，而 ，代人運算可得 ，即a²=b²+c²+2bccosA. （204號

生2：我們小組設(shè) ，由向量的數(shù)量積可知 ，結(jié)合 ，代人運算得 ，即 a²=b²+c²-2bccosA

師：兩組答案不同，都正確嗎？

生3：生1中 與 的夾角應(yīng)是 （π-A） ，所以

師：很好，向量數(shù)量積運算要找準(zhǔn)夾角，所以生 1和生2兩組結(jié)論都是求出 a²=b²+c²-2bccosA① 業(yè)

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩個小組的解題過程有差別，但基本步驟一致，共同歸納證明過程如下：

先將三角形中的幾何元素用向量表示出來：設(shè) ，則 ；再進行適當(dāng)?shù)南蛄窟\算： ;最后將向量式轉(zhuǎn)化為幾何式： a²=b²+c²-2bccosA.

問題3：如圖2和圖3，將問題中的字母按逆時針方向輪換，會得到怎樣的結(jié)論？

圖2

圖3

生： b²=a²+c²-2accosB② ！ c²=a²+b²- 2abcosC③

師：很棒！根據(jù)我們的探究，得到了 ①②③ 三個式子，它們稱為余弦定理.該定理是刻畫三角形中邊角關(guān)系的重要定理，由這三個式子可知，只要給出任意三角形的兩邊及其夾角，就能求出其第三邊.

問題4：在問題1中，要描述乙船的航行路線，需要求出 BC 和 C ，如何求C？

生：根據(jù)剛才的分析，我們已經(jīng)求出了 BC 的長度，現(xiàn)在三角形三邊都已知，可以用式子 ③ 來求 C

師：是的，我們將式 ③ 變形，可得 cosC= ，進而可求出 C. 同理，我們還能通過式 ① 變形得到 ，從而求出 A ；通過式 ② 變形得到 ，從而求出 B 車我們得到的 ④⑤⑥ 三個式子稱為余弦定理的推論.

設(shè)計意圖：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.借助平面向量知識，以問題為載體，通過教師提問、追問引導(dǎo)學(xué)生小組合作交流，讓學(xué)生在探索三角形邊角關(guān)系中形成直觀感知，把握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征，領(lǐng)悟向量法解決數(shù)學(xué)問題的優(yōu)越性，強化運用向量法的意識，同時促進學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等素養(yǎng)的發(fā)展.

（四）變式—師生互動，變式深化

問題5：在 ΔABC 中，已知 a=5，c=7，B=120^° 求 b 的值.

生：根據(jù)余弦定理 b²=a²+c²-2accosB ，可以求得

問題6：嘗試?yán)糜嘞叶ɡ砑捌渫普撛O(shè)計問題并解答：在 ΔABC 中，已知 ，求

生1：在 ΔABC 中，已知 a=5，b=7，c=8 求 B 業(yè)

生2：根據(jù)余弦定理推論可求出 所以B=60^°

師： B 是唯一確定的嗎？

生：唯一確定.因為 y=cosx 在 （0，π） 上單調(diào)遞減.

師：還能編其他題目嗎？

生1：可以比如“在 ΔABC 中，已知 a=6，b=8 C=90^° ，求c\".

生2：運用余弦定理可求出 c=10

生3：這是直角三角形，我們還可以用勾股定理求得 c=10 業(yè)

師：很好，請同學(xué)們回顧過去學(xué)過的勾股定理 并思考，余弦定理和勾股定理有無聯(lián)系？

生：有聯(lián)系.當(dāng) A=90^° 時， a²=b²+c²-2bccosA= b²+c² ，就得到勾股定理了.

師：是的，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.同學(xué)們還記得勾股定理的證明過程嗎？請根據(jù)圖4和圖5，課后思考：能否根據(jù)勾股定理的證明類比得到余弦定理的證明？

圖4

圖5

設(shè)計意圖：問題5難度較低，旨在鞏固新知識.問題6旨在讓學(xué)生自主設(shè)計并解決問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維與發(fā)散思維，且學(xué)生在設(shè)計時相互補充，能加深對余弦定理的理解.此外，引導(dǎo)學(xué)生類比勾股定理的證明思考余弦定理的證明，可推動學(xué)生思維向更深層次發(fā)展.

（五）嘗試—嘗試練習(xí)，鞏固提高

[例1]在 ΔABC 中， ，求 cosC 和 ΔABC 的面積.

[例2]在 ΔABC 中， δ_a=7，b=8 銳角 C 滿足 sinC= 求 B

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生獨立思考并解決問題，加深對余弦定理的理解，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

（六）提升一一適時小結(jié)，興趣延伸

問題7：請同學(xué)們回顧本節(jié)課所學(xué)的三角形邊角關(guān)系定理，分享學(xué)習(xí)體會.

教師提問后，學(xué)生總結(jié)歸納（如圖6），教師適當(dāng)補充.

圖6

設(shè)計意圖：通過小結(jié)梳理本節(jié)課知識，回顧學(xué)習(xí)過程，深化對余弦定理及其探究方法的理解，培

養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)內(nèi)容的意識與習(xí)慣.

二、教學(xué)反思

（一）遵\"四度”理念

本節(jié)課遵循“四度\"教學(xué)理念，重視學(xué)生學(xué)習(xí)感受.

第一，構(gòu)建有溫度的課堂.關(guān)注全體學(xué)生，創(chuàng)設(shè)生活情境，調(diào)動其學(xué)習(xí)積極性.精選教學(xué)方法，尊重學(xué)生個性，鼓勵其發(fā)揮特長.本節(jié)課以“描述乙船到達 B 處的航行路線”真實問題情境切入，激發(fā)學(xué)生的求知欲.通過提出求知探索性問題、設(shè)問追問引導(dǎo)學(xué)生主動思考，給予學(xué)生表達空間并及時給予肯定.

第二，追求有梯度的課堂.通過合作探究與分層教學(xué)實現(xiàn).以學(xué)生為主體，教師分層設(shè)計教學(xué)活動，推動各層次學(xué)生發(fā)展.本節(jié)課設(shè)置小組合作探究環(huán)節(jié)，在“引新\"環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生思考，明確用向量法解決問題，隨后組織不同層次學(xué)生合作探究，總結(jié)出運用向量法證明余弦定理的步驟.小組合作中，學(xué)生取長補短、互學(xué)共進，既激發(fā)主動探索與合作精神，又讓各層次學(xué)生皆有所獲.“變式\"環(huán)節(jié)設(shè)置梯度問題，凸顯課堂梯度.

第三，緊扣課標(biāo)、問題引導(dǎo)，創(chuàng)設(shè)有深度的課堂.有深度的課堂應(yīng)契合學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平并促其提升.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理；能用余弦定理解決簡單的實際問題[8].其旨在為學(xué)生向量應(yīng)用提供載體，使其進一步領(lǐng)悟向量法蘊含的數(shù)學(xué)思想，掌握用向量運算解決幾何問題的方法，完善三角形認知結(jié)構(gòu).因此，用向量法證明余弦定理是教學(xué)重難點.本節(jié)課“引新\"環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)問題情境，打破學(xué)生慣性思維，引導(dǎo)其用向量法解題，幫助其領(lǐng)悟證明余弦定理的過程，體會向量解題優(yōu)勢.

第四，注重聯(lián)系、適度延伸，打造有寬度的課堂.有寬度的課堂打破局限，為學(xué)生提供豐富體驗，幫助其感受知識的整體性、理解知識間的內(nèi)在聯(lián)系.本節(jié)課“變式\"環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生探索余弦定理與勾股定理的聯(lián)系，通過類比證明揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，增加課堂寬度.

（二）行“六步”流程

本節(jié)課采用“溫故一引新一探究一變式一嘗試一提升\"六步設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié).“溫故\"環(huán)節(jié)，回顧三角形全等判定方法，使學(xué)生從定性到定量認識三角形；“引新\"環(huán)節(jié)，借助“描述乙船到達 B 處的航行路線\"問題情境，引導(dǎo)學(xué)生將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；“探究”環(huán)節(jié)，小組討論猜想，強化用向量解決問題的意識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力；“變式”環(huán)節(jié)，學(xué)生自主設(shè)計解題，促進余弦定理概念辨析；“嘗試\"環(huán)節(jié)，學(xué)生自主練習(xí)鞏固知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；“提升\"環(huán)節(jié)，適時小結(jié)厘清知識脈絡(luò)，培養(yǎng)歸納概括能力.

三、結(jié)束語

本節(jié)課以營造良好教育生態(tài)、實現(xiàn)師生共同發(fā)展為目標(biāo)，以“四度\"理念為指引，精準(zhǔn)實施\"六步”流程開展余弦定理教學(xué)，展現(xiàn)“四度六步”教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)課堂的有效應(yīng)用.

[參考文獻]

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[6]黎有文，劉冬蓮.“四度六步\"教學(xué)法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用：以“9加幾\"教學(xué)為例[J].廣西教育，2022（34） ：58-62.

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[9]章建躍.如何理解用向量法推導(dǎo)余弦定理和正弦定理的設(shè)計意圖[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2021（4）：66，64.

（責(zé)任編輯 黃春香）