喚醒數(shù)學(xué)思維的一場(chǎng)旅行

思維能力是一切能力的核心，它是通過對(duì)事物的感知、表象進(jìn)行分析、概括、歸納而獲得事物本質(zhì)的能力。而學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，讓學(xué)生去感受情境，發(fā)現(xiàn)問題，分析信息，選擇有效信息，尋找解決方案，能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。本文通過一道數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題，也是幾何綜合題為例談?wù)務(wù)n堂教學(xué)中數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

如圖，拋物線 "3/2x+2與x軸交于點(diǎn)A、B，與y 軸交于點(diǎn) c ，將直線 BC 繞點(diǎn)B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45^° ，與拋物線交于點(diǎn) E ，求點(diǎn) E 和 BE 的長(zhǎng)。

這是一道2017年中考數(shù)學(xué)壓軸題的第3問，也是二次函數(shù)背景下關(guān)于直線旋轉(zhuǎn)的問題。這種問題，曾聽過一些老師說，直接教學(xué)生夾角公式算出BE的函數(shù)表達(dá)式，再利用拋物線與直線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問題，聯(lián)立方程組求解即可，而解題的關(guān)鍵是讓學(xué)生記下夾角公式。這種做法有點(diǎn)類似于死記硬背了，如果換一種說法，或者換一類題型，這些學(xué)生可能就不會(huì)做了，因?yàn)閷W(xué)生沒有學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看問題，他只是對(duì)解答進(jìn)行了操作性的表述。

如果在課堂教學(xué)中利用這道題為載體，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的過程，該如何實(shí)現(xiàn)呢？

一、 理解是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的基礎(chǔ)

如果我們?cè)谧鰯?shù)學(xué)題的時(shí)候，連題目都讀不懂，即使掌握了很多種解題方法，也不知道該選哪種方法去解決這道題。所以，理解題目表達(dá)的意思，和明白我們將要做的事情，很關(guān)鍵。

很多學(xué)生學(xué)不好數(shù)學(xué)，厭倦數(shù)學(xué)，主要原因是連題目都讀不懂，甚至是看明白了字面意思，卻轉(zhuǎn)化不到數(shù)學(xué)語言上，也沒法把這些事情進(jìn)行一定邏輯順序來統(tǒng)籌安排，合理解決。以剛才那道題為例，題目的意思很明顯，有以下3件事要完成：（1）需要求BE兩點(diǎn)間的距離；（2）因?yàn)辄c(diǎn) E 是直線 BE 與拋物線的，所以需要求直線 BE 的函數(shù)解析式；（3）直線 BE 是直線BC繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45^° 后的直線，所以直線BC的解析式或點(diǎn) B 、 c 需要算出來。

而這3件事有一定的邏輯順序，需要先獲得（3）的信息，才能完成（2），最后完成（1）。當(dāng)明白這一切后，整道題算是理解得比較清楚了。

二、尋找問題的本質(zhì)是解決問題的根本

數(shù)學(xué)的思維過程，實(shí)質(zhì)上是在挖掘問題的本質(zhì)，并把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，或者把困難的任務(wù)化簡(jiǎn)為幾個(gè)簡(jiǎn)單的任務(wù)來完成。

因此，本題分解成以下幾個(gè)任務(wù)：（1）已知點(diǎn) E 的坐標(biāo)，再求 BE 的長(zhǎng)；（2）求直線 BE 的函數(shù)表達(dá)式，再求拋物線與直線 BE 的交點(diǎn) E 的坐標(biāo)；（3）尋找直線 BE 上的非已知點(diǎn) B 的點(diǎn)。

通過分析得知，這道題的本質(zhì)是求 BE 的函數(shù)表達(dá)式，而解題的關(guān)鍵是尋找直線 BE 上除了已知點(diǎn) B 的另外一個(gè)點(diǎn)，二次函數(shù)只在求點(diǎn) E 上起作用。學(xué)生在經(jīng)過這一輪分析信息，分解任務(wù)后，有了更為清晰的解題方向，先完成任務(wù)（3），再完成任務(wù)（2），最后解決任務(wù)（1）即可。

對(duì)于任務(wù)（1），可在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)一個(gè)預(yù)備定理，兩點(diǎn)間的距離公式，并設(shè)計(jì)一道題：已知點(diǎn)A（1，3），點(diǎn) B （-2，5），求 AB 的長(zhǎng)。讓學(xué)生熟悉一下距離公式。

對(duì)于任務(wù)（2），可在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)一道相應(yīng)的題目來熱身，如：如圖，拋物線 y 與直線 y=-3x+12 交于點(diǎn) B 一！ E ，求點(diǎn)B 一 E 和 BE 的長(zhǎng)。

對(duì)于任務(wù)（3），我們可把題目改為：如圖，直線 2x+2與x軸交于點(diǎn) B ，與 y 軸交于點(diǎn) c ，將直線 BC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45^° 求旋轉(zhuǎn)后的直線 BE 的函數(shù)解析式。

把一個(gè)問題分解成3個(gè)較為簡(jiǎn)單的任務(wù)，使得復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，更容易理解整道題目，也更容易尋找解題方法。把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，尋找出問題的本質(zhì)在哪里，哪里是突破口，是思考問題，解決問題的重要方法。學(xué)生在經(jīng)歷了這場(chǎng)思維旅行后，慢慢地形成自身的數(shù)學(xué)邏輯思維，以及提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，同時(shí)也讓學(xué)生增添了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。當(dāng)然，這個(gè)分解任務(wù)的結(jié)果是思維的產(chǎn)物，需要一定的時(shí)間去完成，我們教師要給予學(xué)生動(dòng)腦的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，勇于表達(dá)。

三、猜想一驗(yàn)證是數(shù)學(xué)思維形成的必經(jīng)之路

拿任務(wù)（3）來說，這是直線繞某個(gè)固定的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問題，很多人會(huì)選擇采用夾角公式直接求得直線BE 的解析式。對(duì)于初中生來說，夾角公式并不屬于必學(xué)內(nèi)容，那如果不采用夾角公式，我們?nèi)绾蝸斫鉀Q它呢？我們進(jìn)行了以下四種嘗試。

嘗試一：構(gòu)建三垂直模型，求得直線 BE 上的一點(diǎn) P ，從而求出直線 BE 的解析式。

∵ΔPQC?ΔCOB ，得 PQ=2 CQ=4 ，所以點(diǎn) P（2， 6） ，則 BE 為 y=-3x+12 。

嘗試二：構(gòu)建直角三角形，求得直線 BE 上的一點(diǎn) P ，從而求出直線 BE 的解析式。

過點(diǎn) c 作 cQ 垂直 BE 于點(diǎn) Q 則利用勾股定理，得到 ， ，再利用方程思想，設(shè) PC 長(zhǎng)為 x ，則 ， ，從而算出 x=10 ，點(diǎn) P（0 12）， BE 為 y=-3x+12 。

嘗試三：構(gòu)建直角三角形，利用12345模型，求得直線 BE 上的一點(diǎn) P ，從而求出直線 BE 的解析式。

co 2 1BO 4 2 ∠PBC=45^° 所以 而 BO=4 ，得 PO= 12，則點(diǎn) P（0， 12） ， BE 為 y=-3x +12。

嘗試四：構(gòu)建半角模型，求得直線 BE 上的一點(diǎn) P ，從而求出直線 BE 的解析式。

如圖，以 BO 長(zhǎng)為邊長(zhǎng)構(gòu)建一個(gè)正方形，交 BE 于點(diǎn) P ，連接PC ，得 NC=2 ，利用方程思想，設(shè)NP 長(zhǎng)為 x ，則 MP=4-x ， CP=2+ （4-x）=6-x ，根據(jù)勾股定理得，x²+2²=（6-x）² ，解得 所以點(diǎn)P ， BE 為 y=-3x+12 。

以上四種嘗試都能求得 BE 的函數(shù)解析式，而每一種方法都是以尋找直線 BE 上非點(diǎn) B 的點(diǎn)為目的，學(xué)生在經(jīng)歷了這種思維活動(dòng)后，不僅培養(yǎng)了發(fā)散思維，感受了策略開放型的題型之美，以及猜想一一實(shí)踐——驗(yàn)證的數(shù)學(xué)思維規(guī)律，讓學(xué)生明白每一個(gè)數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)結(jié)論的產(chǎn)生都會(huì)經(jīng)歷這個(gè)過程，并且還會(huì)有嘗試失敗的可能性，從而培養(yǎng)學(xué)生勇于猜想、嘗試、驗(yàn)證的精神，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

以一道題為例，通過多種數(shù)學(xué)建模使得一題多解，讓學(xué)生經(jīng)歷這場(chǎng)數(shù)學(xué)思維的旅程，由淺入深地讓學(xué)生體會(huì)到猜測(cè)，探索，驗(yàn)證是解決問題的重要方法，從而提高學(xué)生勇于嘗試的信心。

四、總結(jié)解題方法是數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)

數(shù)學(xué)思維能力的形成是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，單純地感受和經(jīng)歷一道題目的思維過程，并不能很好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。所以，需要進(jìn)行相關(guān)變式題型的訓(xùn)練，讓學(xué)生在各種變式的題型中尋找并總結(jié)哪些方法是屬于一般方法，哪些方法屬于特殊方法，需要在哪些特定環(huán)境下才能使用。