《數(shù)學(xué)通訊》695問題的多解探究及變式推廣

1 問題呈現(xiàn)

題目 已知正數(shù) ω_{a，b，c，d} 滿足 a+b+c+d= 4，求證：

該題是一個關(guān)于不等式的最值問題，不難發(fā)現(xiàn)

該題的條件式子和結(jié)論結(jié)構(gòu)對稱，具有數(shù)學(xué)的美感.本文擬對該題的證明方法、題目的變式和推廣做進一步的探究.

2 問題解析

證法1（基本不等式）因為正數(shù) a，b，c，d 滿足a+b+c+d=4 ，所以 -4，同理可得+d+a ， 所以 因為 ，所以 ，即 ，所以 故

評析此證法通過尋找問題中等號成立的條件，然后結(jié)合基本不等式進行放縮，使其不等式得證.

證法2 （基本不等式 + 權(quán)方和不等式）由證法1可知 ，由權(quán)方和不等式得 所以 ，故

評析此證法首先通過基本不等式對式子進行放縮，再結(jié)合權(quán)方和不等式使其得證

證法3 （切線的性質(zhì)）因為正數(shù) a，b，c，d 滿足 （204號 a+b+c+d=4 ，所以 ，同理可得 （2 從而

令 4-χ（0lt;χlt;4），則f（x） f（1）=3，f（1）=-7 ，所以函數(shù) 在（1，3）處的切線方程 ，即 y=-7x （204號 +10

下面證明 ，化簡得 Φ（x-Φ 1）²（7x+4）?0 ，顯然恒成立.所以 -7（a+b+c+d）+4?10=-7×4+40=12 ，故

評析此證法是通過結(jié)合已知條件，將不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，結(jié)合函數(shù)切線的性質(zhì)使得不等式得證.

證法4 （琴生不等式）由證法3可知 （20號 令 ，則 2（12-x）gt;0，所以函數(shù)f（x） 在（0，4）上為凹函數(shù).由琴生不等式得 （20 故b+c+d ?12

評析此證法是通過將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，對函數(shù)進行二階求導(dǎo)判斷函數(shù)的凹凸性，結(jié)合琴生不等式使得不等式得證.

3 問題變式

變式1 已知正數(shù) a，b，c，d 滿足 a+b+c+d= 4，求證： + （20

證明 因為正數(shù) a，b，c，d 滿足 a+b+c+d= 4，所以 同理可得 所以 由權(quán)方和不等式得 故 （20號

評析此變式是通過將題目中左邊的每一個式子的分母與分子進行交換得到的.

變式2 已知正數(shù) ω_{a，b，c，d} 滿足 a+b+c+d= 4，求證： （20號

評析此變式是根據(jù)證法3中的題目的等價形式進行變式的，將式子中分子的未知數(shù)的系數(shù)“-1”變?yōu)椤?”，證明方法與證法3類似，此處不再敘述.

4 問題推廣

將未知數(shù)個數(shù)從“4”元推廣到“5”元可得

推廣1 已知正數(shù) a，b，c，d，e 滿足 a+b+c+d （204 ，求證： （204號 將題目中的條件式子從“4”推廣到“ t^′′ 可得

推廣2 已知正數(shù) ω_{a，b，c，d} 滿足 a+b+c+d= t，tgt;0 ，求證：

將題目中的條件式子從“4”推廣到“ t^′ ，未知數(shù)的個數(shù)從“4”元推廣到\" n ”元的得

推廣3 已知正數(shù) a_i（i=1，2，3，…，n） 滿足 ，求證： （204號 + +···+

推廣4 已知正數(shù) a_i（i=1，2，3，…，n） 滿足

，求證： + a （20 a_n² （2號 +···+

a+·+an+a1 a+a+ +an-1

推廣1和推廣2是推廣3的特殊情況，下面給出推廣3和推廣4的證明過程

推廣3的證明 因為正數(shù) a_i（i=1，2，3，… n ）滿足 ，所以 同理可得 所以

令 ，則 ，所以函數(shù) f（x） 在 Ξ（0，t） 上為凹函數(shù).由琴生不等式得 故推廣3得證.

推廣4的證明 因為正數(shù) a_i（i=1，2，3，…， （204號 n ）滿足 ，所以 同理可得 所以 由權(quán)方和不等式得 推 廣4得證.