《數學通報》2784問題的多解探究與推廣

1 問題呈現

題目 已知 a，b，cgt;0 ，且 Ψ=1 ，求證

該題來自文[1]條件和結論的結構具有數學美感和數學韻味.文[1］巧妙地應用了“局部不等式”完成證明，令人獲益頗深.本文將給出多種證明方法，并對相關問題進行推廣.

視角1 利用換元思想，并巧用函數的性質進行處理

證法1 可得 4且u+v+w=1.此時，問題不等式 轉化為求證 ，其中 0

當 時 ?0 ，于是 且 則 同理可得 故 由 u+v+w= 1，即得證 ① 式

評注該證法是將條件轉化為標準形式的三元一次方程后，并觀察到該方程可利用簡單函數性質進行處理.

2 問題解答

在證法1的啟發下，利用Cauchy不等式、權方和不等式以及Jensen不等式可得如下幾種解法

證法2（Cauchy不等式）由于 ，且 則不等式 ① 的左項轉化為 2w-32≥3（u2+22+w2），由Cauchy不等式得3（u²+v²+w²）?（u+v+w）²= 1. （202

證法3 （權方和不等式） -1），則不等式 ① 可轉變為 ：由權方和不等式得

證法4（Jensen不等式）令 0，所以

以上證明中當且僅當 時等號成立

視角2 巧用均值不等式進行證明

證法5 將等式 轉化為 ，其中 a，b，cgt;0. 將不等式 ，化簡為證 a+b+ （204號 c+2?abc③ ，其中 ^{a，b，cgt;0}

利用 AM-GM 不等式得 abc+2（ab+ac+bc） （2號 .由等式 ② 解得 0

對不等式 ③ 的左端使用 AM-GM 不等式有 a+ （20號 .于是，原問題轉化為當 0lt; abc?8 時，有 ，由于abc- ，且 0lt; abc?8 ，所以 ，取等號當且僅當 成立.

評注該解法直接對條件與結論進行簡化處理，并借助“算術一幾何不等式”完成證明.

視角3 借用三角嵌入不等式完成證明

考慮到三元條件不等式，由下述引理1及引理2，我們可將該問題轉化為三角函數問題，并利用其有界性來求解.

引理 1^[2] （嵌入不等式）在 ΔABC 中，對于 x，y z∈R ，有 x²+y²+z²?2yzcosA+2zxcosB+2xycosC 取等號當且僅當 成立.

引理2方程 2^n-1（x²+y²+z²）+xyz= 2^3n-1④ ，其中 n∈N^* ，有正實數根 _x，y，z ，則存在銳角 ΔABC ，使得 x=2ⁿcosA，y=2ⁿcosB，z=2ⁿcosC. （2

證明一方面，由熟知的恒等式 cos²A+cos²B +cos²C+2cosA?cosB?cosC=1，⑤ 可知 2ⁿcosA，y= 2ⁿcosB，z= 2ⁿcosC 為方程 ④ 的根.

另一方面，由方程 ④ 可知 0n ，則存在 ，有 x=2ⁿcosA，y=2ⁿcosB ，代人并解關于 z 的方程 ④ 由 0n ，可得 z=-2ⁿcos（A +B） .取 C=π-A-B ，有 x=2ⁿcosA，y=2ⁿcosB z= 2ⁿcosC.

利用上述兩個結論，我們繼續證明原問題

證法6將等式 ② 轉化成 =32

在引理2中，取 n=2 ，則存在一個銳角 ΔABC 使得 ， ，并解得 4cosB ·cosC，b = ，C= 由不等式 ③ 知，原問題只需證

64cosA?cosB?cosC.

在引理1中，取 代替公式中的 ^x，y （2號 z，使得4?8（cos²A+cos²B+cos²C） .于是，原問題轉化為證 ·cosC.

由引理1知 8（cos²A+cos²B+cos²C）≥48cosA cosB?cosC ，則只需證 利用恒等式 ⑤ 及引理1，可推出上述不等式是成立的.

評注該證法的核心在于利用三角函數的固有特性，將抽象的代數問題轉化為具有直觀幾何意義的問題，從而簡化分析過程.三角嵌入不等式作為工具，在競賽數學中，通過幾何化歸與代數變形，高效處理條件極值、對稱不等式等問題.此外，引理2的給出有助于讀者更深入地理解下文的推廣1.

視角4 應用拉格朗日乘數法來證明

證法7根據 ② 和 ③ 式，設 f（a，b，c）=a+b 132，構造函數 F（a，b，c，λ）=f（a，b，c）+λφ（a， ^b，c）

這里的 λ 為參數.于是求偏導并令它們為零，有 （2于是bc+2b+2c= =-λ ，解得 a=b=c ，代人 φ（a，b，c）=0 ，可得 a= b=c=2 ，此時 f（a，b，c）=0 由函數性質知， a+b +c+2-abc 的最小值為0.

評注拉格朗日乘數法作為高等數學工具，在初等不等式中的跨階應用，啟發學生打破知識邊界，創造性地融合不同領域方法，形成獨特的解題視角，這正是數學競賽所需的核心競爭力.另外，對原條件直接使用拉格朗日乘數法也是可行的，即構造函數 亦可得到 a=b=c= 2，此時 取得最小值1.有興趣的讀者自行證明.

3 問題推廣

推廣1 已知 abc=2^3n-1 ，其中 λ?2^n-2 ，整數 n?2 ，則有

證明 由 AM-GM 不等式，有 ，即（204 ，故解得 03n-3

由于 ⑥ 式等價于 λ²（a+b+c）+2λ³-abc? 0，其中 a，b，cgt;0. 由 AM-GM 不等式有 c 由于 0lt; （20 abc?2^3n-3，λ?2^n-2，n?2 ，可知 得證.

評注推廣1是將等式 ② 進行一般化，通過限定參數 λ?2^n-2 ，整數 n?2 ，得到的一般性結論，其證明方法主要應用“算術一幾何不等式”來處理.無獨有偶，該推廣借助視角3中的引理1和引理2也可以解決，由于篇幅有限，此處不再贅述.

推廣2 已知 求證

證明 令 則 原問題變成證 由權方和不等式， （20 所以

推廣3 已知 a₁₁₂₃₂…，a_nngt;0，λ，μ，α，βgt;0 α lt;入， ，證明

證明 令 ，則 0ilt; 令 f（x）= 則 [α-x+μ）s因為αlt;λ，0 由Jensen不等式， 得證.

評注推廣2和推廣3將三元不等式推廣到 n 元不等式，這一過程不僅是技術性推廣，更是對數學本質的深度理解與高階思維能力的綜合體現.

4結語

三元不等式作為代數與幾何思維融合的典型載體，其多解探究與推廣延伸不僅是技巧的疊加，更是數學素養的深層錘煉.通過對同一問題的多視角剖析，學生得以突破思維定式，在代數變形、幾何直觀、函數分析與不等式放縮之間建立靈活轉換的通道；而通過推廣命題結構、弱化條件限制或引人高階變量，學生則能逐步構建從“解題者”向“命題者”過渡的創新能力.這種從“一題”到“一類”的思維躍遷，不僅能夠提升解題效率，更能培養學生獨立發現問題、拆解問題與重構問題的元認知能力.這種能力的培養，恰是應對未來復雜問題與跨學科挑戰的核心競爭力.同時可以預見的是，重視思維廣度與深度的雙重拓展，必將為數學教育的可持續發展注入更持久的生命力.

參考文獻

[1]數學問題解答[J].數學通報，2024，63（05）：63-66.

[2]朱華偉.嵌人不等式一數學競賽命題的一個寶藏[J]．中等數學2010，（01）：14-17.