“三新”背景下新高考I卷雙曲線試題的教學分析

1 問題提出

近年來，隨著新課標、新教材、新高考的實施，雙曲線的考查不僅限于基礎知識的掌握，更強調學生對數學思想、方法和應用能力的理解.研究這些試題如何落實“三新”要求，旨在探討如何通過實踐和創新，幫助學生更好地掌握雙曲線的概念與性質，提高解決實際問題的能力，培養學生的批判性思維和創新意識，推動了數學教育的深人發展

2 試題分析

例1（2022年新高考Ⅰ卷第21題）已知點A（2，1） 在雙曲線 上，直線 l 交 c 于 P，Q 兩點，直線 ^AP，AQ 的斜率之和為0.

（1）求 l 的斜率;

（2）若 ，求 ΔPAQ 的面積.

解析 （1）將點 A 代人雙曲線方程得 ，解得 a²= 2 ，故雙曲線方程為 Ψ=1

由題顯然直線 l 的斜率存在，設 l：y=kx+m ，則聯立直線與雙曲線得 （2k²-1）x²+4kmx+2m²+2 =0，Δgt;0 ，設 P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） ，故 由 =0，得2kx1x2+（m-1-2k）（x₁+x₂）-4（m-1）=0 ，代人 ① 式得 （k+1）（m+2k-1）=0 ，而直線 l 不過 A 點，故 ξ_l 的斜率 k=-1

（2）設直線 AP 的傾斜角為 α ，由 tan∠PAQ= 得ta （20 由 2α+∠PAQ=π ，得 ， 及 得 （20 同理 （204號 ， （204號 由 ，得 sin∠PAQ= （20 （204號 而 故

教學評析本題充分體現了“三新”背景下的教育理念和要求.題目通過雙曲線方程的建立，要求學生對曲線性質有深入理解，能將抽象的數學概念與具體的圖形聯系起來.在“新教材”層面，本題通過應用情境引導學生自主探究符合新教材的理念.例如，題中提到的直線與雙曲線的交點問題，不僅考查了學生的代數運算能力，還要求他們運用根與系數關系、斜率公式等多種數學工具進行綜合分析.這種綜合性考查既符合新教材強調的跨知識領域整合的要求，也激發了學生的創新思維.

在新高考背景下，考試內容不僅關注知識的記憶，更注重學生能力的培養.試題通過要求學生求解直線與雙曲線的交點以及計算三角形的面積，促進學生對數學應用的深入思考，培養其綜合運用知識解決實際問題的能力.此外，涉及的斜率、角度及面積等內容，也讓學生體會到數學的多樣性和實用性，符合新高考對學生綜合素養的全面考查目標

例2（2023新高考Ⅰ卷第16題）已知雙曲線 的左右焦點分別為 F₁ F₂ ，點 A 在 c 上，點 B 在 y 軸上， 則 c 的離心率為

解析 如圖1，由 故設∣F₂A∣=2t ， ∣F₂B∣= 3t（tgt;0） ，則 |?|^γAB|= 5t. 由對稱性知∣F₂B∣=∣F₁B∣= 3t 又 F₁A⊥F₁B ，故 ∣F₁A

圖1

從而|F，A|-|F2A|= 2a，得t = a.在△F，AF中，由cosA=16a2+4a2-4c2=4 解得 故 c 的離心率為

教學評析本題鼓勵學生運用向量、勾股定理及余弦定理等多種數學工具來分析幾何關系，要求學生對雙曲線的性質有扎實的理解，以及綜合應用能力；“新教材”通過引入向量與幾何的結合，使學生在解題中感受到數學知識的連貫性和實用性.這種設計符合探究性學習的培養，幫助學生運用所學知識培養了他們的邏輯推理能力和創新思維.

例3 （2024新高考Ⅰ卷第12題）設雙曲線 C 的左右焦點分別為 F₁ F₂ ，過 F₂ 作平行于 y 軸的直線交 c 于 ^A，B 兩點，若（2號 ，l AB 1= 10 ，則 c 的離心率為

解析由 2a =8得a =4，由AB1 得 ?b²=20 故 c²=a²+b²=36 ，即 c=6 ，所以雙曲線離心率為

教學評析本題考查了學生對雙曲線定義及其幾何意義的理解，鍛煉了他們的邏輯推理能力和抽象思維，需要學生綜合應用雙曲線的特性求解出參數 a 和 ?b² .這種設計鼓勵學生主動探索，理解不同數學概念之間的關聯，符合新教材強調的探究式學習模式；試題關注的不僅是基礎知識的掌握，還強調學生解決問題的能力.

3教學思考

3.1 強化雙曲線的概念理解

在新高考I卷雙曲線試題中常通過具體的數值條件，要求學生靈活運用雙曲線的性質，考查對數學概念的深人掌握.因此，教師在課堂上應注重雙曲線的基本定義、圖形特征及其幾何意義的教學.我們可以通過直觀的圖形和動態軟件展示雙曲線的性質，幫助學生形成直觀理解.此外，教師應引導學生深人探討雙曲線的焦點、漸近線等特性與實際應用的關系，例如在物理中的軌跡問題或工程中的設計問題.通過這樣深入的討論與實例分析，學生能夠在理解數學概念的同時，培養解決實際問題的能力，從而更好地應對新高考的挑戰

3.2 實施探究性學習

近年雙曲線試題的設計強調了探究性學習的重要性.教師在教學中應鼓勵學生進行自主探究，設計與雙曲線相關的實驗或項目.例如，組織學生進行數據收集，測量與雙曲線相關的實際案例，幫助他們在實踐中理解雙曲線的定義和性質.此外，可以引導學生進行小組討論，分享各自的發現和思考，促進思維的碰撞與交流，激發學生的學習興趣，培養他們主動探索的精神

3.3培養綜合運用知識的能力

雙曲線試題的解答往往涉及多種數學知識的綜合運用，教師在教學中應將幾何、代數與三角函數等知識結合，幫助學生建立數學知識的聯系，提升綜合運用能力.同時鼓勵學生從不同角度進行分析，例如在討論雙曲線的離心率時，引入相關的數列、函數或幾何性質的分析.通過解決這些綜合性問題，學生可以在實踐中鍛煉邏輯推理和批判性思維能力.教師還應鼓勵學生在解決問題后進行自我反思，分析所用的方法與思路，總結經驗，逐步提高在復雜情境中靈活運用知識的能力.

參考文獻

[1]劉鴻英.“三新”背景下的概率與統計板塊的教學思考—基于新高考數學全國卷的概率與統計試題分析[J].福建數學，2024，（03）：15-18.