一道代數式最值問題的多解探究

1 問題呈現

題目（2025屆河北省“涿名小漁”名校聯考高三開學檢測數學試卷 ?14 ）已知實數 x₁，x₂，y₁，y₂ 滿足 x₁²+y₁²=4，x₂²+y₂²=9，x₁x₂+y₁y₂=x₁+ x₂-- 1 ，則 （x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最大值為

此題以四個變量為問題場景，結合其中變量間的平方和為常數及四個變量所滿足的方程來設計問題.條件中相關的變量關系2+y2，x2+ y22，x₁x₂+y₁y₂ 與結論中的變量關系 （x₁-x₂）²+（y₁- y₂）² 都有其特殊的結構特征，有一定的幾何意義，這給問題的求解指明方向.

解題時依托代數式的結構特征與幾何意義，從解析幾何思維與平面向量思維切入，通過代數式與對應的幾何元素相聯系，構建對應的數學模型來分析與求解；也可結合代數式的結構特征，從三角函數思維切入，利用三角恒等變換以及相關的技巧方法來處理；另外結合條件與結論中的代數式之間的聯系，從代數思維切人，利用代數式的恒等變形與轉化，實現問題的求解

2 問題破解

解法1（解析幾何法1）設 A（x₁，y₁），B（x₂， （20 y₂），C（1，0） ，則有 ∣OA∣=2，∣OB∣=3. 由 =（x₁-1，y₁）?（x₂-1，y₂）=x₁x₂-x₁-x₂+1+ yy=0，則知CA⊥CB

如圖1所示，以 ^A，C，B 為頂點構造矩形 ACBD 結合矩形平方和性質有 ∣OA∣²+∣OB∣²=∣OC∣² +|OD|² ，即 4+9=1+∣OD∣² ，解得l 數形結合知 ∣AB∣=∣CD∣?∣OC∣+∣OD∣=1+

，則 （x₁-x₂）²+（y₁ ，即（ x₁ 的最大值為 ：

解法2 （解析幾何法2）設 A（x₁，y₁） ，B（x₂，y₂） ，則有 ∣OA∣=

圖1

2，∣OB∣=3 設線段 AB 的中點為 C（x₀，y₀） ，由（ x₁ （20 +y₁y₂）= 13+2（x₁+x₂-1）= 11+2（x₁+x₂） 則 4x₀²+4y₀²=11+4x₀ 即， ，故得 另外， （20 結合余弦定理得 ，即 （x₁-x₂）² （20號+（y₁-y₂）² 的最大值為

評注依托題設條件，結合代數式的結構特征與對應的幾何意義，合理構建對應的幾何圖形，來分析與處理.此外要合理構建對應的幾何模型，化“數”為“形”，數形結合.

解法3（數量積性質法）設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₃，y₄） （2號y₂ ）， C（x₁+x₂，y₁+y₂） ，則有 ∣OA∣=2，∣OB∣=3 所以 ∣OC∣²=（x₁+x₂）²+（y₁+y₂）²=x₁²+y₁² （20 設向量 ，則有 從而

設 t=x₁x₂+y₁y₂ ，結合 x₁x₂+y₁y₂=x₁+x₂- 1，得 x₁+x₂=t+1. 所以 ，整理得 t²?12 ，解得 所以 （x₁-x₂）²+ （20 （y₁-y₂）²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂） （20 ，即 （x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最大值為

評注依托題設條件以及結論中代數式，合理構建對應的平面向量，利用平面向量數量積的基本性質，和不等式的基本性質來進行合理放縮與轉化.

解法4（三角換元法1）設 x₁= 2cosα，y₁= 2sinα，x₂= 3cosβ，y₂= 3sinβ，α，β∈[0，2π） ：

結合 x₁x₂+y₁y₂=x₁+x₂-1 得 6cosαcosβ+ 6sinasinβ =2cosα+3cosβ-1 ，即 6cos（α-β）+1 =2cosα+3cosβ. 構造對偶式 t= 2sinα+ 3sinβ ，則有 （20 （2sinα+3sinβ）²=13+12cos（α-β） ，整理得[6cos（α-β）+1]²-12cos（α-β）-13=-t²? 0，化簡得cos2（α-β）≤，解得-√ 所以 （x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=x₁²+y₁²+x₂² ，即 （x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最大值為 元

解法5（三角換元法2）設 x₁= 2cosα，y₁=

由解法4可得 6cos（α-β）+1=2cosα+3cosβ. （2又因為 6cos（α-β）+1=2cosα+3cosβ=2cos[（α 2sin（α-β）sinβ= （204號 ，則有 13+12cos（α-β） ，化簡可得 ，解得- 下同解法4可得 （x₁- x₂）²+（y₁-y₂）² 的最大值為

評注三角換元是解決此類問題常用的一種技巧方法.通過題設中的關系式三角函數化，合理構造對偶式來進行三角恒等變形與轉化，結合關系式的基本性質確定對應三角函數值的取值范圍，進而確定所求代數式的最值.

解法6（代數法）由于 x₁²+y₁²=4，x₂²+y₂²= （29 ），x₁x₂+y₁y₂=x₁+x₂- 1. 所以 （x₁+x₂）²+（y₁+ y₂）²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²+2（x₁x₂+y₁y₂）=13+ （202（x₁+x₂-1）=11+2（x₁+x₂）?（x₁+x₂）² ，解得 所以 （x₁-x₂）²+ （20 （y₁-y₂）²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂） （204號=13-2（x₁+x₂-1）=15-2（x₁+x₂）?15 1 ，即 （x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² （20的最大值為

評注通過對代數式的變形并利用平方和的基本性質加以合理放縮，巧妙消元轉化求解對應的方程.

3 變式拓展

變式1 （同源變式）已知實數 x₁，x₂，y₁，y₂ 滿足 x₁²+y₁²=4，x₂²+y₂²=9，x₁x₂+y₁y₂=y₁+y₂ -1，則 的最大值為

解析 由于 x₁²+y₁²=4，x₂²+y₂²=9，x₁x₂+ y₁y₂=y₁+y₂-1. 所以 （x₁+x₂）²+（y₁+y₂）²=x₁² （204 +y₁²+x₂²+y₂²+2（x₁x₂+y₁y₂）=13+2（y₁+y₂ -1）=11+2（y₁+y₂）?（y₁+y₂）² ，解得 所以 （x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²= x₁²+y₁²+x₂²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂）=13-2（y₁+y₂）=13. ，即 （x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最大值為 ：

變式2 （類比變式）已知實數 x₁，x₂，y₁，y₂ 滿足 x₁²+y₁²=4，x₂²+y₂²=9，x₁x₂+y₁y₂=3 ，則x₁+x₂ 的最大值為

解析 設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，則有| ∣OA∣=

2，∣OB∣=3 ，所以 ，即 解得 設 x₁=2cosα ，則 x₂=3cos（α 所以 x₁+x₂=2cosα+3cos（α ，即 x₁+x₂ 的最大值為

4教學啟示

涉及多變量（特別是以上問題中的四個變量）的函數、方程以及不等式等問題成為近年高考、強基、自招等數學試卷中的熱門與難點問題之一，倍受各方關注.我們應合理挖掘代數式的結構特征，巧妙借助“相等”與“不等”之間的關系與等價轉化，依托相應的數學基礎知識加以綜合創設與巧妙求解。

此類問題，通常融合的數學基本知識較多，有時還涉及數學建模以及數學創新應用，在考試中有很好的選拔效果與區分效應，對數學思維能力與數學思想方法的要求比較高，具有較好的區分度.