立足不等式場景，探究代數式最值

1 問題呈現

題目（2025屆東北三省高三大聯考數學卷）已知 alt;0 ，函數 ，當x∈（a，b） 時 f（x）gt;0 恒成立，則 a²+b 的最大值是（ ）.

此題以含參的高次函數為背景，結合自變量在雙參數所對應的區(qū)間內的取值限制，來確定高次函數對應的不等式恒成立，進而探究雙參數所對應的代數式的最值問題.在實際解題時，主要是結合雙參數對應取值的分類討論，或直接加以分類討論，或利用函數解析式的因式分解，結合函數零點的取值情況來穿針引線法討論也可以采用特殊值思維，利用自變量在雙參數所對應的區(qū)間內的取值限制，通過特殊值的選取來巧妙應用快捷簡單.

2 問題破解

解法1（分類討論法）由于 alt;0 ，若 bgt;0 ，則有 0∈（a，b） ，此時不等式 f（0）gt;0 恒成立，這與f（0）=ablt;0 矛盾，所以 b?0 于是，當 x∈（a，b） 時， x+blt;0 ，由 恒成立，則有 g（a）=3a²+a?0 ，解得 0.所以 ，即 a²+b 的最大值是 故選 A

評注分類討論思維是解決多變量代數問題比較常用的基本技巧方法.抓住參數的取值限制進行合理的分類討論，并綜合題設條件加以綜合，合理邏輯推理與數學運算，巧妙解題

方法2 （穿針引線法）由 ，可知 f（x）=0 的三個零點分別為 Π=Π-Πb ：

（1）當 b?0 時， ，如圖1，結合當 時 恒成立，則必有（2 a?x₁ ，即 ，解得 則

圖1

圖2

（2）當 bgt;0 時 ，f（0）=ablt;0 ，結合當 x∈（a b ）時 I（x）gt;0 恒成立，則有 f（a）?0 ，如圖2，則必有 x₁0 恒成立;

綜上，可知 a²+b 的最大值是 故選 A

評注通過對三次函數的因式分解，確定對應三次方程的相應零點，結合參數 b 的取值范圍的正負值的分類討論，結合零點的位置情況進行“穿針引線”法處理，進而結合題設條件中的不等式恒成立條件加以聯系，確定代數式的最值.

方法3（特殊值法）由于 alt;0 ，當 x∈（a，b） 時 ，f（x）=（x²+2ax+a）（x+b）gt;0 恒成立.選取特殊值 b=0 ，當 x∈Γ（a，0） 時 ，f（x）=（x²+2ax+ a）xgt;0 恒成立，此時 在 x Ω∈（a，0） 上恒成立.對于函數 g（x）=x²+2ax+a ，其對稱軸為 ，結合二次函數的圖象與性質可知只要滿足 g（a）=3a²+a?0 ，解得 alt;0. 所以 ，即 a²+b （2號的最大值是 故選 A

評注抓住函數中的一個因式的結構特征，以及自變量的取值范圍，巧妙選取特殊值 b=0 來合理消參處理，使得函數的解析式更加優(yōu)化，給問題的求解創(chuàng)造條件.特殊值法的應用，其目的就是合理消元，化三次函數問題為二次函數問題，使得問題的解決更加簡捷.

3變式拓展

變式1（2025屆江西省部分學校高三（上）9月月考數學試卷）已知函數 ，當實數 agt;0 時，對于 x∈R 都有 f（x）?0 恒成立，則 a²b 的最大值是（ ）.

解析令 ，解得 當 時 f^′（x）lt;0，f（x） 遞減;當 x∈ （24 （204號 時 ，f^′（x）gt;0，f（x） 遞增.所以 f（x）_min ，而對于 x∈R 都有 f（x） （20 ≥0恒成立，則有」 所以 b ，則有 恒成立，即 a²b ≤（a + alna） min’

構建函數 g（a）=a+alna（agt;0） ，易得當 a∈ 時， g（a） 遞減;當 時， g（a） 遞增.所以 即 ，亦即 a²b 的最大值是 故選 A

變式2（湖北省部分市州2025年元月高三期末聯考數學試卷·14）已知 ，若不等式 恒成立，則 的最大值

為

解析令函數 h（x）=x²（1-lnx），x∈（0，e）， 易得 h（x） 在 上單調遞增，在 上單調遞減，故 則時 0 結合 可得 所以 ，故得

令函數 易證得 g（b） 在 （Φ-∞，1） 上單調遞增，在 （1，+∞） 上單調遞減，故 g（b）_max= （204號 所以 ，即 的最大值為

變式3 已知函數 ，當實數 agt;0 時，都有 f（x）?0 恒成立，則 ab 的最大值是

解析 仿照變式1、2解法，易得當 時 I（x） 遞增;當 時 I（x） 遞減.所以f（x）max =f（α-b）=lna-α-b. 又由于當agt;0時，有f（）≤0恒成立，則Ina -@-b0，即 ，則有 ab?a²-a²lna

令函數 ，易證得當 時， g（a） 遞增;當 時，g（a） 遞減.所以 0即 ，亦即 ab 的最大值是

4 教學啟示

含參（單參數或雙參數）不等式恒成立問題可以依托函數、方程以及不等式等問題場景的創(chuàng)設.解決此類問題，關鍵在于合理挖掘問題的本質與內涵，基于不等式的恒成立，借助參變分離來切人，整體思維或換元思維來處理，也可以借助主元關系來切人，利用分類討論方法來處理.上述方法往往都要借助函數的構造，并綜合應用函數與導數的性質來分析相關問題.