立足基本方法，適度延伸，優(yōu)化解法

1 試題呈現(xiàn)

設(shè)函數(shù) f（x）=5cosx-cos5x.

（1）求 f（x） 在 的最大值;

（2）給定 θ∈（0，π），a 為實(shí)數(shù)，證明存在 y∈ [a-θ，a+θ] 使得 cosy?cosθ

（3）若存在使對任意 x 有 5cosx-cos（5x+φ） ?b ，求 b 的最小值.

2 解法探究

2.1 第（1）問解法探究

解法1（導(dǎo)數(shù)與和差化積法）對 f（x） 求導(dǎo)得f^′（x）=5（sin5x-sinx） ，再由和差化積公式得 sin5x -sinx=2cos3xsin2x ，得 f^′（x）= 10cos3xsin2x.

令 f^′（x）=0 ，解得

當(dāng) 時(shí)， ，因此f^′（x）gt;0 ，故 f（x） 在 上單調(diào)遞增.

當(dāng) 時(shí)， cos3xlt;0，sin2xgt;0 ，因此f^′（x）lt;0 ，故 f（x） 在 上單調(diào)遞減.因此f（x） 取得極大值

評注和差化積公式可將復(fù)雜的三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為余弦與正弦的乘積，該方法依賴三角恒等

變換的技巧.

解法2（二階導(dǎo)數(shù)法 ）f^′（x） （2號 =10[2cos2xcos3x-3sin2xsin3x] ·由解法1知 f^′（x）= 0時(shí) 且 故 為極大值點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可得最大值為

評注通過二階導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)類型，拓展導(dǎo)數(shù)性質(zhì)在研究函數(shù)中的作用.

解法3（代數(shù)換元與五倍角公式）設(shè) t=cosx ，由 ，得 ．由五倍角公式得cos5x= 16cos⁵x-20cos³x+5cosx= 16t⁵-20t³+ 5t，因此 f（t）=20t³-16t⁵ 記 ，則 202（3-42）.令g'（t）=0，得t=或t=/√.當(dāng) 時(shí)， g^′（t）gt;0，g（t） 遞增，當(dāng) t∈ 時(shí) g^′（t）lt;0，g（t） 遞減.因此 g（t） 在 處取得極大值

評注通過代數(shù)換元將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)，該方法的關(guān)鍵要類比教材的二倍角公式推導(dǎo)五倍角公式.

2.2 第（2）問求解

解法1（邏輯量詞轉(zhuǎn)化法）原命題為： ?y∈ [a-θ，a+θ] ，使得 cosy?cosθ ，這是存在性命題.我們可將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為：需證明“函數(shù)cosy在區(qū)間 上的最小值 ? cosθ”，即（204號

根據(jù)區(qū)間 [a-θ，a+θ] 與余弦單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，分情況：

① 區(qū)間包含“遞減區(qū)間” [kπ，kπ+π]

若 [a-θ，a+θ] 包含完整的“遞減區(qū)間” [kπ kπ+π] （如 k=0 時(shí)為 [0，π] . k=1 時(shí)為 [π，2π] 的遞減段 [π，2π] 實(shí)際是遞增，需修正為 [kπ，kπ+π] 為遞減），則余弦函數(shù)在 [kπ，kπ+π] 上的最小值為cos（kπ+π）=-cos（kπ） （利用誘導(dǎo)公式 cos（t+ π）=-cost， 》

由于 ，而 -cos（kπ）=±1 ，顯然-1?cosθ 恒成立（無論 θ 取何值， cosθ?-1 ）.

② 區(qū)間完全在“單增或單減區(qū)間”內(nèi).

若 [a-θ，a+θ] 不包含完整遞減區(qū)間，即完全落在某一個(gè)單調(diào)區(qū)間（如 [kπ+π，kπ+2π] 遞增區(qū)間，或 [kπ，kπ+π] 遞況區(qū)間的子區(qū)間）；

若在遞減區(qū)間，此時(shí)區(qū)間右端點(diǎn) n=a+θ ，由于θ?0 ，有 a+θ≥θ （默認(rèn) a?0 ，若 a 為負(fù)可調(diào)整 k ），故 cos（a+θ）?cosθ ；若在遞增區(qū)間，此時(shí)區(qū)間左端點(diǎn) m=a-θ ，由于 θ?0 ，有 a-θ?θ （默認(rèn) a?0 ），故 cos（a-θ）?cosθ （遞增區(qū)間內(nèi)，自變量越小，函數(shù)值越小）.因此，無論區(qū)間 [a-θ，a+θ] 屬于哪種情況，cosy在區(qū)間上的最小值要么 ?-1?cosθ （情況 ① ），要么區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值 ?cosθ （情況 ② ）因此，必存在 y∈[a-θ，a+θ] ，使得 cosy?cosθ

解法2（分類討論與余弦函數(shù)單調(diào)性）根據(jù) a 的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性（周期 2π ）和單調(diào)性（在 [2kπ，2kπ+π] 單調(diào)遞減，在 [2kπ+π ，2kπ+2π] 單調(diào)遞增， k∈Z ，下同）分類討論：

情況1：若 a∈（2kπ，2kπ+θ] ，此時(shí)區(qū)間 （a- θ，a+θ） 滿足：左端點(diǎn) a-θlt;2kπ ，右端點(diǎn) a+θ≥ 2kπ+θ ，因此 2kπ+θ∈（a-θ，a+θ） .取 y=2kπ ε+εθ ，則cosy =cos（2kπ+θ）=cosθ ，滿足cosy?cosθ

情況2：若 a∈（2kπ+θ，2kπ+2π-θ） ，區(qū)間（ a ?-θ，a?+θ） 的左端點(diǎn) a-θgt;2kπ ，右端點(diǎn) 2kπ+2π ，且包含 2kπ+2π-θ （因 a-θlt;2kπ+2π -θcosy? cos0.

情況3：若 a∈[2kπ+2π-θ，2kπ+2π） ，區(qū)間（a-θ，a+θ） 的左端點(diǎn) a-θ?2kπ+π ，右端點(diǎn) a ，因此 2kπ+π∈（a-θ，a+θ） .由于 cos（2kπ+π）=-1， 且 θ∈（0，π） 時(shí) cosθgt;-1 ，故 -1?cosθ. 取 y=2kπ+π ，滿足 cosy?cosθ

評注分類討論法通過余弦函數(shù)的周期性將 Ψ_a 的取值范圍限定在一個(gè)周期 （2kπ，2kπ+2π） 內(nèi)，再根據(jù) a 與區(qū)間 （a-θ，a+θ） 的位置關(guān)系分三種情況構(gòu)造滿足條件的 y ，直觀體現(xiàn)了余弦函數(shù)的周期性與對稱性.

解法3（均值不等式與三角和差公式） g（y） Σ=Σ cosy在區(qū)間 [a-θ，a+θ] 兩端點(diǎn)的函數(shù)值之和為cos（a-θ）+cos（a+θ）=2cosacosθ.

由均值不等式知cos（a-θ）+cos（a+θ）cosacosθ?cosθ ，這意味著 cos（a-θ） 與 cos（a+θ） 中至少有一個(gè)不大于 cosθ （否則它們的平均值將大于 cosθ ，與上式矛盾）.因此，取 y=a-θ 或 θ ，則必有一個(gè)滿足 cosy?cosθ

評注均值不等式法通過代數(shù)變形將問題轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)值的比較，避開了對區(qū)間內(nèi)部點(diǎn)的分析.

解法4（構(gòu)造函數(shù)與零點(diǎn)存在定理）要證明：存在 y∈[α-θ，α+θ] ，使得 cosy?cosθ. 構(gòu)造函數(shù)h（y）=cosy-cosθ ，則問題轉(zhuǎn)化為：證明 h（y） 在區(qū)間 [α-θ，α+θ] 上存在函數(shù)值小于等于0的點(diǎn)（即h（y）?0， ）

先計(jì)算 h（y） 在區(qū)間端點(diǎn) 和 y=α+ θ 處的值.

當(dāng) y=α-θ 時(shí)， h（α-θ）=cos（α-θ）-cosθ

類似地，當(dāng) y=α+θ 時(shí)， h（α+θ）=cos（α+θ） 從而 h（α-θ）?h（α

再分情況討論函數(shù)零點(diǎn)與極值

情況 ① h（α-θ） 與 h（α+θ） 異號（或其中一個(gè)為0）.若 h（α-θ）?h（α+θ）?0 ，則 h（α-θ） 與h（α+θ） 中至少有一個(gè)非正（或?yàn)?）.由零點(diǎn)存在定理，存在 y₀∈[α-θ，α+θ] ，使得 h（y₀）=0 ，即cosy₀-cosθ=0?cosy₀=cosθ. 此時(shí)顯然滿足 cosy₀ ?cosθ （等號成立）.

情況 ② 二 h（α-θ） 與 h（α+θ） 同號.若 h（α- θ）?h（α+θ）gt;0 ，則 h（α-θ） 與 h（α+θ） 同正或同負(fù).由于 h（y）=cosy-cosθ 是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)（余弦函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)），在閉區(qū)間 [α-θ，α+θ] 上，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值性質(zhì)， h（y） 必存在最小值 ?_m （最小值可能在端點(diǎn)或極值點(diǎn)取得）.

又因 h（y） 是余弦函數(shù)的變形，其導(dǎo)數(shù)為 h^′（y） ω=-siny ，在區(qū)間 [α-θ，α+θ] 內(nèi)必存在極值點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，即 y=kπ 》

最后，結(jié)合h（α-θ）·h（α+θ）=4sin2 的結(jié)構(gòu)，當(dāng) 時(shí) h（α -θ）?h（α+θ）lt;0 ，矛盾（已歸為情況 ① ；當(dāng) 時(shí) h（α-θ） 與 h（α+θ） 同號，但由于余弦函數(shù)的有界性 （cosy∈[-1，1]） ，區(qū)間內(nèi)的最小值 m?min{h（α-θ），h（α+θ）}

結(jié)合三角恒等變換的約束，最終可推導(dǎo)出 m? cos0.即存在 y₀∈[α-θ，α+θ] ，使得 cosy₀?cosθ. 因此，無論 h（α-θ） 與 h（α+θ） 是異號還是同號，必存在 y₀∈[α-θ，α+θ] ，使得 cosy₀?cosθ

評注零點(diǎn)存在定理法通過構(gòu)造函數(shù)并分析端點(diǎn)值符號，將存在性證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，體現(xiàn)了函數(shù)思想的通用性.

2.3 第（3）問求解

解析 設(shè) ，則由 ，得 x= 令 k=0 則 代人 F（x） 得 由 φ∈ [0，2π） ， 則

當(dāng) φ=0 時(shí)， ，故

評注通過求導(dǎo)找到極值點(diǎn)，代入后利用三角函數(shù)的有界性放縮，最終確定最小值.該方法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解極值點(diǎn).

3試題變式

變式1 設(shè)函數(shù) f（x）=3cosx-cos3x ，求 f（x） 在 的最大值.

變式2給定 是實(shí)數(shù)，證明存在y∈[a-θ，a+θ] 使得 siny?sinθ

變式3若存在 φ 使對任意 x 有 acosx-cos（ax +φ）?b （其中 agt;0 ），求 b 的最小值.

變式1，2，3的求解可仿照本文中的方法給出，其中變式3的極值點(diǎn) ?，最小值為（a + （20