依托核心概念，追解題之本，溯命題之源

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中表明，學科單元主題通常以重要的數學概念或核心數學知識為主線進行組織.因此，以核心概念為導向的理念更多地關注到教學內容的本質、蘊含的思想方法及學科核心素養的提升，在概念課、原理理、習題課等發揮著傳統課型難以代替的相對優勢，而成為教學實踐的主流形式.那么，相對于教學的“臺前”工作，以核心概念為導向的理念如何在教師的解題探究與試題命制等“幕后”工作中搭建一條合適的研究路徑呢？為此，筆者以一道橢圓試題的背景拓展與改編命制為例，闡述“依托核心概念，追解題之本，溯命題之源”的心路歷程，在此與讀者交流分享.

1 試題呈現

題目 （2024—2025學年度四川省成都七中上

學期12月階段性考試試題）已知橢圓 bgt;0）， ，長軸長為4，離心率為

圖1

（1）求橢圓 E 的方程；

（2）如圖1，設 T（x₀，y₀） 是橢圓 E 的一動點，由原點向圓 引兩條切線，分別與圓切且交橢圓于點 M，N ，若直線 _OM，ON 的斜率存在，并分別記為 k₁，k₂ （i） 求證： k₁?k₂ 為定值； （ii） 延長 NT，OM 交于點 R ，若 ，求 S△ORT的值.

該試題以橢圓及圓相互伴隨的新穎情境切入，融入橢圓的標準方程，圓的切線，共線向量，斜率，面積等常規考點.易求得橢圓 E 的方程為 1k=-及 （過程略）.解答過程中發現，兩切線斜率積為定值的結論貫穿推理論證的始末，關聯著動圓的定值半徑， 線性表示中的系數關系（平方和為1），以及 的關系.那么兩切線斜率積為定值本質屬性是什么？能否挖掘到更多相關的性質為試題的改編命制提供知識本源上的借鑒路徑呢？

2 背景拓展

2.1 橢圓的共軛直徑

平行于橢圓一條直徑的弦的中點的軌跡和該直徑叫做橢圓的一對共軛直徑，即過原點的直線 l₁ ，l₂ 分別與橢圓交于 ΩM，P，N，Q 四點，其中 M（x₁，y₁） ，N（x，y），則恒有+ 當直線 l₁，l₂ 的斜率均存在時，有 為橢圓的離心率），特別地，橢圓的長軸與短軸也是一對共軛直徑.

在核心概念“共軛直徑”的引領下，上述解答過程中的理性分析可進一步凝練為試題的一般背景.

2.2 試題背景

命題1 設點 T（ρ_x0，y0） 是橢圓 E 的一動點， o 為坐標原點，由 o 向圓 T （?x-?x₀）²+ （y-y₀）²=r²（rgt;0） 引兩條切線，分別與圓切且交橢圓于點 M，N ，，若直線 Γ_OM，ON 的斜率存在且分別為 k₁，k₂ ，則 k₁k₂ 為定值 的充要條件是

證設直線 _OM，ON 的方程為 l_OMcN;y=kx

由 _OM，ON 與圓相切得 ，整理得

（x₀²-r²）k²-2x₀y₀k+y₀²-r²=0（?） ·由題意知

k₁，k₂ 為方程 （?） 的兩個不等實根，故 k₁k₂

因 T（ρ_x0，y0） 在橢圓上，有 則

，故 k₁，k₂ 為定值當且僅當62

即 此時

命題2設點 T（x₀，y₀） 是橢圓 的一動點， o 為坐標原點，由 o 向圓 T ：（x-x₀）²+ （y-y₀）²=r²（rgt;0） 引兩條切線，分別與圓切且交橢圓于點 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） ，設 若直線 _OM，ON 的斜率存在且分別為 k₁，k₂ ，則 k₁，k₂ 為定值 的充要條件是 λ²+μ²=1 ：

證明 由 得[x=λ，+μx2，代人橢圓方程整理得lyo=λy+μy2，

1. 結合 ，得 λ²+μ²+ ，故當且僅當 ， 即 時， λ²+μ²=1

3 性質拓展

經歷命題1、命題2的探索過程，得知橢圓的共軛直徑涵蓋了橢圓的方程，斜率，離心率，三個命題又進一步關聯了“衛星圓 T^′′ 及向量的線性運算及模長關系，若進一步，將添加橢圓的特殊元素及解析幾何中的坐標，長度，面積等計算單位，可向外輻射出哪些優美性質？這些性質能為教師的試題命制提供哪些可供參考的借鑒路徑？基于此，筆者展開研究.

性質1 已知 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 是橢圓 的兩個非頂點的動點， o 為坐標原點，記直線 Γ_OM，ON 的斜率為 k₁，k₂ 且 則恒有 ∣OM∣²+∣ON∣²=a²+b²，x₁y₁+x₂y₂=0 且△MON面積恒為定值

證明 聯立 導 同理 則 x₁²+x₂²=a²b² （204號 ，同理可證 y₁²+y₂² （20 =b² 故 ∣OM∣²+∣ON∣²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=a² ；而 （x₁y₁+x₂y₂）²=x₁²y₁²+x₂²y₂²+2x₁x₂y₁y₂ ；有（Φ_x1y2-Φ_x2y1）²+（Φ_x1y1+Φ_x2y2）²=Φ_x1²（Φ_y1²+Φ_y2²）+ x₂²（y₁²+y₂²）=b²（x₁²+x₂²）=a²b²， 得∣x₁y₂-x₂y₁∣=ab. ，由向量的三角形面積公式知

性質2 已知M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 是橢圓 E 1的兩個非頂點的動點， o 為坐標原點，記直線 _OM，ON 的斜率為 k₁，k₂ 且

圖2

關于 o 的對稱點分別為 M^′，N^′ 過 N^′ 作斜率存在的直線 l₁ 交 MM^′ 于 P ，交橢圓于 Q 過 o 作直線 交橢圓于 ^A，B 兩點，則恒有∣N^′P∣?∣N^′Q∣=∣AO∣?∣AB∣.

證明 易知 M^′（-x₁，-y₁），N^′（-x₂，-y₂） ， 設 l₁：y=kx++m（m=kx₂-y₂），l₂：y=kx. 由性質 1知 故 |_AO|?|_AB|= 聯立 得 （20 kxx1-x1y2；由性質1的證明可知xm+ a22+b2，即x=x 0

（204 （204號

其中 （20

kx（a2b2-b2x22）

=｜b2χ2y+b2χ2y，-ka2b2χ，丨

=｜b2y1（χ2+x2）-ka2b2x，|

故

性質3 已知 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 是橢圓$的兩個非頂點的動點， o 為坐標原點，記直線 θM，ON 的斜率為 k₁，k₂ 且 ，點P 是橢圓上異于 M，N 的一點，則有 S_ΔPOM²+S_ΔPON² （2

Φ=S_ΔMONΦ²

證明 由性質 1的證明可知 x₁²= 同理得 （204號 設 P（x₀，y₀），P 到 ON ， OM的距離分別為

圖3

（204號 d₁，d₂ ，則 ；同理 故

評注 在性質3的背景下，如圖4，過點P 作 l₁//OM，l₂//ON. 分別交 _ON，OM 于 A ，B ，過 P 作橢圓的切線交ON，OM于 ^C，D ，還有 |OA|?∣OC|=

圖4

等更多推論，感興趣的讀者可自行證明探討.

5 改編命制

筆者以橢圓的共軛直徑為核心概念，依托上述性質為一般背景，對模擬試題的命題進行改編命制工作.

題1 已知橢圓 ，長軸長為4，離心率為

（1）求橢圓 E 的方程;

（2）如圖1，設 T（x₀，y₀） 是橢圓 E 的一動點，由原點向圓 引兩條切線，分別交橢圓于點 M，N ，若直線 θM，ON 的斜率存在，并分別記為 k₁，k₂ ，設 請從下面 ①②③ 中選擇一個作為條件，證明另外兩個成立.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

題2已知過點 F₁（ε-1，0） 的直線 ξ_l 與圓 F₂ ：（x-1）²+y²=16 相交于 ^G，H 兩點， GH 的中點為E ，過 GF₁ 的中點 F 且平行于 EF₂ 的直線交 GF₂ 于點P ，記點 P 的軌跡為 c

（1）求軌跡 c 的方程

（2）已知 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 是軌跡 c 上的兩點.請從下面 ①②③ 中選擇一個作為條件，證明另外兩個成立.

b² ③ΔMON 面積為

評注上述兩題在共軛直徑性質的基礎上，將切線，軌跡，面積，長度等多個幾何要素融入試題情境，旨在引導學生能從多個角度分析題意，考慮多個答題可能，基于自身學情尋找到最合適的解決方法，以考查學生思維的靈活性、深刻性、系統性及創造性.

題3 設橢圓 的一個頂點與拋物線 x²=8y 的焦點重合， F₁，F₂ 分別是橢圓的左、右焦點，離心率 ，過橢圓右焦點 F₂ 且斜率存在的直線 l 與橢圓 c 交于 M，N 兩點.

（1）求橢圓 c 的方程;

（2）已知 A 是橢圓 C 的左頂點，過 A 作 l 的平行線交橢圓于 P ，交 y 軸于 Q ，請判斷 |AP|，|AQ| 的關系，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，對于橢圓 1（agt;bgt;0） ，請寫出關于 |AP|，|AQ|，|MN| 關系式的一個一般性命題（無需證明）.

評注本題融合了性質2及圓錐曲線的焦點弦性質，同時將橢圓的共軛直徑特殊化為長軸及短軸，更多地關注了解析幾何中設點設線，韋達定理等通性通法的常規考點.

題4（多選題）類比于雙曲線 1（a，bgt;0） ，我們可將直線 及 l₂：y= 稱為橢圓 的虛漸近線.已知 l₁，l₂ 為橢圓 c 的兩條虛漸近線，且 l₁，l₂ 與 C 的上半部分交于 ^A，B ，動點 P 在 c 上且在 ^A，B 之間，過 P 作橢圓的切線交 l₁，l₂ 于 M，N 則下列說法正確的是（ ）.

A.，所與夾角為B 為定值C.四邊形 OAPB 面積為定值

D.S²_ΔPOA+S²_ΔPOB=S²_ΔAOB

評注本題將共軛直徑新定義為橢圓的虛漸近線，融入夾角，長度，面積等元素于選項，特意限定 P 的具體范圍，旨在引導考生用 的特殊位置突破求解，充分考查學生思維的的靈活度及特殊與一般的轉化思想

5 結語

試題命制靈感一般來源于多個版本的教材例題，習題或高考真題與模擬試題.試題命制不是簡單地將相關核心概念、性質、法則、定義及公式等進行組合，而是要關注到本題所處的考卷位置，得分占比及難度系數而進行靈活設置；更不是簡單地解題、講題過程，而是要根據立足學生視角，達到求解邏輯上的合理性與科學性，在學生能力范圍之內使用所學知識進行求解，達到知識，方法，技能來源于教材，又高于教材的效果，立足于引導教與學上雙向回歸教材的功能.同時，教師也要在新課標的指導下，以學科內容中的核心概念為本，可適當引導學生進行研究性學習，對相關知識進行探源、拓展及延伸，在深人理解知識本質的過程中建構知識，形成數學的思維方式，從而使學生形成從容應對高考創新性試題能力.

參考文獻

[1]鄭鋒.理性思維視角下結構不良問題的探析——以近四年高考中結構不良試題為例[J].數學通報，2023，62（11） ：46-49.