巧用“待定系數法”突破初中函數解析式求解難題

在初中數學學習中，函數是重要且具有一定難度的知識板塊.函數解析式的求解是研究函數性質、解決實際問題的關鍵環節.待定系數法作為一種高效且通用的求解函數解析式的方法，在初中函數學習中占據重要地位.它通過設出函數解析式的一般形式，利用已知條件確定其中的待定系數，從而得出函數的具體表達式.學生掌握待定系數法，能夠更有效突破函數解析式求解的難題，加深對函數概念的理解，提升數學思維能力和解題能力.下面將通過具體的例題，詳細闡述待定系數法在初中函數解析式求解中的應用.

1待定系數法在一次函數解析式求解中的應用

例1 已知一次函數 y=（k+1）x-2k+3 ，其中 k≠-1

（1）若點 （-1，2） 在 的圖象上，求 k 的值；（2）當 -2?x?3 時，若函數有最大值9，求 的函數表達式.

解析（1）因為點 （-1，2） 在 的圖象上，

所以 -（k+1）-2k+3=2 ，

解得 k=0

（2）① 當 k+1gt;0 ，

即 kgt;-1 時，

因為當 -2?x?3 時，函數的最大值為9，

所以當 x=3 時， y=9 ，

所以 3（k+1）-2k+3=9 解得 k=3 ，所以一次函數解析式為 y=4x-3 ② 當 k+1lt;0 ，即 klt;-1 時，因為當 -2?x?3 時，函數的最大值為9，所以當 x=-2 時， y=9 ，所以 -2（k+1）-2k+3=9 ，解得 k=-2 ，所以一次函數解析式為 y=-x+7 ：綜上所述，一次函數解析式為 y=4x-3 或y=-x+7

點評因為 -2?x?3 時，函數有最大值9，要求函數解析式，就需要明確函數的增減性.需要分k+1gt;0 和 k+1lt;0 兩種情況進行討論.當 k+1gt; 0，即 kgt;-1 時，利用一次函數的增減性得到當 x= 3時， y=9 ，將此代入即可求解；當 k+1lt;0 ，即 時，利用一次函數的增減性得到當 x=-2 時， ，將此代入即可求解.對于一次函數解析式的求解，待定系數法通過利用已知點構建方程，有效解決了待定系數的求解問題.通過此類問題的練習，學生能夠進一步理解待定系數法的原理和應用技巧，提高解決函數問題的能力.

2待定系數法在二次函數解析式求解中的應用

例2二次函數的圖象過點（3，0）， （2，-3） 兩點，對稱軸為直線 x=1 ，這個二次函數的解析式為

解析因為拋物線的對稱軸為直線 x=1 ，且拋物線與 x 軸的一個交點為 （3，0） ，

所以拋物線與 x 軸的另一個交點為 （-1，0） ，

設拋物線解析式為 y=a（x+1）（x-3） ，過點 （2，-3） ，

所以 -3=a×（2+1）×（2-3） ，

解得 a=1 ，

所以拋物線解析式為 ，

即 y=x²-2x-3 ：

點評在使用待定系數法求解二次函數一般式的解析式時，若已知3個點的坐標可構建三元一次方程組.求解過程中要仔細運算，注意利用已知條件簡化計算.學生要能更深入地掌握待定系數法在二次函數中的應用，同時體會根據已知條件選擇合適的函數表達式形式的重要性.本題同樣考查用待定系數法求二次函數的解析式.解答本題時，可利用拋物線的對稱性得到拋物線與 x 軸的另一個交點為（-1，0） ，則可設交點式 y=a（x+1）（x-3） ，然后把 （2，-3） 代人求出 a 的值即可.

3教學建議

3.1夯實基礎，循序漸進引入概念

教師在教授待定系數法前，需要確保學生牢固掌握函數的基本概念、性質及圖象特征.以一次函數y=kx+b 為例，結合圖象上的兩個已知點坐標，向學生解釋為何需要確定 k 和 b 的值，讓學生明白待定系數法的本質是通過已知條件建立方程（組）來求解函數中的未知系數.

3.2多樣化例題示范，優化解題步驟

精選具有代表性的例題，涵蓋一次函數、反比例函數、二次函數等不同類型.在講解過程中，詳細闡述待定系數法的解題步驟：首先，設出函數的一般形式；然后，將已知點的坐標代入函數式，得到關于待定系數的方程（組）；最后，求解方程（組），確定系數的值，得出函數解析式.同時，引導學生總結針對不同函數類型在使用待定系數法時的特點和注意事項，如二次函數 y=ax²+bx+c 需要3個點的坐標來確定 _a，b，c 的值等，幫助學生形成清晰的解題思路.

3.3 分層練習，鞏固提升

設計分層練習，滿足不同層次學生的學習需求.

基礎練習可側重于直接給出點的坐標，讓學生運用待定系數法求解函數解析式；進階練習則增加條件的復雜性，如結合函數的性質、圖象的變換等；拓展練習可設置實際應用問題，讓學生從實際情境中提取信息，建立函數模型并求解.在練習過程中，鼓勵學生嘗試多種方法解題，對比不同方法的優缺點，加深對待定系數法的理解和運用.

3.4注重思維培養，提升解題能力

引導學生觀察函數解析式與已知條件之間的聯系，培養學生的邏輯思維和逆向思維能力.通過分析錯題，幫助學生找出錯誤原因，總結解題規律和技巧.同時，鼓勵學生在解題過程中進行反思，如思考如何根據題目條件快速設出合適的函數形式，怎樣避免計算錯誤等，逐步提高學生運用待定系數法解決函數問題的能力.

4結語

綜上所述，待定系數法是突破初中函數解析式求解難題的有效方法.在一次函數、二次函數等不同類型函數的解析式求解中，待定系數法都有著廣泛且重要的應用.通過設出函數解析式的一般形式，利用已知條件確定待定系數，能夠準確得出函數的具體表達式.在應用過程中，需要根據函數類型和已知條件的特點，選擇合適的函數表達式形式，以簡化計算過程，提高解題效率.通過對以上例題的分析，希望學生能夠更好地掌握運用待定系數法解題的思路，提升函數學習效果和數學解題能力，為后續深入學習函數知識和解決實際問題奠定堅實的基礎.

參考文獻：

[1]郭小蔚.待定系數法求一次函數解析式[J].中學理科園地 ，2021，17（1）：21-22

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[3]鄧厚波.用好待定系數法，確定函數解析式[J].初中生世界，2015（31）：49-50.