基于問題追本溯源，依托模型發(fā)展思維

思維建模是指借助建模工具將學(xué)習(xí)者的思維過程進行可視化表征的認知方法.與知識建模的“知識的邏輯體系化過程”概念不同，思維建模是一種建構(gòu)性學(xué)習(xí)方式，學(xué)習(xí)者結(jié)合材料信息和已有的知識經(jīng)驗，借助一些特定的工具（如思維導(dǎo)圖、概念圖等）和方法（演繹、化歸），建構(gòu)對當前學(xué)習(xí)的理解，并將這種理解通過模型表達出來，促進學(xué)習(xí)者對知識、方法的深層次理解并內(nèi)化吸收.本文利用思維建模工具展示學(xué)生對知識的思維建構(gòu)過程，從“全等三角形SSA的再探究”出發(fā)，尋找問題本質(zhì)，關(guān)聯(lián)探索平行四邊形的判定條件，深入探討其在教學(xué)中的實踐應(yīng)用.

1 問題提出

學(xué)習(xí)三角形全等的判定方法（即“SAS\"\"ASA\"\"AAS\"\"SSS\"）和直角三角形全等的判定方法（即“HL\"）后，繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進行研究.

不妨將問題用符號語言表示為：在 ΔABC 和ΔDEF 中， AC=DF ， BC=EF ， ∠B=∠E ，思考ΔABC 與 ΔDEF 是否全等.

本題是在學(xué)生已有探索三角形全等條件的經(jīng)驗上，提出思考“依據(jù)SSA條件能證明三角形全等嗎，需要滿足什么條件？”問題雖然簡單，卻是一道值得思考的好題.如何以源題讓學(xué)生既見樹木，又見森林？根據(jù)已有的探索其他三角形全等的經(jīng)驗，進行知識的上聯(lián)—與已有定理\"HL”建立聯(lián)系，提出對已知角 ∠B=∠E 進行分類，用尺規(guī)作圖驗證猜想的合理性；通過拓展與變式探究進行下延，凝聚問題的共性，找到通路通法.

2 功能分析

思維建模能力是指學(xué)習(xí)者將思維過程可視模型化的能力.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維建模能力是指，在數(shù)學(xué)概念的認知和數(shù)學(xué)問題的解決過程中，需要學(xué)生積極地調(diào)動已有的知識經(jīng)驗和技能，進行自我建構(gòu)、自我反思調(diào)節(jié)，并能夠恰當運用各種思維能力來形象化理解概念、解決問題的能力.基于思維能力培育的構(gòu)型教學(xué)，以思維建模理論為指導(dǎo)，結(jié)合初中生的認知規(guī)律和數(shù)學(xué)學(xué)科的思維特質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型和思維模型解決實際問題，讓學(xué)生思考問題時樹立建模意識，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師更多的是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題所包含的信息及相關(guān)的結(jié)構(gòu)特征，對基本模型進行深挖、遷移、延伸，或通過觀察、聯(lián)想、類比等構(gòu)造與原問題有關(guān)的輔助問題或轉(zhuǎn)化成一個或多個比較簡單易解的數(shù)學(xué)模型來解決問題.

3教學(xué)實踐

3.1 自主構(gòu)建

對 ∠B 進行分類，可分為“ ∠B 是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.問1當 ∠B 是直角時， ΔABC 與 ΔDEF 全等嗎？生 SSA轉(zhuǎn)化為HL，兩個三角形全等.問2 當 ∠B 是鈍角時， ΔABC 與 ΔDEF 全等嗎？生 全等.題1 已知在△ABC和 ΔDEF 中， AC=DF .

BC=EF . ∠B=∠E ，且 ∠B，∠E 都是鈍角，求證：ΔABC?ΔDEF

解如圖1，過點 C，F(xiàn) 作 CM⊥AB，F(xiàn)N⊥DE 元

由 ∠ABC=∠DEF ，得 ∠MBC=∠NEF （等角的補角相等），利用“AAS”證明 ΔBCM? ΔEFN .由全等三角形對應(yīng)邊相等得到 CM=FN .由“HL”證明 RtΔACM?RtΔFDN 由全等三角形對應(yīng)角相等得到 ∠A=∠D ，再利用\"SAS”證明ΔABC?ΔDEF

圖1

通過構(gòu)造“作垂直”輔助線利用三次全等證明，得到“由SSA（為鈍角）能確定三角形”.

問3當 ∠B 是銳角時，△ABC與 ΔDEF 全等嗎？

題2已知在 ΔABC 和 ΔDEF 中， AC=DF ，BC=EF . ∠B=∠E ，且 ∠B，∠E 都是銳角，請用尺規(guī)在圖2中作 ΔDEF ，使 ΔABC 和 ΔDEF 不全等.

圖2

追問1“由SSA（為銳角）不能確定三角形”是否正確？

生不一定.

追問2 你能畫出反例嗎？

追問3 ∠B 滿足什么條件時，SSA（為銳角）

能確定三角形.

3.2 變換視角

題3如圖3，固定BC、 ∠B ，在 ∠B 的另一條邊BM上確定點A的位置，從而確定 ΔABC .利用尺規(guī)作圖，發(fā)現(xiàn)隨著CA長度的變化， ΔABC 中A點的個數(shù)會隨之改變.

圖3

當 01C 時，無法構(gòu)成三角形；

當 A₁C2BC 、ΔA₃BC ：

當 AC=CB 時，確定 ΔA₄BC ·當 ACgt;CB 時，確定 ΔA₅BC

學(xué)生可以歸納出滿足 AC?CB 或者 AC²+ AB²=BC² 條件，三角形能唯一確定.若從 ∠B 的角度分析，當 ∠B?∠A 或 ∠CAB=90^° 時，三角形能唯一確定.

滿足SSA條件中的銳角需滿足什么條件能確定三角形，轉(zhuǎn)化為在 ∠B 的另一條邊BM上畫點 A 軌跡.在操作過程中，學(xué)生會出現(xiàn)畏難情緒、圖形感知不明顯等情況，產(chǎn)生思維障礙.基于此，教師需另覓他路，幫助學(xué)生打開思維.整個探究過程由簡單到復(fù)雜，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，考查學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理和創(chuàng)新意識等綜合能力，體現(xiàn)思維的深度.

3.3 拾級而上

題4判斷以下哪些命題是真命題，并證明其中之一：

① 兩角和第三個角的角平分線分別相等的兩個三角形全等；

② 一邊和這條邊上的中線及高分別相等的兩個三角形全等；

③ 斜邊和斜邊上的高分別相等的兩個直角三角形全等；

④ 兩邊和第三邊上的高分別相等的兩個三角形全等.

在命題 ① 中，學(xué)生利用AAS能很快確定同一側(cè)的兩個三角形全等，得到原三角形的一組邊相等，即得證.

基于命題 ② 的思考：已知 ΔABC 的邊BC與BC 上的中線長度，即BC的中點 D 位置確定；已知BC上的高線長度，即頂點 A 到 BC 的距離（即 AE 長度）確定，進行構(gòu)圖：設(shè) BC=a ，中線 AD=b ，高線AE=c .如圖4，從而確定點A的位置， A₁ 和 A₂ 是對稱點，所以 ΔABC 能確定.

圖4

類比命題 ② 的構(gòu)圖法驗證命題 ③ 正確：已知RtΔABC . ∠C=90^° ，斜邊 AB=a ，高 AD=b .如圖5，從而確定點 c 的位置， c 和 C^′ 是對稱點，所以RtΔABC 能確定.

圖5

類似地，根據(jù)命題 ④ 中的已知條件：在△ABC中， AB⊥AC 和高 AD 的長度確定，進行構(gòu)圖發(fā)現(xiàn)點 c 和 C^′ 兩個位置，如圖6，但 ΔABC 與 ΔABC^′ 不全等.

圖6

本題是“全等三角形SSA探究”的變式和延續(xù)，學(xué)生需要熟練掌握基本的三角形全等判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），對于非標準的全等條件，先明確已知條件，進而嘗試自主構(gòu)圖.如何確定三角形的頂點位置是解決問題的關(guān)鍵，也是難點.在解題教學(xué)過程中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生從整體角度出發(fā)觀察問題及圖形，并提取基本圖形，找到題與題之間的聯(lián)結(jié)，幫助學(xué)生調(diào)用活動經(jīng)驗.學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷積累基本圖形，經(jīng)歷認識一應(yīng)用一再認識一再應(yīng)用一總結(jié)的過程，體會解法之間的區(qū)別，以便合理選擇最優(yōu)解法.

3.4 注重關(guān)聯(lián)

在學(xué)習(xí)八年級下冊“平行四邊形的判定”時，除了教材上給出的判定定理，還有由邊、角或?qū)蔷€元素相互組合形成的命題，它們的真假性還需進一步確認.在解題時，可以將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，如果三角形唯一確定，那么四邊形也唯一確定.

如圖7，一組對邊平行，另一組對邊相等.

圖7

如圖8，一組對邊相等，一組對角相等.

圖8

如圖9，一組對邊相等，一組對角線平分.

圖9

利用尺規(guī)作出SSA的反例，從而能迅速判斷命題的真假.因此在教學(xué)過程中，教師需關(guān)注學(xué)生的知識生成過程.

3.5 提升本質(zhì)

在探究“用SSA證明全等三角形”的過程中，發(fā)現(xiàn)僅靠部分邊角關(guān)系無法唯一確定圖形，必須確保條件足夠嚴格，即確定圖形的充分條件一滿足該條件必定導(dǎo)致結(jié)果成立的確定性因素.不禁聯(lián)想，探究平行四邊形的判定條件中，學(xué)生在畫圖中驗證條件的合理性，或添加輔助線將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為全等三角形問題進行求解，或找到反例（等腰梯形、箏形等）辨析，體現(xiàn)不充分條件的局限性.

4教學(xué)之思

4. 1 追根溯源找本質(zhì)

“全等三角形SSA的再探究”是在學(xué)生已有探索三角形全等的活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過尺規(guī)作圖、分類討論、知識遷移等方式進行更高層次的思維探究，是對學(xué)生分析問題一提出問題一解決問題的綜合考查，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)要求較高.本節(jié)課從全等三角形SSA的再探究出發(fā)，學(xué)生在不斷自主構(gòu)圖中確定三角形全等的條件.在教學(xué)實踐中，教師既要關(guān)注知識體系的縱向貫通，又要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的橫向滲透；既要注重引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，尋找問題的本質(zhì)，又要將關(guān)聯(lián)問題串聯(lián)起來，形成一類問題解決的通法，從而積累解題經(jīng)驗.

4.2 自主構(gòu)建尋關(guān)聯(lián)

自主構(gòu)建是學(xué)生能主動調(diào)動已有的知識經(jīng)驗和技能，自主搭建知識層面上的數(shù)學(xué)模型（如基本圖形）和思維層次上的思維模型（如流程圖）之間的橋梁，以獲取知識，進行自我反思調(diào)節(jié)，并能夠恰當運用各種思維能力來形象化理解概念、解決問題.解題教學(xué)的關(guān)鍵在于找到題與題之間的關(guān)聯(lián)、圖形性質(zhì)特征間的內(nèi)在聯(lián)系，搭起新舊知識間橋梁一圖形的分解、重組，經(jīng)驗的分離、重塑，形成有邏輯性、條理性的思維模型，再進行系統(tǒng)梳理、歸納和總結(jié)，從而實現(xiàn)知識遷移和經(jīng)驗遷移.教師在關(guān)注解法的同時要滲透模型思想，整理、歸納題目中蘊含的基本圖形，使學(xué)生在講練中不斷積累幾何模型，形成模型意識.

5 結(jié)語

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“數(shù)學(xué)教育的意義不在于傳授知識，而在于教會學(xué)生如何思考.”發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想是核心素養(yǎng)的要求，也是初中數(shù)學(xué)解題中的重要思想.本節(jié)課是教材內(nèi)容的延續(xù)，在SSA的探究活動中進行作圖、觀察、猜想和驗證，幫助學(xué)生構(gòu)建判定三角形全等條件、判定平行四邊形條件的知識框架，通過層層遞進、逐步深入的探索方式，把握\"關(guān)聯(lián)一問題一構(gòu)建”的主線，將知識、方法、思想融為一體，實現(xiàn)從“教解題”到“教思維”的轉(zhuǎn)變，促使學(xué)生主動探究、深度思考、自主學(xué)習(xí).

【本文系2021年度南京市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“基于思維建模能力培育的初中數(shù)學(xué)構(gòu)型教學(xué)的實踐研究\"（課題批準號：L/2021/059）的研究成果】

參考文獻：

[1]焦永圭.重視“思維建模”能力培養(yǎng)提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[J].數(shù)學(xué)考試，2022（20）：32-25.

[2]于云霞.解構(gòu)建構(gòu)重構(gòu)—一道中考題的教學(xué)實踐與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2024（8）：27-29