整合初中數學教學內容的一次教學實踐

數學課程要培養學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.以銳角三角函數的概念教學為例，從創設情境到概念獲得再到解決生活中的問題，這可以很好地培養學生的抽象能力、運算能力、模型思想及應用意識.基于上述理念和思考，筆者將銳角三角函數的概念教學內容進行了整合，在進行了新的嘗試后，感悟頗多，故撰文與同行交流，

1教學前的兩點思考

1. 1 內容分析

銳角三角函數是初中數學中的重要概念，反映了直角三角形中銳角的大小與兩邊的比值之間的一一對應的函數關系，同時它也是解直角三角形的基礎.

在蘇科版初中數學九年級上冊教材中，以“臺階的傾斜程度”這一實際問題為背景，再結合相似三角形的有關知識，從而引入“正切”的概念.接著，借助圖形求一個銳角的正切值的近似值，進一步理解正切的概念，引導學生初步感受銳角的正切值隨銳角的增大而增大.然后，以“沿一定坡度的坡道行走”這一生活問題，再借助相似三角形的性質，直接引入銳角的正弦、余弦概念，引導學生探究發現銳角的正弦值隨銳角的增大而增大，余弦值隨銳角的增大而減小.

能否以同一情境為載體，將這三個概念在一節課中全部呈現出來呢？另外，探究銳角的三角函數值隨銳角的變化而變化的規律的過程和方法也有相似之處，若能放在同一節課中完成，則有利于培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

1.2 學情分析

在學習銳角三角函數這一章之前，學生已經研究了直角三角形中三邊之間的關系、兩個銳角之間的關系，以及相似三角形的相關知識.借助相似三角形的性質一相似三角形的對應邊成比例，可以更好地理解三角函數的概念，即當直角三角形的一個銳角的大小確定時，其任意兩邊的比值也確定.

2 教學過程及分析

環節1 創設情境，初步感知.

師（出示兩張陡峭程度不同的山坡圖片，第一張圖片中的山坡海拔較高且山坡較短，第二張圖片中的山坡海拔較低且山坡較長）觀察這兩張圖片，哪座山坡更陡？說說你的理由.

生1第一個山坡更陡峭，因為它的海拔較高.

師這種解釋合理嗎？如果不合理，你能否在原圖的基礎上畫幾個不同的示意圖說明一下？

（教師展示學生畫的不同的山坡示意圖.）

生2我畫了一個比第一個海拔高一點的山坡，但是這個山坡特別長，顯然此時還是第一個山坡更陡峭.

生3我畫了一個和第一個的海拔一樣高的山坡，但是這個山坡比第一個短一點，顯然此時我畫的

山坡更陡峭.

師如果這個山坡比第一個長一點會怎樣呢？畫一畫.

生4山坡會變得平緩一點.

生5我畫了一個比第一個的海拔低一點同時也很短的山坡，顯然此時比第一個的山坡更陡峭

師通過上述活動，我們發現只通過比較海拔的高低是無法判斷山坡的陡峭程度的.

意圖分析通過對生活中山坡陡峭程度的直觀感受，以及“逼”學生多畫幾個不同的示意圖，引發學生對實際問題的數學思考.初步感知山坡的陡峭程度不僅僅與海拔有關，還與山坡的長度有關，為后面將銳角的大小與直角三角形的兩條邊建立關系做好鋪墊.

環節2數學抽象，建立模型.

師究竟能用什么方法表示山坡的陡峭程度呢？

生6把山坡看成一條線段，看它與水平線的 夾角，該夾角越大，山坡就越陡峭，

師還有其他方法嗎？回頭看一看剛才畫的一系列示意圖，給你什么啟發？

生7山坡的陡峭程度與海拔、坡長有關.

師換句話來說，山坡與水平線所成的夾角與海拔、坡長有關.兩者之間究竟是什么關系呢？為了便于研究，我們將其轉化為數學問題，即在RtΔABC 中， ∠C=90^° ∠A 的大小與 ∠A 的對邊BC 、斜邊AB有怎樣的關系？

生8當BC不變時， AB 越大， ∠A 越小.

師正確.如何研究 ∠A 的大小與 ∠A 的對邊BC、斜邊AB的關系呢？說說你的想法，

生9多畫幾個不同的 RtΔABC，∠C=90^° 測量 ∠A 的大小及 BC，AB 的長度.

生10我們可以從特殊的直角三角形開始考慮，比如當 ∠A=30^° 或 45^° 或 60^° 時，看看有沒有什么發現.

師接下來請同學畫畫看并思考 ∠A 的大小與 ∠A 的對邊 BC 、斜邊 AB 的關系.

生11當 ∠A=30^° 時，根據\"直角三角形中30^° 角所對的邊等于斜邊的一半”得到 當∠A=45^° 時，利用等角對等邊及勾股定理，可得 ；當 ∠A=60^° 時，易得

師若 ∠A 不是特殊的角度，比如 ∠A=40^° ，請畫圖并計算（保留兩位小數）.

（展示幾位學生所寫的過程.）

師觀察這幾位同學的計算結果，你有什么想說的？

生12 結果非常接近.

師 能解釋一下為什么嗎？

生13這幾個三角形都是相似的，根據\"相似三角形的對應邊成比例”，這些結果應該都相等，但是由于測量有誤差，導致計算結果也有誤差.

師根據剛才的操作和分析，你能說說 ∠A 的大小與 ∠A 的對邊 BC 、斜邊 AB 有怎樣的關系嗎？

生14 當 ∠A 確定時， 的值也唯一確定下來.

師此時你能說說 ∠A 與 之間究竟是一種怎樣的關系了嗎？

生15 函數關系.

師很好，我們一起來回憶一下函數的定義.

生16一般地，在一個變化過程中存在兩個變量 x 和 y ，如果對于自變量 x ，在其取值范圍內的每一個值，變量 都有唯一的值與它對應，那么我們稱 是 x 的函數.

師 由此可見， ∠A 的大小與 的值之間確實存在函數關系，且 ∠A 的大小是 的值的函數.

這種函數關系如何用符號來表示呢？ 的值叫作 （204號

∠A 的正弦，記作 sinA ，即業

師 ∠A 的大小除了與 的值存在函數關系，還與哪兩個邊的比值存在函數關系呢？說說你的理由.

生17 ∠A 的大小與 的值存在函數關系.因為當 ∠A 確定時， 的值也唯一確定下來，這個也可以由三角形相似的性質得到.

生18 ∠A 的大小與 的值存在函數關系.因為當 ∠A 確定時， 的值也唯一確定下來，這個可以由三角形相似的性質得到.

師 不難發現 ∠A 的大小與 （20號 A 都存在函數關系.初中階段，我們研究其中的三個，分別用符號表示如下：

的值叫作 ∠A 的正弦，記作 sinA ，即 sinA= 的值叫作 ∠A 的余弦，記作cosA，即cosA 的值叫作 ∠A 的正切，記作 tanA ，即tan A= （20

∠A 的正弦、余弦、正切都是 ∠A 的三角函數.

意圖分析 本環節主要培養學生用數學的眼光觀察現實世界，基于數學思維，抽象出數學的研究對象（如直角三角形），能夠從情境中抽象出核心變量（如角的大小，直角三角形中兩邊的比值）變量的規律及變量之間的關系，從而建立函數模型，并用符號語言進行表達.

環節3 自主探究，發現規律.

師當 ∠A 變化時， 的值也發生變化嗎？有怎樣的變化規律呢？下面請同學們多畫幾個示意圖，探究一下.（在學生探究的過程中，教師適時地介入，如提問\"有沒有什么方法可以較快地算出 的值？”有學生會說將1作為斜邊的長，這樣一來 .）

生19 我發現當 ∠A 變化時， 的值也發生變化，并且 ∠A 越大時 的值也越大.

師換個說法，即當 ∠A 是銳角時， sinA 的值 隨著 ∠A 的增大而增大.接下來請同學們思考隨著 銳角 ∠A 的增大，cosA與tanA的值怎樣變化.畫一 畫示意圖簡要說明一下.

生20我分別畫出了當 ∠A=30^°，45^°，60^°，80^° 的直角三角形，然后算出cosA與tanA的值，發現 cosA的值隨著 ∠A 的增大而減小;tanA的值隨著 ∠A 的增大而增大.

師該同學通過幾個特例計算發現了變化規律，還有更簡便的方法嗎？

生21我也畫了幾個不同的直角三角形，但是斜邊都是1，這樣 ，發現當∠A 越大時， ??AC 越短，所以cosA的值隨著 ∠A 的增大而減小.接下來，又畫了幾個不同的直角三角形，但是 AC 都是1，這樣 ，發現當 ∠A 越大時， BC 越大，所以tanA的值隨著∠A 的增大而增大.

意圖分析 讓學生經歷操作、觀察、思考、求解的過程，感受數形結合的數學思想方法.學生在多次畫圖、計算的過程中，選擇合理簡潔的運算策略解決問題，從而提升了運算能力.另外，學生通過計算，再次鞏固三角函數的相關概念.

環節4 自我反思，積累經驗.

師本節課我們研究了什么內容？你積累了哪些研究經驗？

生22我們研究了如何表示傾斜程度.通過畫圖，從特殊到一般，體會了三角函數的變化規律.

師 觀察三角函數的表達式，你有什么想說的？

生23三角函數將直角三角形的角和邊聯系起來.在直角三角形中，若已知其中一個銳角的大小，就可以確定兩條邊的比值；反之，若已知兩條邊的比值，就可以確定銳角的大小.

環節5 布置作業，深化理解.

課后作業在校園中，臺階、斜坡隨處可見，它們的傾斜程度一樣嗎？請應用本節課所學知識來說明.（要求：選擇幾個不同地點的臺階或斜坡并拍照，標出相應的數據并提供計算過程.）

意圖分析強化學生從兩個角度來表示傾斜程度：角的大小和兩邊的比值大小.進一步加強學生對三角函數概念的理解和應用.通過布置這樣的作業，培養學生運用數學知識解決問題的能力.

3對教學內容整合的思考

3.1教學內容分析和學情分析是有效整合教學內容的前提

在實際教學中，教師既要重視對教學內容的整體分析，也要重視學情分析.整體分析教學內容，有助于教師更好地把握知識體系，明確各知識點的重要程度和作用.分析學情能讓教師了解學生對即將所學內容的已有認知情況，思考是否需要整合相應的教學內容來幫助學生更好地建立能體現數學學科本質、對未來學習有意義的結構化的數學知識體系.

3.2重視整體教學設計是整合教學內容的有效途徑

新課標指出要改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系.合理整合教學內容，可以促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的數學素養.例如，筆者在教學三角形相似的條件這部分內容時，對教材內容進行了整合，在第1課時讓學生類比三角形全等的條件來探究三角形相似的條件，從而得到了三角形相似的全部判定方法，后面課時重在練習，從簡單的一次相似再到二次相似，循序漸進，發展學生的推理能力.除了對教學單元進行整體教學設計，也可以對整個初中數學教學進行整體設計.例如，筆者在教完“認識概率”這一內容后，緊跟著教學“等可能條件下的概率”這一內容，從而更好地引導學生從統計與概率的角度認識、理解和表達現實世界中大量存在的隨機現象，強化學生的數據觀念.

4結語

教師在實際教學過程中，結合教學內容和學情，可適時、科學地對教學內容進行整合，注重單元整體教學設計，尋找不同單元教學內容的內在關聯，可適當、合理地調整教學內容的先后順序，便于學生更好地理解數學知識以及知識間的聯系，更好地運用數學知識解決問題，從而更好地發展學生的數學素養.

參考文獻：

[1]趙青善.初中數學教學中培養學生數學興趣的策略探究[J]數學學習與研究，2024（12）：47—49.

[2」代承仕.基于大數據挖掘的初中數學教學內容重點發現J]天津教育，2024（9）：19-21.