初中數學二次函數動點問題的題型解構與解題策略研究

二次函數是初中數學的重要內容，與動點相結合時，就成了比較復雜的綜合性的問題.二次函數動點問題不僅要求學生掌握和了解二次函數的基本概念及圖象性質，還需要較強的邏輯思考及形象思維能力與綜合運用知識的能力.在實際教學過程中，學生對于二次函數動點題束手無策，比較容易出現概念理解不到位及解題思路不對等情況.因此，對于二次函數動點問題進行探討，分析二次函數動點題的題型特點、解題策略，以及因此提出可行性的教學建議，對提高學生的學習及教師的教學質量會有較大意義.

1初中數學人教版教材中二次函數動點問題分析

人教版九年級上冊的相關課時提出了相關的二次函數動點問題，教師應按照題目難易度分層式教學.這主要是針對教材所提的幾類動點問題，一類是求動點坐標或函數表達式，例如，已知拋物線的表達式，一個動點在該拋物線上運動，在給定條件的情況下（動點到坐標軸的距離、動點與其他點的位置關系等)，求動點的坐標或另一函數的表達式.此類型問題主要考查二次函數表達式和點坐標之間的關系.二是探索動點運動過程中，圖形面積和周長的變化情況，例如，已知平面直角坐標系內，拋物線與 x，y 軸圍成一個封閉圖形，一個動點在此封閉圖形上運動，求動點在運動過程中構成三角形或四邊形的面積、周長的最大值或最小值.該類問題將二次函數與幾何圖形度量相結合，考查學生的空間想象能力和圖形分析能力.三是探索動點與其他幾何圖形綜合所產生的特殊的圖形位置關系，例如，構成等腰三角形等圖形的位置關系，題目給出拋物線及幾個定點，已知一個動點在拋物線上運動，要使以動點與定點為頂點所構成的三角形為等腰三角形，求動點的位置坐標等，類似的題目學生可通過運用二次函數、等腰三角形、兩點之間距離公式等相關知識求出答案.這些問題類型由淺入深、層層遞進，從單一知識點的運用到多知識點的融合，全面考查學生對二次函數及相關知識的掌握程度，同時也為學生數學思維的發展提供了良好的載體.

2二次函數動點問題典型例題剖析

2. 1 基礎題型解析

例1已知拋物線 y=x²-2x-3 ，點 P 是拋物線上的一個動點，且點 P 的橫坐標為 Ψ_m ，當點 P 到 x 軸的距離為5時，求點 P 的坐標.

第一步，已知點 P 到 x 軸距離是點 P 的縱坐標的絕對值，而點 P 在拋物線上，則其縱坐標是 x=m 時在拋物線上對應的函數值，即 m²-2m-3 ，又因為點 P 到 x 軸的距離為5，所以有 |m²-2m-3|= 5，所以對上式分情況討論來解關于 ψ_m 的方程，求出m 值，從而得出點 P 的坐標，

具體做法如下：當 m²-2m-3=5 時，則 m²-2m -8=0 ，即 (m-4) (m+2)=0 ，解得 m₁=4，m₂= -2. 當 m=4 時，則 y=4²-2×4-3=5 此時點 P 坐標(4，5)；當 m=-2 時，則 y=(-2)²-2× (-2)-3=5 ，此時點 P 坐標 (-2，5) .當 m²-2m- 3=-5 時，則 m²-2m+2=0 ，由 Δ=(-2)²-4× 1×2=-4 知無解.總之，點 P 的坐標為（4，5）或(-2，5) ·

解答這類基礎型題型的關鍵是正確地把握點到坐標軸距離與點的坐標之間的關系，利用二次函數表達式來求點的坐標，最后對絕對值方程應分類討論，防止丟解.

2.2 綜合拓展題型解析

例2在平面直角坐標系中，拋物線 y=-x²+ 4x 與 x 軸交于 ^O，A 兩點（點 O 是坐標原點），點 B 是拋物線的頂點，點 P 是拋物線上的一個動點，連結OP， AP ，當 ΔOAP 是直角三角形時，求點 P 的坐標.

本題結合了二次函數圖象性質、直角三角形的判定與性質、坐標運算等知識點的考查，綜合程度高.多知識點融合解題策略：先根據拋物線圖象及點的坐標關系求得拋物線與 x 軸交點 ^°，A 的坐標及頂點 B 的坐標，再根據分情況討論三角形中角的判定：分 ∠AOP=90^°，∠OAP=90^°，∠APO=90^°= 111種情況討論.對于 ∠AOP=90^°，∠OAP=90^° 兩種情況根據直角性質及坐標間的關系直接求解，對于∠APO=90^° 則利用勾股定理構建方程求解.因為拋物線 y=-x²+4x ，所以令 y=0，-x²+4x=0 解得 x₁=0，x₂=4 ，所以 ξ₀(0，0) ， A(4，0) .因為拋物線化成頂點式為 y=-(x-2)²+4 ，所以頂點B(2，4) .因為 ∠AOP=90^° ，點 P 在 軸上，此時拋物線與 軸交點為(0，0），不符合動點要求，此種情況不存在.因為 ∠OAP=90^° ，此時點 P 的橫坐標為4，代入拋物線解析式 y=-4²+4×4=0 ，則此時點P 與點 A 重合，不符合動點要求，此種情況不存在.因為 ∠APO=90^° ，設點 P 的坐標是 (m，-m²+ 4m )，根據勾股定理 ，OP²+AP²=OA²，OP²=m²+ (-m²+4m)²，AP²=(m-4)²+(-m²+4m)² ，OA=4 ，即 m²+(-m²+4m)²+(m-4)²+(-m²+ 4m)²=16 ，整理求得 ，當 時， y=1 ，此時 P 點坐標是 ，當 時， y=1 ，此時 P 點坐標是 .綜上， P 點坐標是 或 (2- ：

易錯點與難點提示：此題易錯點是分類討論不全，容易漏掉某種直角情形；難點是 ∠APO=90^° 時，運用勾股定理列出方程解題，涉及較復雜的計算，學生容易計算有誤.

3二次函數動點問題解題方法與策略

3. 1 常用解題方法

當題目中含有動點時，根據已知的關系式，建立二次函數模型.例如，碰到圖形面積隨動點運動而發生相應變化的問題，先分析該圖形的構成方式，找出該圖形的面積與動點坐標間的關系，再利用二次函數性質求得最值或特定值.這種方法是建立數學函數模型求解動點問題的基本方式，把實際問題代人數學模型，更加容易得到變量之間的關系，十分直觀.二次函數本身具有圖象性質，動點問題中，函數解析式和圖象要聯系在一起.對于動點問題，畫出拋物線及動點運動軌跡的圖形，直觀觀察，從而掌握動點位置變化及圖形形狀的變化趨勢及變化情況.例如，判斷動點與其他點構成的三角形形狀，先通過圖象快速判斷，將所有情況羅列.在解題時，時常會出現動點位置不確定性，在很多情況下，要進行分類討論.例如，上述綜合拓展題型中，按照直角三角形直角頂點分類.分類討論時要遵循不重不漏的原則，要將每種情況進行合理的分析和解答.

3.2 解題步驟歸納

審清題意，找到已知條件，弄清動點在什么圖形上運動，以及與動點相關的一些量，如線段的長、角的度數等.如動點在拋物線上運動，則要注意拋物線的表達式及頂點坐標等信息；若是涉及圖形的變化，則要掌握圖形的基本屬性、相關量等；根據第一步分析的內容，結合常用解題方法，選取恰當方法構建數學模型.如果是求最值的，可建立函數模型；若是與圖形的直觀分析相關時，數形結合法較為合適；若存在多個可能情況時，則用分類討論法對構建的數學模型進行求解，進而得到動點的坐標或其他的相關答案；對結果代入原題檢驗，看是否符合題目條件和實際意義，避免出現增根、不符合題意的結果.

4二次函數動點問題的教學建議

4. 1 教學方法改進

在二次函數動點問題教學的過程中，教師可在教學中設置相關的生活情景，把二次函數動點問題應用到生活中，比如通過設置橋梁的拋物線形狀與船只的通過高度（動點表示船只的高度）的教學案例，使學生感知實際生活中數學的應用，激發學生學習的興趣和探索的積極性.在二次函數動點問題的講解中，始終滲透著數形結合的思想，引導學生勤于畫圖、善于觀察，量化圖形與函數式的聯系，透過圖形研究抽象函數、透過函數式研究圖形，比如在學習拋物線頂點坐標時，借助圖形使學生通過直觀感知，理解頂點坐標公式的推導過程.學生分小組開展二次函數的動點問題的探討，共同商討解決二次函數動點問題的解題思路與方法，在小組討論的過程中，學生可以與他人互相分享思路，學習對方的解題技巧，發現自己的不足，開闊解題思路，提高思維能力.教師要主動做好引導和點評的工作，結合小組所遇到的問題，及時指正和點評.

4.2 練習設計優化

4.2.1 設計分層練習，滿足不同層次學生的需求

因為學生的知識水平參差不齊，存在較大差異，所以分層練習必不可少.簡單的題目主要用于回顧與鞏固基礎知識，考查學生對二次函數動點問題中的基本概念與方法的掌握.可以設計\"已知拋物線 =x²-4x+3 ，動點 P 在該拋物線上，若點 P 的縱坐標為0，求點 P 的坐標”這類題目，鞏固學生對拋物線表達式中的未知數與拋物線上點坐標之間的聯系的掌握，以及用點坐標代入求解的方法.

較難的問題則通過提升綜合性與實踐性增加難度，培養學生綜合運用知識的能力.例如可以設計“已知拋物線 y=-x²+2x+3 ，動點 P 在拋物線上運動，點 A(1，0) ，點 B(3，0) ，求 ΔPAB 的面積的最大值”，此題要求學生綜合運用拋物線的基本性質、三角形的面積公式等知識，通過代入拋物線的表達式與三角形面積公式求得三角形面積的值，從而解答出 ΔPAB 的面積的最大值，這對學生的分析問題、解決問題的能力有一定的鍛煉與培養.難度較高的題目即為拓展性的題目，主要考慮能力突出的學生，僅需適度掌握，即起到拓展的作用，又不作強求.例如，在給定拋物線的部分性質和動點的運動條件之下，學生自填條件并解決動點的問題，要求學生跳出常規模式，提高運用知識的能力.設置此題對于拓寬學生知識面有很大的幫助.學生不但可以更熟練地掌握二次函數的圖形與性質，鍛煉分析問題能力，還能提高學習的積極性與自信心.

4.2.2增加開放性、探究性題目，培養學生創新思維

在設計練習時，適當設計開放性的、探究性的題目，可以改變過去題目有固定答案、解題思維、路線的模式，讓學生在自由的空間下，發揮主觀能動性.如教師給出拋物線 y=2x²-4x 及一些條件，如“動點 P 在拋物線上，點 Q 在 x 軸上”，然后讓學生自由提出關于動點 P 和點 Q 的動點問題，并予以解答.

學生可能會提出“當 ΔPOQ 為等腰三角形時，求點P 和點 Q 的坐標”“求動點 P 到點 Q 距離的最小值”等不同類型的動點問題.學生應該深入挖掘拋物線的性質、幾何圖形的性質、動點的運動規律，積極探索解決問題的途徑和結論，培養自身的創新精神和實踐能力.

4.2.3注重錯題整理與分析，強化學生薄弱環節

鼓勵學生建立錯題本，把訓練和考試時做錯的二次函數動點問題收集到本子上.學生收集時不僅要抄上題目及正確答案，而且要明確弄錯的原因，如概念的理解發生了問題、運算能力不足、思路錯誤等，并寫出正確解法的過程.教師不定期地檢查，對于學生普遍出錯的問題開展集中講解及鞏固訓練.比如，若發現多數學生在動點與幾何圖形中的特殊位置關系問題中出現錯誤，教師可以專門編設一節習題課，精選此類出錯比較多的典型錯題進行點撥，引導學生探析問題的解題方法、解題技巧，促進學生“補漏拾遺”，提高解決問題的正確率.錯題本的分析與歸納，便于學生了解自己的不足和缺陷，有針對性地學習和彌補，逐漸提升解決難點問題的水平.

5結語

二次函數動點問題內容豐富，是初中數學人教版教材中比較難理解、掌握的教材內容.本文通過對一些經典例題的分析和探討總結出了一些常用的二次函數動點問題的解題方法與技巧，主要有建立函數模型法、數形結合法、分類討論法等，以及相應的解題步驟；并根據教學實踐中出現的問題提出了改進教學方式方法、設計合理的練習的方式方法，如情境教學法、數形結合思想的滲透、小組合作學習、分層練習、開放性題目、糾錯等.在教學中，教師可以充分利用以上的方法和教學建議，促使學生有效解決二次函數動點問題，提高其解題的能力以及數學的思維和綜合素養，從而提高初中數學的教學質量.

參考文獻：

[1劉可.基于新課標核心素養的初中數學“教—學—評”一體化教學策略探究—以人教版“二次函數”教學為例[J].考試周刊，2024（49)：96-98.

[2]黃麗華.初中數學大單元教學設計與實施[J].讀寫算，2024(34):13—15.

[3]楊雅竹.初中數學人教版、北師大版及湘教版函數內容的對比研究[D].重慶：西南大學，2024.