基于深度學習的數學結構化復習教學賞析

對比《義務教育數學課程標準（2011年版）》和《義務教育數學課程標準（2022年版）》，關于尺規作圖有了很大的變化，2022年版新課標對尺規作圖的要求有所增加，不再是掌握幾種簡單的基本作圖，而是從問題出發探索解決的路徑，這種深度思考的過程提升了學生的綜合應用和數學推理能力.深度學習認知水平不僅包括記憶與理解，還涉及應用與分析、評價與創造等多個較高等級的維度層次，以及更加注重知識的應用和問題的解決[1].《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求“設計體現結構化特征的課程內容\"[2]，教學內容結構化有利于提升學生的數學認知結構品質，使之具有簡約性，有利于數學知識的記憶、存儲和檢索，從而提高知識的遷移能力，并使知識具有自我生長的活力，在新情境中生成新知識、新方法、新思想[3].基于深度學習的結構化復習教學，可以為學生學好數學提供整體的認識觀，從整體上把握數學知識、方法和觀念，從而掌握學習數學的方法路徑.“幾何作圖\"結構化復習如圖1所示.

新課標頒布以來，尺規作圖受到各地中考的普遍關注，在中考復習中合理安排教學內容，結構化的整合能讓學生較好地掌握尺規作圖，同時拓展到其他作圖方式的理解和應用，在了解作圖原理的基礎上增強幾何直觀、空間觀念和幾何推理能力，感受尺規作圖不是簡單的動手操作，而是幾何證明的另一種呈現方式.本節中考幾何作圖專題復習課利用結構化的板書將知識相互關聯，提高了學生的綜合學習能力.

1教學過程

利用PPT展示2020年—2023年江蘇省十三市中考尺規作圖考題統計情況，如表1：

表12020—2023年江蘇13市中考尺規作圖題號分布

點評：中考臨近，統計表能夠讓學生直觀感受尺規作圖在各地區考題中的出題頻率及題型分布.不僅激發了學生的復習興趣，還讓他們對尺規作圖在中考中的重要性有了更為深刻的認識.

1.1知識回顧，明晰本質

利用PPT展示、回顧五種基本尺規作圖： ① 作一條線段等于已知線段； ② 作一個角等于已知角； ③ 作一個角的平分線； ④ 作已知線段的垂直平分線； ⑤ 過一點作已知直線的垂線.

師：你能分別說出這些基本作圖的原理嗎？

生：作一條線段等于已知線段，先用直尺作直線，根據同圓半徑相等，在直線上截取與已知線段等長的線段.

師：作一個角等于已知角呢？

生：尺規作圖的一種思路原理為全等三角形對應角相等；另外也可以視為相等的弧所對的圓心角相等.

小練習：如圖2，根據尺規作圖痕跡作出判斷，與 上述對應的五種基本作圖的序號連線.

圖2

師：通過作圖痕跡可以判斷各圖分別屬于哪種基本作圖，并連線.

生：圖（1）與 ④ 連線，圖（3）與 ⑤ 連線，圖（4）與 ③ 連線.

師：你還知道圖形中的邊或角具有怎樣的數量、位置關系嗎？

生：圖（1）中可以確定 D 為 AC 的中點；圖（2）中AB=AD ；圖（3）中 BD⊥AC ；圖（4）中 ∠ABD= ∠CBD

點評：通過對五種基本作圖的復習，引導學生回顧必備的五種基本作圖方法并了解尺規作圖的原理.“連連看”小游戲的形式，讓學生根據作圖痕跡作出判斷，熟練掌握五種基本的尺規作圖.以問題的形式激發學生思考尺規作圖的一般要求和原理.

1.2具體操作，智者加速

如圖3，過直線外一點 P 畫出已知直線 AB 的平行線.

學生獨立思考，嘗試動手操作.教師巡視指導.

圖3

展示學生的作法，如圖4.

師：請作出圖4的同學回答，作圖中運用了哪種基本尺規作圖？

圖4

生：作一個角等于已知角.

師：你是怎樣想到這種方法的？

生：平行線的判定條件 同位角相等，兩直線平行.

師：利用平行線的判定，你還有其他的作法嗎？

生：還可以作 ∠CPF=∠PFB ，利用“內錯角相等，兩直線平行”

師：點 F 的位置有特殊要求嗎？

生：沒有，只要是直線 AB 上任意一點即可.

展示學生的作法，如圖5.

師：作圖中運用了哪種基本尺規作圖？運用了學過的哪種知識？

圖5

生：作一條線段等于已知

線段，我是根據平行四邊形的對邊平行想到的這種作法.

師：你怎樣判定所作的四邊形是平行四邊形？

生：我用尺規作了 PE=DF，PD=EF ，利用兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.

展示學生的作法，如圖6.

師：在圖6中作了角的平分線，請問你的思路來源于什么？

生：平行線、角平分線、等腰三角形在解決平面幾何問題時通常同時出現，根據這些做題的經驗而來.

師：你的想法非常好！做題過程中善于總結經驗！以上三位同學的展示非常精彩，還有沒有不同的作圖方法？

圖6

生：我的作法如圖7，先作出線段 PE 的垂直平分線交 ∣AB 于點 F ，再截取 OD=OF ；過點 P ，D 所作直線即為所求.

師：你作圖的思路來源于什么？

圖7

生：全等三角形對應角相等，再根據“內錯角相等，兩直線平行”.

師：運用了全等三角形的哪種判定條件？

生：邊角邊，其中有一對對頂角相等.

師：很好！這種圖形常見于全等三角形判定中的基本圖形，即“8\"字形.

生：我的作法如圖8，幾何原理是三角形的中位線平行于第三邊.運用的尺規作圖有作一條線段等于已知線段、作線段的垂直平分線.

圖8

師：除了可以看作是三角形的中位線，你還可以用相似的知識解釋這種作圖方法的正確性嗎？

生：可以！由兩邊對應成比例且夾角相等判斷 ，即常見的“A\"字形相似.

師：同學們從平行線的判定條件到三角形、四邊形中存在的平行線，再到通過三角形全等、相似得相等角進而推理得到平行線，經歷了多種思路的過程，體現了同學們對幾何概念、性質、定理的靈活運用，形成了良好的數學應用技能.

點評：尺規作圖的基本原理指向的是幾何概念的本質，是促進學生深化幾何概念以及原理理解的重要學習資源.學生能充分利用所學的知識獲得作圖的方法，并根據作圖所用的幾何性質進行正向的幾何推理，證明所作圖形的正確性，體現了幾何作圖邏輯的嚴密性.

1.3中考演練，感悟原理

例1如圖9，在 RtΔABC 中，利用無刻度直尺和圓規，以 AB 邊上一點 O 為圓心作 ?O ，使 ?O 經過點B ，且與 AC 相切.

師：例1改編自第一次中考模擬題，請同學們回憶一檢時這道題的完成情況，以及是如何想到圓心 o 是∠ABC 平分線與 AC 邊交點的.

圖9

生：作圖思路從結論倒推，通過畫草圖分析幾何原理，發現此作圖可用幾何推理來驗證，故確定圓心O 為角平分線與 AC 邊的交點.

師生共同歸納、總結，研究此類問題的一般路徑，如圖10所示：

點評：執果索因探索作圖原理，培養探索性思維和直觀想象、邏輯推理能力.尺規作圖的操作不但發展了學生的空間觀念和空間想象力，同時強化了學生的幾何推理能力，在多種尺規作圖、多種幾何推理的路徑中發展學生的數學素養，在深度學習的過程中提升學生的數學分析能力.通過歸納梳理，學生的知識結構更加明晰.

圖11

師：以 AB 邊上一點 o 為圓心作 ?O ，使 ?O 經過點 B ，且與 AC 相切.你能運用所學的方法解決本題嗎？

學生獨立思考，再小組合作，探索分析.

小組推選學生展示：

生：畫出草圖，如圖11，假設圓心 o 所在的位置并畫出 ?O ，根據題目要求可知 ?O 與 AC 相切，所以半徑 OD 與 AC 垂直，得出OD 與 BC 平行，進而得 ∠ODB= ∠DBC ，再由同圓半徑相等得OB=OD ，所以 ∠ODB=∠OBD ，所以 ∠OBD=∠DBC .于是作出判斷需要作 ∠ABC 的平分線.

師：同學們對圓的切線性質、同圓半徑相等、角平分線的性質等分析得非常好！根據你們作出的判斷如何落實到尺規作圖呢？

生：判斷是角的平分線，尺規作圖作出 ∠ABC 的平分線交 ∣AC∣ 于點 D ，由于 ?σ 與 AC 相切，因此半徑 OD⊥AC ；如圖12，過點 D 作 AC 的垂線交 _AB 于點 O ，即為所求作的點 O

圖12

師：還有其他的方法確定點O 嗎？

生：從 OB=OD 還可以判斷點 O 在BD的垂直平分線上，作圖方法如圖13.

師：同學們的所想所作非常好！在限定的條件下，想象并畫出草圖，依據幾何推理，獲得要作“標記點\"的性質，轉化為基本尺規作圖.老師發現還有一位同學的作法非常特別，請展示一下.

學生展示作法，如圖14.

圖13

師：請同學們觀察這位同學所作的尺規作圖，通過保留的作圖痕跡，你能推理出所用的數學知識嗎？判斷此作法是否正確.

學生觀察并思考，很多學生思考后不得其解.

圖14

師：請作圖的同學做出 解釋.

生：我是從 ?O 與 AC 相切得半徑 OD⊥AC ，又根據同圓半徑相等得 OB=OD ，聯想到角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以想到補成這樣一個圖形.

師：這位同學將逆向思維又提到了一個新的高度，補充圖形讓圖形放大，把知識的遷移有效地運用到幾何作圖中.

點評：尺規作圖是幾何證明的另一種呈現方式，其根本的目的是發展學生的推理能力，是對幾何證明的拓展與延伸，其中作圖思路的分析與形成是尺規作圖教學的關鍵.幾位學生的思路從幾何知識的各方面出發，有聯想、猜測，再根據幾何性質進行逆向幾何推理，獲得要作“標記點”的性質，轉化為基本尺規作圖.教學過程中老師適時引導學生作出準確圖形，及時追問、指導學生依據作圖所用的幾何性質，進行正向幾何推理，證明所作圖形的正確性.解決此類題的過程促進了學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力等核心素養的形成.

1.4深度探究，拓展思維

尺規作圖表面上是一種操作活動，實質上是基于特定前提進行推理的內部認知活動.尺規作圖教學不能只將目光聚焦于作圖的結果，即是否能夠正確作出相應的圖形，還要重視分析作圖的過程，挖掘作圖活動背后隱藏的數學思想方法，由此引導學生從作圖活動中感悟數學原理、思想、方法，使尺規作圖真正成為發展核心素養的載體.

例2在 RtΔABC 中，利用無刻度直尺和圓規，確定 AB 邊的三等分點，你有幾種方法？請嘗試畫出圖形.

師：同學們想一想，學過的知識中涉及等分線段的知識有哪些？

生：平行線分線段成比例定理；三角形的重心是中線的三等分點.

師：二等分是常見的等分線段，三等分線段如何借助于特殊角 30^° 呢？在含有 30^° 角的直角三角形中能否出現與三倍相關的知識呢？

生：在直角三角形中 30^° 角所對的直角邊等于斜邊的一半，另一直角邊與 30^° 角所對的直角邊具有√3倍的關系.

師：同學們分小組從這幾個方向認真思考.

學生獨立思考，畫出草圖，推理演練.

小組合作，互助解決問題展示學生作圖，如圖15.

師：請作出圖15的同學 說說你的思路.

生：三等分線段不能直接作出，但是三倍線段很容易就可以作出.

圖15

師：很好！能夠化繁為簡！你是運用哪種基本尺規作圖作三倍線段的？

生：畫一條線段等于已知線段.

師：三倍線段與三等分線段存在怎樣的關系？

生：相互的關系，三倍線段當成一條線段，那么這三段線段的內端點就是整條線段的三等分點.再借助平行線分線段成比例定理就可以將已知線段進行三等分了.

師：你的思路非常棒！把平行線的性質和兩種尺規作圖相結合完成了此題，大家給他掌聲！

師：如圖16，此圖中同樣作了平行線，但是構圖和剛才那位同學的不同，這種作法所得是三等分點嗎？

學生仔細觀察、思考，同桌互相交流.

圖16

生：是三等分點，前一位同學用的是“A\"字形的平行線，這個用的是“8\"字形相似.

師：你分析得很好！那你能看出圖16中用了哪些基本的尺規作圖嗎？

生：（稍作思考）過一點作已知直線的垂線、作一條線段等于已知線段.

師：觀察細致，分析得很好！請作出圖17的同學說說你的思路.

圖17

生：這種作法的思路來源于三角形的重心是中線的三等分點，我用了作一條線段等于已知線段和線段的垂直平分線兩種尺規作圖，確定三角形的兩條中線的交點.

師：這種作法將已知線段確定為三角形的中線，也采用了“補圖\"的方法，非常棒！

點評：作已知線段的垂直平分線作為五種基本尺規作圖之一，常常是確定線段中點的方法首選，教材中沒有安排作線段的三等分點或多等分點的內容.學生在學習平行線分線段成比例定理、三角形的重心的性質等知識的過程中可以捕捉到三等分點.學習數學的正確方法是實行“再創造”，對所學知識產生深刻的記憶與理解，并提高發現和解決問題的能力.問題的拓展給學生提供了檢驗學習效果的機會，同時促進了學生的深度學習，讓所學知識能整體納入結構系統，使繁雜的知識、問題、技能實現融會貫通.

1.5收獲與存疑

通過本節課的學習你對尺規作圖有怎樣的理解？從尺規作圖你能不能聯想到研究其他幾何作圖的方法？限制工具作圖、網格線作圖也是幾何作圖，根本原理都體現了幾何推理.

1.6布置作業

完成2023年徐州市中考第26題尺規作圖.

2教學反思

2.1從分板塊教學到整體的結構化教學

新課標關于幾何作圖不僅僅是尺規作圖，還包括量角器或三角板作圖、網格線作圖等，研究這些作圖的一般路徑是相同的，最終體現的是幾何推理.結構化教學可以體現知識的整體性、思路的關聯性和方法的遷移性.在本節課中，通過尺規作圖研究的一般路徑，不僅把幾種基本的尺規作圖聯系在一起，同時通過作圖的原理將作圖中幾何推理的本質體現出來.再推廣到網格線作圖、直角三角板作圖以及其他限制工具的作圖，為學生探索其他幾何作圖提供了通法.讓學生感受到數學知識之間遷移力強，包括數學思想方法都是可以類比遷移的.

2.2從知識的傳遞到學生自主探索自然生成

從學生的最近發展區出發，依照數學知識之間的結構聯系，由圖索思，激發學生的好奇心與探索的欲望.既關注到直觀猜想，又與合情推理相結合，把抽象的數學幾何推理發展為學生的探索活動，一題多解、多解優解，讓學生充分感受到數學學習的有趣性和多樣性.兼顧知識結構化生成的教學重視了數學知識的發生、發展、提升等基本過程.

參考文獻：

[1]吳小兵.結構化視角下數學深度學習的實踐探究[J].教學與管理，2020（10）：53-55.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]石樹偉.大道至簡：再議數學教學內容的結構化組織[J]數學通報，2014，53（1）：18-21.Z