追根溯源尋本質 回歸課本探究竟

在一次考試中有下面這樣一道題.第一問學生基本都做出來了，第二問少部分學生沒有分類，只求出了一種情況，第三問幾乎沒有學生做出來.在與學生對話中了解到：沒有同學想到課本上曾經出現過的一個情境是這道題的解題關鍵.這不禁讓筆者反思是什么原因導致學生解決問題時不去聯想課本上的內容？在與同組老師溝通后，發現大部分老師平時教學不重視課本例題，不能以課本為“本”，教學細節抓得不夠，不能深挖教材，只是側重各類題型的訓練，因此造成了這一現象.于是打算針對這一道題上一節專題課，以期大家能夠重視回歸課本.

1一題一課案例展示

1.1試題呈現

發現問題：

（1）如圖 ^1，AB 為 ?O 的直徑，請在 上求作一點 P ，使 ∠ABP= 45^° （不必寫作法）

問題探究：

圖1

（2）如圖2，等腰直角三角形 ABC 中， 是_AB 上一點， ，在BC邊上是否存在點 P ，使 ∠APD= 45°？若存在，求出 BP 的長度；Bamp;若不存在，請說明理由.

圖2

問題解決：

（3）圖3為矩形足球場的示意圖，其中寬 AB=66m ，球門EF=8m ，且 EB=FA .點 P，Q 分別為 BC，AD 上的點， BP= 7m ∠BPQ=135^° ，一位左前鋒球員從點 P 處帶球，沿 PQ 方向跑動，球員在 PQ 上的何處才能使射門角度 ∠EMF ）最大？求出此時 PM 的長度.

圖3

1.2試題解析

對于第（1）問有如下兩種方法：

方法一：如圖4所示，作 _AB 的垂直平分線交 ?O 于點 P ，P^′ ，則點 P 或 P^′ 即為所求.主要依據是“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”

圖4

方法二：利用含 45^° 角的三角板，頂點與點 B 重合，一邊與 AB 重合，沿另一邊畫線即可.但要注意因為不確定點 P 是在 _AB 左側還是右側，所以有兩種情況.

教師啟問：這一問主要考查了什么知識？

學生回答：圓周角，圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半.

對于第（2）問，如圖5和圖6所示，由“一線三等角\"模型，易證 ΔBPD～ΔCAP ，根據相似三角形的 （20號性質得出比例式 ，設 BP=x ，則 CP=6-x 得 ，解得 ，所以 或 ：

圖5

圖6

教師啟問：這一問中 ∠APD 的大小是否發生了變化？為什么？是怎樣變化的？

學生回答： ∠APD 的大小發生了變化.因為點 A ，D 為定點， P 為 BC 邊上的動點，所以隨著點 P 從點B 到點 c 的運動， ∠APD 的大小發生變化，由小變大再變小，存在兩個時刻使 ∠APD=45^° ：

下面重點解決第（3）問：

教師啟問：第（3）問中的 ∠EMF 與第（2）問中的∠APD 有什么相似之處嗎？

學生回答：兩點為定點，頂點為動點.

教師啟問： ∠EMF 是如何變化的？大家可以動手畫畫圖.

學生回答：由小變大再變小.

教師啟問：是否存在某個時刻使 ∠EMF 最大？

學生回答：存在.

教師啟問：那么什么時候EMF最大呢？

學生沒有回答.

教師啟問：同學們有沒有在教材中看到過踢足球與射門有關的情境？

1.3重溫教材

北師大版教材數學九年級下冊第三章“圓\"的第4節“圓周角和圓心角的關系”中，有情境引入環節：在射門游戲中（如圖7），球員射中球門的難易程度與他所處的位置 B 對球門 AC 的張角 ∠ABC） 有關.當球員在 B，D，E 處射門時，他所處的位置對球門 AC 分別形成三個張角 ∠ABC . ∠ADC . ∠AEC .這三個角的大小有什么關系？

圖7

教材這一環節的設計意圖是引入圓周角定義，讓學生初步直觀感知同弧所對的圓周角相等.如果教學時僅僅停留在這一層面，那么上述試題學生做不出來也就很正常了.如果在探究完新知識后，多問一下“球員射中球門的難易程度與他所處的位置 B 對球門 AC 的張角（ ∠ABC ）有什么關系？\"這樣深人挖掘課本題材，那么可能有的學生就會把上述試題和踢球問題聯系起來，從而解決問題.根據經驗，張角越大越容易射人球門.

接下來，筆者讓學生與教材在該節課后“問題解決\"的第4題聯系起來，加深學生對圓周角的認識.

課后“問題解決\"第4題：船在航行過程中，船長常常通過測定角度來解決是否會遇到暗礁.如圖8，A，B 表示燈塔，暗礁分布在經過A，B 兩點的一個圓形區域內，優弧 _AB 上任一點 c 都是有觸礁危險的臨界點， ∠ACB 就是“危險角”當船 P 位于安全區域時，它與兩個燈塔的夾角∠α 與“危險角”有怎樣的大小關系？

圖8

解析：如圖9，設 AP 交 ?O 于點 D ，連接 BD ，根據三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角，得 ∠ADBgt;∠APB .再根據同弧所對的圓周角相等，得 ∠ADB= ∠ACB .可知，當船 P 位于安全區域時， ∠α 小于“危險角”得出同弧所對圓周角大于圓外角．

圖9

1.4解決問題

在充分做好這些鋪墊后，再來看上述試題的第（3）問與圓周角的聯系.在左前鋒球員從點 P 處沿 PQ 方向帶球跑動時， ∠EMF 是由小變大再變小變化的.點 E，M，F 是不在同一直線上的三個點，根據“不在同一直線上的三個點確定一個圓”，過點 E，F，M 作?O ∠EMF 就是弧 EF 所對的圓周角，要使 ∠EMF 最大，只要 ?O 與 PQ 相切于點 M ，由“圓內角大于圓周角，圓周角大于圓外角”，可知此時 ∠EMF 最大，如圖10.

圖10

圖11

分析：在點 M 由點 P 向點 Q 運動的過程中， ?O 與 PQ 的位置關系由相交到相切再到相交（此過程通過幾何畫板動態演示，也可以讓學生畫出點 M 在幾個不同位置時的圖形，就可以發現 ?O 與 PQ 的位置關系）.在相交的過程中，如圖11，此時在圓內線段 M^′ G 上存在點 M ，使得 ∠EMFgt;∠EM^′F ，只有當 ?O 與 PQ 相切時， ∠EMF=∠EM^′F ，此時 ∠EMF 最大.

下面給出第（3）問的解析：

如圖10，由 AB=66 . EF=8 ， EB=FA ，可得EB=29.

延長 AB，QP 交于點 N .由 ∠BPQ=135^° ，得 ∠BPN=45^°

由 BN=BP=7 ，得 易求得NE=36，NF=44

由 ∠N=∠N，∠NME=∠NFM ，得 ΔNEMΔ ΔNMF ，所以 A

所以 NM²=NE?NF ，則 所以

答：當球員在 PQ 上距離點 P 為 時，才能使射門角度最大，此時 PM 的長度為（12

2課后反思

針對學生不能把與教材高度相關的問題和教材緊密聯系起來，反思平時的教學，究其原因在于大多數教師沒有脫離傳統的講解式教學模式，教學時只是對教材內容進行一一講解，配合題海戰術，急于求成地使學生掌握數學知識，不能深挖教材，引領學生深度學習.這種教學模式只是一個單向傳遞知識的過程，教師講授，學生被動接受.這樣不僅不能調動學生的主動學習意愿，更不能培養學生深度學習的能力.如此下去，無論是老師還是學生，認知深度都不會提高，知識結構也無法建構.

通過調查學生這道題的思維難點，發現學生思維水平處于較低層次，主要體現在知識碎片化、認知膚淺、缺乏質疑精神，這些都不利于學生形成系統知識網絡，更不利于思維發展.

為了改變這種狀況，教師應該從單一傳授走向多維啟發，從單一的知識傳授者轉變為學習的促進者和引導者，通過多維度的教學策略啟發學生思維，激發學習興趣，培養問題解決能力.

3教學啟示

3.1挖掘教材，發揮教材的內在潛能

教材有著豐富的資源，教材編寫者賦予了其深厚的內涵.引導學生有目的、有意識地研究教材，不僅可以加強對本節課知識點的理解與鞏固，還可以讓學生運用發散思維進行思考，增強知識間的綜合聯系[1].另外，歷年來的中考試題都有來源于課本的試題，有的是直接引用、有的是加工改造，還有的是拓展延伸.因此，在教學中要深人挖掘課本例習題及“數學活動\"的潛在價值，通過變式訓練，不斷激勵學生去思考問題，開闊視野，建構更加合理的知識網絡.我們在教學中要善于“借題發揮”，擺脫“題海戰術”，讓學生既樂學，又學得扎實、高效.

3.2深度學習，激發學生的學習潛能

教學應該以學生的認知發展程度和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教.學生深度學習能力的培養有賴于教師的有效引導，教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探究、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗.在新課程改革背景下，學生根據教師設置的例題或學習主題進行深入探究、分析，以此掌握學科知識要點，并能利用所學知識或已有的知識經驗解答實際問題，突破對知識概念的表層理解.在此基礎上，幫助學生建立深度學習思維，提升學生的學習效果.

3.3一題一課，挖掘專題的引領價值

“一題一課\"指的是教師根據一個綜合性的問題進行分解和重組，追根溯源找到課本中相關聯的知識點，鏈接知識點成網絡[2].在深化教育改革的今天，數學知識、思想、方法、觀念都是在解決問題的過程中發展起來的.教師應該及時發現學生的困惑，尤其是重點、難點問題，要善于尋找典例，巧用變式與拓展，利用多種教學形式挖掘其價值，達到對學生思維的訓練，教學時在緊扣教材的同時，合理設計“一題一課\"變式訓練，讓學生更加深刻地理解所學知識，從而促進和增強學生思維的深刻性與延展性，充分培養學生思維的應變能力、想象力及創造力.

3.4精心設計，讓核心素養落地生根

打破傳統的講授式教學模式，構建一個以學生為中心的學習體系.教師需要設計富有意義和價值的問題情境，引導學生主動探索，而非僅僅提供標準答案.瑞士教育學家裴斯泰洛齊認為[3：“教學的首要任務應該是發展學生的思維，而不是知識的積累.”在教學設計中優化探究活動，啟發學生思考，關注核心素養的培養.讓學生經歷猜想、探究、質疑、驗證的過程，對知識進行整合，以實現掌握知識、關注本質、理解原理、形成能力、發展素養的目標，促使學生構建知識網絡，提高數學建模能力，從而實現從知識到技能、從基本思想到基本活動經驗的提升，全面提升學生數學核心素養.

總之，以學生的學習和思維發展為中心，教師必須吃透課本，挖掘教材，精心設計“追根溯源尋本質”的深度學習任務，要認識到數學深度學習是讓學生在學習過程中不斷探究知識與知識間的關聯、尋求方法與方法間的遷移與變化、追求數學規律的本質與內涵，最終形成用數學的思維思考現實世界的素養.

參考文獻：

[1]黃瑞貞.深挖課本教材提高學習效率——淺談初中數學教材中例習題及數學活動的合理拓展[J.時代教育，2015（24）：210-211.

[2]范生娜.基于深度學習視域下“一題一課”的單元復習教學模式探究——以人教版初中數學九年級上冊“圓”的復習教學為例J.數理化解題研究，2024（2）：5-7.

[3周青松.促進深度學習的初中數學教學設計與思考以“二次函數”教學設計為例[J].初中數學教與學，2023（24）：16-19.Z