根的判別式的應用

一元二次方程 ax²+bx+c=0 的求根公式是 x= -b±√b2-4ac（b2-4ac≥0，a≠0），由此不難發現，決定一元二次方程有無實數根的重要因素是 b²- 4ac ，只有當 b²-4ac?0 時一元二次方程才有實數根，否則沒有實數根[1，為了方便研究問題，我們把 b²- 4ac 叫做一元二次方程根的判別式，用希臘字母“ ”表示.一元二次方程根的判別式具有廣泛的應用，如判定方程根的情況、確定參數的值或范圍、判定兩個函數圖象的交點情況[2.以下筆者結合實例作一分析探討！

1不解方程判定方程根的情況

案例1定義新運算“ ”：對于任意實數 a_λ，b ，都有 a*b=（a+b）（a-b）-1 ，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，如 4×3=（4+3）（4-3）- 1=7-1=6 .若 x*k=x（k 為實數）是關于 x 的方程，則它的根的情況為（ ）.

A.有一個實數根

B.有兩個相等的實數根

C.有兩個不相等的實數根

D.沒有實數根

分析：根據新運算 ，首先把“ x?k=x ”轉化普通的加法、減法、乘法運算，即（x+k）（x-k）-1=x ，整理得 x²-x-k²-1=0 ，這里二次項系數 a=1 ，一次項系數 b=-1 ，常數項 c= -k²-1 ，由根的判別式“ b²-4ac ”，得 Δ=（-1）²- 4（-k²-1）=4k²+5. 由 k²?0 ，可知 4k²+5gt;0 ，所以方程有兩個不相等的實數根.故選：C.

案例2關于 x 的方程 ax²+（1-a）x-1=0 ，下列結論正確的是（ ）.

A.當 a=0 時，方程無實數根B.當 a=-1 時，方程只有一個實數根C.當 a=1 時，方程有兩個不相等的實數根D.當 a≠0 時，方程有兩個相等的實數根

分析：題中的已知條件是“關于 x 的方程”，而不是“關于 x 的一元二次方程”，所以此方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，也就是說，這里的二次項系數可以為0.被選項給出了四種情況下方程根的情況，我們分別討論一下.當 a=0 時，原方程可化為 x-1=0 ，那么 x=1 ，顯然方程只有一個實數根，故A選項說法錯誤；當 a=-1 時，原方程可化為 -x²+ 2x-1=0，Δ=b²-4ac=4-4=0 ，所以方程有兩個相等的實數根，故B選項的說法錯誤；當 a=1 時，原方程可化為 x²-1=0 ，解得 x₁=1，x₂=-1 ，所以方程有兩個不相等的實數根，故C選項說法正確；當 a≠0 時，原方程是一元二次方程，因為 Δ=（1-a）²+4a= （1+a）²?0 ，所以原方程有兩個相等的實數根或兩個不相等的實數根，故D選項的說法錯誤.綜上，應選：C.

點評：對于一元二次方程根的情況，可以通過計算根的判別式來確定，當根的判別式大于0、等于0或小于0時，一元二次方程分別有兩個不等實根、兩個相等實根或沒有實數根.當根的判別式中含有字母時，要把根的判別式化為含有完全平方式的形式，以便于確定它的正負號.

2根據判別式確定參數的值或范圍

案例3關于 x 的一元二次方程 x²+（2m+1）x+ m²-1=0 有兩個實數根.

（1）求 Σ_m 的取值范圍；

（2）寫出一個 Σ_m 的值，使得該方程有兩個不相等的實數根，并求此時方程的根.

分析：（1）關于 x 的一元二次方程有兩個實數根，包括了兩種情況，即有兩個相等的實數根與有兩個不相等的實數根，所以根的判別式 b²-4ac?0. 因為二次項系數為1，一次項系數為 2m+1 ，常數項為 m²-1 ，所以 b²-4ac=（2m+1）²-4（m²-1）=4m+5≥0. 解不等式，得 所以 Ψ_m 的取值范圍是 ： ：

（2）因為只有根的判別式大于0時，方程才有兩個不相等的實數根，所以由（1）知， 時，方程有兩個不相等的實數根.取 m=1 時，方程為 x²+ 3x=0 ，解得 x₁=-3，x₂=0 ，即當 m=1 時，方程的解是 x₁=-3，x₂=0

案例4已知關于 x 的方程 （m+1）x²+2mx+m-3=0

（1）當 Σ_m 取何值時，方程有兩個不相等的實數根？

（2）給 Σ_m 選取一個合適的整數，使方程有兩個有理根，并求出這兩個根.

分析：（1）方程有兩個不相等的實數根，一是原方程是一元二次方程，也就是二次項系數不為0，即 m+ 1≠0 ，亦即 m≠-1 ；二是 Δ=b²-4ac≥0 ，即 （2m）²-4×（m+1）（m-3）=8m+12gt;0 ，解不等式，得 .綜合可得 且 m≠-1 時，方程有= ￥兩個不相等的實數根.

（2）根據一元二次方程 ax²+bx+c=0 的求根公式可知，當 Δ=b²-4ac 是完全平方數時，方程有兩個有理根，因為 Δ=8m+12 ，所以當 m=3 時， 8m+12= 36，方程有兩個有理根，原方程可化為 4x²+6x=0 .整理為 2x（2x+3）=0 ，所以 2x=0 或 2x+3=0 ，解 ·

點評：根據一元二次方程有兩個不等實根，或沒有實數根，利用根的判別式大于0，或小于0，建立不等式，解不等式可求得參數的取值范圍；根據一元二次方程有兩個相等的實數根，利用根的判別式等于0，可以建立方程，解方程可求得參數的取值范圍.當一元二次方程的二次項系數含有參數時，要注意考慮二次項系數不為0的情況.

3判定兩個函數圖象的交點情況

案例5 已知二次函數 y=kx²-（k+1）x+ 1（k≠0） B：

（1）求證：無論 k 取任何實數時，該函數圖象與 x 軸總有交點；

（2）如果該函數的圖象與 x 軸交點的橫坐標均為整數，且 k 為整數，求 k 值.

分析： （1）_X 軸可以看作直線 y=0 ，求兩個函數圖象的交點坐標時，通常解方程組即可，所以可以建立方程組{y=kx2-（k+1）x+1， 由此得一元二次方程kx²-（k+1）x+1=0（k≠0） .由根的判別式，得 （k+1）²-4k=（k-1）²?0 ，所以一元二次方程有實數根，所以方程組有實數解，也就是說二次函數圖象與 Ψ_x 軸點有交點.（2）由（1）知，兩個函數圖象的交點情況關鍵看一元二次方程 kx²-（k+1）x+1=0 解的情況，所以解方程得 ，根據兩函數交點坐標均為整數，且 k 為整數，可知 k=±1

案例6在同一平面直角坐標系中，若一個反比例函數的圖象與一次函數 y=-2x+6 的圖象無公共點，則這個反比例函數的表達式是

圖1

解析：如圖1所示，一次函數 y=-2x+6 的圖象經過第一、二、四象限，而反比例函數的圖象只有兩種情況，一是在第一、三象限，二是在第二、四象限，因為反比例函數的圖象無限趨近坐標軸，所以當反比例函數圖象在第二、四象限時，兩個函數圖象一定有交點，所以排除反比例函數 中 klt;0 的情況.但在反比例函數 kgt;0 的范圍內，也不可以隨意選擇，如何準確選擇反比例系數 k ，使這兩個函數圖象沒有交點呢？需應用根的判別式.根據求函數圖象交點的通常作法， （y=-2x+6，先建立方程組，得 由此得一元二次方程-2x²+6x-k=0. ，因為兩個函數圖象無交點，也就是說這里的一元二次方程無實數根，所以 Δ=6²-8klt; 0，解得kgt;. k 以與直線 y=-2x+6 無交點，如取 k=5 或6等.所 卡 以這個反比例函數表達式可為 或 等.

點評：二次函數圖象與 x 軸的交點情況，二次函數圖象與一次函數圖象的交點情況，反比例函數圖象與一次函數圖象的交點情況，都可以通過先建立方程組，然后化為一元二次方程，根據一元二次方程根的情況，決定兩個函數圖象的交點情況.一元二次方程有兩個不等實根、有兩個相等實數、沒有實數根，分別對應兩個函數圖象有兩個交點、一個交點與無交點.

綜上，利用根的判別式可以判定方程根的情況、確定參數的值或范圍、判定兩個函數圖象的交點情況，它體現了數學中的轉化思想，有利于培養學生的邏輯推理能力、數形結合能力等[3].

參考文獻：

[1]許樺.談判別式的應用[J].中學生數學，2023（9）：2-4.

[2]楊光杰，陳國玉.巧用根的判別式解圖象的公共點問題[J].數理化學習（初中版），2023（2）：24-26.

[3]蔡文漢.再探“根的判別式”的應用[J.初中數學教與學，2022（14）：48-49.Z