有理數運算的技巧分析

在初中數學教學中，有理數的運算不僅是基礎性內容，更是后續代數學習的重要支撐.然而，學生在有理數四則運算中常常出現計算失誤、思維混亂等問題，歸根結底是缺乏對運算規律與技巧的深入理解和靈活運用.為提升學生的計算準確率與思維效率，教師需引導學生掌握并運用典型的運算技巧，如“倒數法”在除法轉化中的應用、“歸類與組合法”在復雜加減中的優化處理、“錯位相減法”在數列型結構中的簡化作用，以及“裂項相消法\"在分式求和中的巧妙設計.本文聚焦上述四類典型方法，結合教學實踐與典型例題，探討其應用過程與教學價值，旨在為有理數教學提供思路借鑒，推動學生數感與運算能力的雙向提升[1].

1倒數法

倒數法，顧名思義，指先取運算對象的倒數（可能是整個算式，也可能是算式的一部分），而后運用有理數的運算法則進行加減、乘除或乘方運算，求得結果后再取倒數，便可得到原運算對象的結果.運用倒數法進行有理數運算時，應先觀察算式的特點，一般被除數和除數之間存在倍數關系時，可以使用倒數法.倒數法在計算與分數相關的運算時效果顯著，應在解題中增強應用意識，根據解題需要正確應用.

例1認真閱讀以下算式的計算過程.

對原算式取倒數，可得

5+12=-10.

故原式的值為 0

基于對上述計算過程的理解，計算：

分析：運用倒數法可將復雜除法轉化為簡便的乘法運算，顯著降低通分、計算符號錯誤的風險.關鍵在于準確取倒數、理解乘法分配律的應用，并在最終步驟中及時“再取倒數”，提升整體計算效率與準確性.

點評：該題難度不大，主要考查有理數的四則混合運算.采用常規的運算思路，需要先對括號中的算式進行通分做加減運算，而后做乘除運算，雖然最終能夠求得結果，但是計算比較復雜，稍有不慎容易出錯.而運用倒數法，將有理數的除法轉化為乘法，借助乘法分配律，最后做加減運算便可得出結果，需要注意的是運算后，再次取倒數才是原算式的值.

2歸類與組合法

為提高初中數學有理數運算效率，應根據習題情境采取不同的運算策略.對于采用常規思路不易計算出結果的習題，應擺脫定式思維的影響，先觀察、分析習題與常規習題的不同，把握習題的特點，以迅速找到突破口.對于部分習題，看似無規律可循，實則隱含著一定的技巧，如通過分析算式各個部分之間的和、差、積、商為定值，對相關部分進行歸類和組合，可以規避煩瑣的計算[2].

例2定義 x+1（x≠-1），求f（2 025）+ 的值.

分析：能識別算式中項的對稱性或規律性，如自變量互為倒數的函數值之和為定值，這一步是關鍵，然后局部歸組最后整體匯總，通過歸類與組合法將無序的項變為結構清晰的“組”，實現運算量優化.

說明：例2至例4的具體解析略，可掃碼查看.

點評：該題情境新穎，考查有理數的運算知識.解題時應注意把握幾個關鍵點.其一，正確理解所給的函數表達式，能夠運用函數表達式求出對應 x 的函數值.其二，觀察要求的算式特點，將對應的 x 代入到函數表達式中，歸納出 x 互為倒數的兩個函數值的和為1.其三，確定要求的算式可以分為單項 f（1） 和另外2024組，每組的和為1.

3錯位相減法

錯位相減法是一種重要的求和方法，對于有理數的運算，采用錯位相減法，可以順利求出復雜算式的值[.一般情況下，使用錯位相減法解決有理數的運算問題，習題的題干會給出提示，要求基于提示解決一些新的問題，對理解以及靈活遷移所學的能力具有一定的要求.運用錯位相減法解決有理數運算問題，應注意把握細節，明確哪些項在運算中被消去，哪些項被保留.

例3為了求 1+7+7²+…+7²⁰²³ 的值，則可令 S=1+7+7²+…+7²⁰²³ ，則 7S=7+7²+7³+ …+7²⁰²³+7²⁰²⁴ ，因此， 7S-S=7²⁰²⁴-1 ，則 S= （204號，這種方法稱為“錯位相減法”參考上述推理過程，則 1×2¹+2×2²+3×2³+…+9×2⁹ 的值為（ ）.

A.2¹³ （20 C.2¹³+4

分析：解這類題的關鍵是認真讀題，分析題干中所給例子的解題過程，透過現象看本質，參考題干中給的提示，理解錯位相減法的計算過程.錯位相減法是利用結構中“前項一后項”的遞推形式，實現大規模項的對消簡化.重點在于理解“構造新式—對位相減—剩余求和”的步驟，避免遺漏項，并注意運算順序與符號處理，提升復雜數列求和的處理能力.

點評：該題主要考查用錯位相減法解決有理數運算問題，難度中等，解題時應把握幾個關鍵點.其一，認真讀題，深入理解題干中所給實例的運算過程，把握錯位相減法的本質.其二，在深入理解錯位相減法的基礎上，對要求的算式進行針對性處理和變形，為使用錯位相減法奠定基礎.其三，準確把握各部分之間的對應關系，通過錯位相減求得最終的結果.需要注意的是，相減的過程中結果要正確且不能出現遺漏.

4裂項相消法

裂項相消法是進行有理數運算的又一重要方法，通常將算式中的各項按照一定的規律分為兩個部分，在進行求和運算時其中的項便可消去，以迅速求得結果.裂項相消法中常見的裂項形式為： 為常數），其中當 k=1 時，便得到 n+1·運用裂項相消法解決有理數運算問題應注意牢記、理解裂項的常見形式，能夠根據習題情境迅速做出判斷，進行正確的裂項.

例4已知 |a-1|+（ab-2）²=0 ，則關于 x 的方程 的解為（ ）.

A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024

分析：解此類題的關鍵是通過裂項達到相消的目的.裂項相消法通過拆分為可消結構，實現大量項抵消的簡化.應熟記常見裂項模型，如，把握拆分時的“分子分母結構差異”尤其是在方程中配合提公因式使用，能有效降低分式計算難度，提升解題精準度.

點評：該題考查的知識點多，主要有絕對值、完全平方式、裂項相消法、一元一次方程等，且技巧性強，具有一定的難度.解答該題時需要順利解決以下問題.其一，能夠從 ∣a-1∣+（ab-2）²=0 中挖掘出隱含條件，得出 ∣a-1∣=0，（ab-2）²=0 ，求出 a，b 的值；其二，提取公因式后，能夠觀察到分數的特點進行裂項；其三，裂項相消時，明白還剩下哪幾項.

綜上所述，有理數運算作為初中數學學習的重要基石，不僅關系到學生對數的本質和運算規律的理解，更直接影響到其后續代數與函數等板塊的學習效率與準確性.本文聚焦于倒數法、歸類與組合法、錯位相減法和裂項相消法四類典型運算技巧，結合具體試題分析了其在解題過程中的應用價值與策略引導.在教學中，教師應引導學生跳出機械運算的定式思維，學會從結構上審視算式特征，發現運算中的對稱性、消去性與轉換性，從而靈活選擇最優的計算路徑.例如，倒數法可顯著簡化帶分式的除法運算，降低通分出錯的風險；歸類與組合法能在復雜加減結構中快速提取等值組合，提升整體效率；錯位相減法則適用于特定遞推型結構，能夠實現信息的批量抵消；而裂項相消法則以其高度技巧性在處理分式求和或函數型題目中展現出簡捷高效的特征.這些技巧不僅提升了學生的解題速度與準確性，也促進了數學思維的生成與遷移.因此，在日常教學中應強化這些方法的歸納訓練，鼓勵學生在實踐中反復應用、總結與反思，從而實現從“會算\"到“巧算”，從“機械操作\"到“思維驅動”的轉變.唯有如此，才能真正實現以運算促理解、以技巧促思維的教學目標，提升學生的整體數學素養.

參考文獻：

[1]秦天.進行有理數混合運算的八個技巧[J].語數外學習（初中版），2025（2）：28-30.

[2]吳欣，吳健.有理數的運算技巧15法[J].數理化學習（初中版），2019（9）：25-27.

[3]宋揚.有理數的運算技巧和方法[J].數學大世界（下旬），2019（5）：6-7.Z