數形結合在探究型問題中的應用

這里的數形結合是指數形結合思想.人們運用數學知識研究現實生活和客觀事物間的數量關系或空間形式時，大多要從事物的“數”與“形”兩個方面入手，從現實生活或客觀存在的事物中抽象出數學問題，于是就產生了“數”與“形\"結伴共生的探究性數學問題.有時遇到的數學問題缺少“數”或“形”的條件，為了使問題得到解決，往往還要想方設法“補”出來.人們在解決探究型問題時，常常借助“數”來刻畫數量關系或變化規律，借助“形\"來表示或描述事物間存在的位置關系、空間形式及狀態.把“數”與“形\"有機結合是人們解決探究型問題的需要，充分挖掘這兩個方面存在的某種聯系，是探究類問題解決的前提和著眼點，把“數\"與“形\"有機結合起來才能正確分析數量關系，周密制定解題計劃、科學建立數學模型，得出探究問題科學的結論及變化規律，所以說數形結合思想是解決探究型問題時常用的一種重要的思想方法.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱數學新課標）明確指出，義務教育階段，通過數學課程教育要使學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本生活經驗.數形結合思想是基本的思想方法之一，是新課標強調需要獲得的重要知識、技能之一.

我國著名數學家華羅庚先生曾經運用一首小詩，饒有風趣地分析數形結合思想方法的重要意義，其詩云：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔絕分家萬事休.\"其分析可謂入木三分，因此我們在探究型問題的解決中務必要重視數形結合這一思想方法.本文中擬從以下幾個方面與大家分享筆者在利用數形結合思想解決探究型問題時的一些嘗試和體驗.

1數形結合分層探究、找規律

例1在如圖1所示的圖案中，找出圖案的變化規律，可得第2026個圖案中灰色長方形的數量是（ ）.

圖1

A.3 022個 B.3039個 C.3046個 D.3057個

解析：從已知圖案可見，每個圖案都由長方形分為上下兩層組成；每一個圖案的下層都由灰色長方形組成，并且它含有的灰色長方形的個數都與它所在圖案的序號相同；每個圖案的上層由灰色和白色相間的長方形組成，第1個圖案上層中，灰色長方形的個數為 ，第2個圖案上層中，灰色長方形的個數為 ，第3個圖案上層中，灰色長方形的個數為 2，第4個圖案上層中，灰色長方形的個數為 ，第5個圖案上層中，灰色長方形的個數為 個；可以發現，圖案序號是奇數的圖案，上層中有灰色長方形序號+1個個，圖案序號是偶數的圖案，上層有灰色長方2形 個.

于是，第 n（n） 是奇數）個圖案，上層中灰色長方形的個數是+1. ；第 n（n） 是偶數）個圖案，上層中灰色長方形的個數是 1

所以，當 n 是奇數時，第 n 個圖案，灰色長方形的個數是 ；當 n 是偶數時，第 n 個圖案，灰色長方形的個數是

因為2026是偶數，所以第2026個圖案中共有灰色長方形2026 個）.故選：B.

方法點撥：在數形結合思想指導下解決“分層探究、找規律\"類探究型問題，關鍵在于通過圖形的直觀特征與數的變化相結合，揭示題設中的數量規律與結構特征.在上述例題中，圖案由上、下兩層構成，借助圖形直觀觀察可迅速識別出下層灰色長方形隨序號線性增長的規律，進而引人“數”的抽象分析；而上層灰色長方形的數量則依據奇偶分類而變化，需結合分類討論和代數表達來刻畫其數量變化規律.此類問題往往涉及多個變化要素，“數”揭示數量關系，“形”提供結構支撐，二者的融合幫助學生從整體上把握變化邏輯，有效建立數學模型并準確運算.因而，在解此類題型時，應突出三個關鍵步驟：一是由圖識形、厘清結構；二是以數表量、發現規律；三是融合表達、歸納結論.在思維方法上，需綜合運用數形結合、分類討論與類比推理，方能實現對復雜問題的簡明求解與本質把握[1].

2數形結合配方探究、判斷形狀

例2如果△DEF的邊長 d，e，f ，滿足 d²+e+ ，試判斷 ΔDEF 的 形狀.

解析：因為 ΔDEF 的邊長 d，e，f ，滿足 d²+e+

，所以 （d²-8d+

，即

，則 所以 d-4=0 ， 解得 d=4，e=4，f=4 ，所以 d=e=f 所以 ΔDEF 是等邊三角形.

方法點撥：上述例題通過構造一個含有絕對值和根式的復雜等式，借助配方法和非負數性質，將整體表達式轉化為三個非負量之和為零的形式，從而推出每一項均為零，進而精確求出三角形三邊相等，判斷出其為等邊三角形.這一過程體現了三點.（1）數的計算和等式恒成立是探究的基礎，尤其是代數恒等變形中的配方思想，是實現信息壓縮和結構解析的重要手段；（2）形的判斷依賴于邊長之間的數量關系，數的精確計算為形的確定提供了充要條件；（3）“數”與“形”的結合使問題從抽象推理走向具體判斷，顯著提升了解題效率與邏輯嚴密性.因此，該類問題的解法策略應聚焦代數式的結構分解、邏輯判斷與幾何意義的回歸，形成“數助形明，形引數思\"的閉環分析路徑[2].

3數形結合構造三角形、求正切值

例3為探究tan 22.5^° 的值，小明構造了 RtΔBAD ，如圖2，使 ∠D=90^° ∠BAD= 45^° ，延長 DA 到點 c ，使 AC= AB ，連接 BC ，可得到 ∠C=

圖2

22.5^° 設 BD=1 ，則 ，所以 ，于是 ，請仿照這種方法，試推算tan 15^° 的值.

解析：仿照例題，構造RtΔBAD ，如圖3，使 ∠D= 90^° ，∠BAD=30^° ，延長 DA 到點 c ，使 AC=AB ，連接

圖3

BC ，可得到 ∠C=15^° .設 BD=1 ，則 AC=2 ，所以 ，所以tan ，所以tan 15^° 的值為

方法點撥：在數形結合構造三角形、求正切值類問題中，核心方法在于通過幾何構造實現角度的轉化，再借助代數運算求解三角函數值，實現“形\"引“數\"的精妙結合.上述例題中通過構造一個直角三角形并延長邊構成等腰三角形，使特殊角 22.5^° 或 15^° 得以明確生成，再通過設邊長、列出邊間關系，將問題轉化為“數\"的比值計算.這種方法不僅發揮了數形結合的直觀優勢，還融合了“構造 + 類比\"的思想策略，是解決特殊角三角函數值的有效路徑.因此，解此類問題時應堅持如下三步.一是根據目標角度合理構造幾何圖形，創造計算條件；二是巧設邊長，利用幾何性質推導出關鍵長度；三是運用代數方法簡潔求解三角函數值.該類問題體現了圖形構建與數值計算的有機統一，是深化學生函數本質理解和探究能力的重要方式.

綜上所述，在推導規律求個數、結合配方作判斷及模仿舉例構造含特殊角的直角三角形求正切值中，都彰顯了“數形結合思想”的強大作用，真心期盼從事數學教育的教師和教研員切實學好、用好此種思想方法，使它成為我們解決探究型問題的好幫手.

參考文獻：

[1]何繼斌.走進重高培優講義·數學A版[M].上海：華東師范大學出版社，2016.

[2]波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2002.Z