分式方程在多彩生活問題中的應用

分式方程的實際應用問題是各地中考的一個重要考點，常見的實際熱點考查方向有：工程問題、行程問題、銷售問題、和差倍分問題等.對于這些實際問題的求解，需要在掌握分式方程基礎知識的前提下，根據題意恰當設出未知數，建立有關含有未知量的分式等量關系，然后進行求解，注意檢驗結果與實際問題的合理性.下面就生活實際中常見的幾類有關分式方程的應用題進行歸納剖析，拋磚引玉.

1工程問題

在利用分式方程求解工程問題時，要注意依據題意，設出變量，結合公式“工作量等于工作效率乘工作時間”，建立有關的方程，找到相等關系.對于工作總量不是具體數量的題型，為了簡化運算，常將工作總量看作單位“1”，然后根據具體問題選擇合適的數學模型進行求解.

例1甲、乙、丙三名工人共同承擔裝搭一批零件.已知甲、乙、丙、丁四人聊天時的對話信息如下：

甲說：我單獨完成任務所需時間比乙單獨完成任務所需時間多 5h

乙說：我3小時完成的工作量與甲4小時完成的工作量相等；

丙說：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的

丁說：我沒參加此項工作，但我可以計算你們的工作效率.知道工程問題三者關系是：工作效率 x 工作時間 =± 作總量.

如果每小時只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務，共需多少小時？

解析：設甲單獨完成任務需要 xh ，則乙單獨完成任務需要 （x-5） h.由題意得 x-5，解得x=20.經檢驗， x=20 是原分式方程的根，且符合題意.

因為丙的工作效率是乙的工作效率的 ，所以丙的工作效率是 0

所以一輪的工作量為 因此，6輪后剩余的工作量為 10' ，所以第7輪甲工作 ¹h 后，乙需要完成的工作量為 （204號 所以乙還需要工作 19 ，所以共需

點評：本題考查分式方程的應用.求解的核心是厘清工作效率、工作量和工作時間之間的關系，然后列分式方程進行求解.

2行程問題

在利用分式方程求解行程問題時，通常需要設定一個或多個未知數，然后依據已知信息建立三個基本量一一路程、速度、時間之間的等式關系，列出有關分式方程，使用代數方法求出未知數值，然后檢驗是否符合實際意義.

例2（2024·河北石家莊初三期中）一輛客車從A城市開往距離 180km 的B城市，其中第一小時內客車在高速路上勻速行駛，一小時后以原來速度的1.5倍繼續勻速行駛，因為速度提升，所以客車提前40min 到達B城市.

（1）求汽車實際走完全程所花的時間，

（2）若汽車按原路返回，司機準備一半路程以αkm/h的速度行駛，另一半路程以 bkm/h 的速度行駛 ?-a≠b ，則用時 l₁ 小時；若用一半時間以 akm/h 的速度行駛，另一半時間以 bkm/h 的速度行駛，則用時 l₂ 小時.請比較 l₁，l₂ 的大小，并說明理由.

解析：（1）設前一小時行駛的速度為 xkm/h ，則提速后的速度為 1.5xkm/h ，由此列出分式方程 6，解得x=60.

經檢驗， x=60 符合題意，所以 ：綜上所述，汽車實際走完全程所花的時間為 （2）l₁gt;l₂ .理由如下：依題，

是

因為 a_λ，b 均為正數，且 a≠b ，所以 （a-b）²gt;0 ab（a+b）gt;0 ，所以 gt;0，即 ，所以 l₁gt;l₂

點評：本題考查分式方程和分式加減法的實際 應用.

3銷售問題

利用分式方程求解銷售問題，不僅考查學生對分式方程的理解和掌握，而且對鍛煉學生在實際情境中分析問題、解決問題的能力提出了更高的要求.解決這類題型的核心是掌握銷售中的基本量一—單價、數量、總價之間的關系，依據題意列出分式方程

例3（2024·江蘇蘇州初三聯考）某校因物理實驗室需更新升級，現決定購買甲、乙兩種型號的滑動變阻器.若購買甲種滑動變阻器用了1440元，購買乙種用了2430元，購買的乙種滑動變阻器的數量是甲種的1.5倍，乙種滑動變阻器單價比甲種單價貴6元.

（1）求甲、乙兩種滑動變阻器的單價分別為多少元；

（2）該校擬計劃再訂購這兩種滑動變阻器共100 個，總費用不超過5000元，那么該校最少購買多少個 甲種滑動變阻器？

解析：（1）設甲種滑動變阻器的單價為 x 元，則 z 種滑動變阻器的單價為 （x+6） 元.

（2 根據題意得 ，解得 x=48 經檢驗， x=48 是所列方程的根，符合題意.

所以 x+6=54

綜上所述，甲種滑動變阻器的單價是48元，乙種 滑動變阻器的單價是54元.

（2）設該校購買甲種滑動變阻器 Ψ_m 個，則購買 z 種滑動變阻器 （100-m） 個.根據題意，得 48m+ 54（100-m）?5000 ，解得 所以整數 Σ_m 的 最小值為67.

綜上所述，該校最少可以購買67個甲種滑動變阻器.

點評：本題考查分式方程的應用及一元一次不等式的應用.

4和差倍分問題

利用分式方程求解有關和差倍分問題時，需要認真審題，明確題目中描述的和、差、倍、分之間的關系，設定題目中要求解的量或與要求解的量直接相關的量為未知數，建立方程.

例4（2024·山東濟南初三檢測）某商城計劃采購A，B兩種款式的書包，其中單個A款書包的進價比單個B款書包的進價要低20元，若使用700元資金購買A款書包的數量，是用450元購買B款書包數量的2倍.請解答以下問題：

（1）A，B兩種書包各自的進價是多少元？

（2）若該商城購進B款書包的數量比A款書包的 2倍還多5個，且A款書包不少于18個，購買A，B兩 種書包的總費用不超過5450元，那么該商城有哪些 進貨方案？

解析：（1）設每個A款書包的進價是 x 元，則每個B款書包的進價是 （x+20） 元

所以 ，解得 x=70 經檢驗， x=70 是分式方程的解，且符合題意，所以 x+20=70+ 20=90

綜上所述，每個A款書包的進價是70元，每個B 款書包的進價是90元.

（2）設該商場購進 Ψ_m 個A款書包，則購進 （2m+5） 個B款書包.

根據題意，可得 解得18?m?20

又因為 Σ_m 為正整數，所以 Ψ_m 的值為18，19，20.

當 m=18 時， 2m+5=41 ；當 m=19 時， 2m+5= 43；當 m=20 時， 2m+5=45

所以該商場共有3種進貨方案：

方案1：購進18個A款書包，41個B款書包；

方案2：購進19個A款書包，43個B款書包；

方案3：購進20個A款書包，45個B款書包.

點評：本題為分式方程及一元一次不等式組在實際問題中的應用，解題的精髓在于精確識別并構建等量關系以列出分式方程，同時根據各個數量間的內在聯系，恰當地列出一元一次不等式組.

綜上所述，分式方程在實際中的應用問題，具有極高的綜合性.因此，在日常的學習中，需要加大有關分式方程實際問題的訓練，不斷拓寬學生的知識面，提高學生的學習樂趣，提升學生運用知識解決實際問題的能力.Z