三角形的中位線看似簡單，卻是歷年區(qū)域性質(zhì)量監(jiān)測或素質(zhì)測查中的常客，就連中考模擬試題和中招考試真題中都不乏其身影，它是解決三角形問題的重要線段.掌握構(gòu)造三角形的中位線的方法和靈活應(yīng)用中位線，可以幫助我們更好地理解和解決三角形的許多問題.本文中擬結(jié)合典型例題探究三角形中位線定理的證明、三角形中位線的構(gòu)造方法及判定和性質(zhì)在數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用技巧.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：重視單元整體教學(xué)設(shè)計，改變過于注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)[1].單元整體教學(xué)設(shè)計要整體分析數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，合理整合教學(xué)內(nèi)容，分析主題一單元一課時的數(shù)學(xué)知識和核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)，確定單元教學(xué)目標(biāo)，并落實到教學(xué)活動各個環(huán)節(jié)，整體設(shè)計，分步實施，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體理解與把握，逐步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)[2].根據(jù)新課標(biāo)的這一精神，為了對三角形中位線定理有一個整體的認(rèn)識，我們把“三角形的中位線定理”作為一個獨立的單元或?qū)ｎ}做以下解析.

1全面認(rèn)識三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

（1）圖示：如圖 1，DE 是三角形ABC的中位線；

（2）性質(zhì)： DE//BC ， DE=

圖1

（3）拓展：S△ADE 在解決三角形問題時，若遇到中點或中線，常構(gòu)

造中位線.這里應(yīng)記住的口頭禪是：遇到中點或中線， 首先想構(gòu)造中位線.

2三角形中位線定理的兩種證明方法

證法一：構(gòu)造平行四邊形證明中位線定理.

已知：如圖1，在△ABC中， D 是 AB 邊的中點， E 是 AC 邊的中點.

求證：

證明：如圖2所示，過點 C 作CF//AB 交DE的延長線于點F ，則 ∠A=∠ECF，∠ADE=∠F 在 ΔADE 和 ΔCFE 中，有∠A=∠ECF ，∠ADE=∠F ，所以 ΔADE? ?AE=CE .

圖2

Δ CFE（AAS）.所以

又因為 BD=AD ，所以 BD=FC ，所以四邊形BCFD是平行四邊形，則 DE//BC，DF=BC 所以 故

證法二：利用三角形相似證明中位線定理.

證明：如圖1，由 D 是 AB 的中點，得

由 E 是 AC 的中點，得 0

所以 （204號業(yè)

又 ∠A=∠A ，所以 ΔADE～ΔABC

所以 ∠ADE=∠ABC

故

3中位線的構(gòu)造方法

3.1連接端點構(gòu)造中位線

例1如圖3，四邊形ABCD中，∠B 是直角， AB=3，BC=4 ，點 P，Q 分別為線段 CD，BC 上的動點（含端點，但點 P 不與點 c 重合），點 M，N 分別為 AP，PQ 的中點.求MN的最大值.

圖3

解析：如圖4，連接AQ.因為點M，N 分別是線段 PA 和 PQ 的中點，所以 MN 是 ΔPAQ 的中位線.因為點P，Q 分別為線段 CD，BC 上的動點（含端點，但點 P 不與點 c 重合），所以當(dāng)點 Q 與點 c 重合時，線段 AQ 取最大值，同時MN的值最大.

圖4

3.2連接中點構(gòu)造中位線

例2如圖5，在邊長為8的等邊三角形ABC中， D 為 AB 邊的中點， F 為 AC 邊的中點， DE⊥BC 于點 Δ_E，G 為 DE 的中點，連接 FG ，則FG 的長為

圖5

解析：如圖6，連接 DF ，則 DF 是等邊三角形 ABC 的中位線，所以 由 DE⊥ BC于點 E ，可得 ∠DEB=90^° 在RtΔDEB 中，

圖6

又 ∠B=60^° ，則sin 所以 DE=BD×sinB=

由 DF//BC ∠DEB=90^° ，可得 ∠FDG=90^° 在 RtΔFDG 中，因為 ，所以 FG=

3.3作垂線構(gòu)造中位線

例3如圖7，在 RtΔABC 中， ∠ABC=90^°，AB=8，BC= 12，把 ΔABC 繞直角頂點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 90^° 得到 ΔBDE .若 P 是 DE 的中點，連接 PC ，則 PC的長為參

圖7

解析：如圖8，過點 P 作PQ⊥BC 于點 Q ，則 PQ//BE 又 P 是 DE 的中點，所以 DQ= 所以PQ 是 ΔDBE 的中位線.（后續(xù)過程略）

圖8

點撥：熟悉“過三角形一邊中點，平行于另一邊的直線，平分第三邊”是證明 DQ=BQ 的關(guān)鍵；構(gòu)造中位線是本題求解的必由之路.

3.4利用角平分線和垂線構(gòu)造中位線

例4如圖9，在△ABC中， CE 是中線， CD 是 ∠ACB 的平分線， AF⊥CD 于點 F ，BC=12 ， AC=8 ，求 EF 的長.

圖9

解析：如圖10，延長AF ，交 CE 于點 G ，交 CB 于點 H ：

由 CD 是 ∠ACB 的平分線，得 ∠ACF=∠HCF ：

圖10

由 AF⊥CD 于點 F ，得∠AFC=∠HFC

又 CF=CF ，所以 ΔACF?ΔHCF （ASA），則AF=HF .由 CE 是中線，得 E 是 AB 的中點.所以 EF 是 ΔABH 的中位線.（后續(xù)過程略）

不難看出，由于三角形的中位線平行于第三邊，因此它具有平移角的作用；因為它等于第三邊的一半，所以它有倍分轉(zhuǎn)化線段的功能.因此，在解有關(guān)三角形問題遇到有中點或中線時，首先應(yīng)考慮的是構(gòu)造三角形的中位線.反過來，若知道三角形的中位線，也可迅速找到三角形兩邊的中點.需要強調(diào)的是，本文中分享的幾種構(gòu)造三角形中位線的方法，僅僅是拋轉(zhuǎn)引玉，真正學(xué)好中位線的構(gòu)造方法，則需依靠在“戰(zhàn)爭中\(zhòng)"學(xué)習(xí)戰(zhàn)爭，拳不離手，曲不離口，把發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗證、應(yīng)用貫穿于數(shù)學(xué)教育的始終[3].

參考文獻(xiàn)：

1中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）S.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]史寧中，曹一鳴.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀[M.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3]何繼斌.走進(jìn)重高培優(yōu)講義·數(shù)學(xué)A版[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2016.Z