剖析基本圖形，發展關鍵能力

初中數學中與拋物線有關的四邊形綜合問題，往往與分類討論策略緊密相連，不僅對考生的邏輯思維能力和細致程度提出了較高要求，而且對學生綜合運用知識解決問題的能力要求也較高.本文中旨在通過剖析一道融合二次函數、平行四邊形特性及點到直線距離等知識的綜合題目，助力學生深化對數學概念的理解，掌握并靈活運用解題方法.通過這一題目的探討，學生不僅能夠鞏固所學，還能使分析問題、解決問題及應對復雜情況的能力得到很好的鍛煉.針對這類典型例題的剖析，不僅能夠激發學生的思維活力，拓展思考深度，還能有效提升學生的數學核心素養，為他們未來的數學學習之路奠定堅實的基礎.

1真題呈現

例 （2024年·廣東清遠初三聯考）拋物線 y= 經過點 ，與 軸交于點

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，連接 AC ，過點 A 作 AB⊥x 軸，垂足為 B，E，F 分別是線段 CA，OB 上的動點，且不與線段 _CA，OB 的端點重合；

圖1① 在直線 EF 變化的過程中，若直線 EF 平分四邊形ACOB的面積，且點 c 到直線 EF 的距離最大，求此時直線 EF 的解析式；

② 如圖2，連接 BE，N 是 軸上一點， M 是二次函數圖象上的一點，當四邊形EBNM為矩形時，求出點 E 的坐標.

圖2

2思路分析

本題融合了拋物線解析式的確定、平行四邊形（尤其是矩形）的幾何性質、點到直線距離的最值分析及相似三角形中的比例運算等多個知識點，解題過程需綜合運用函數與圖形的關系、坐標法和代數計算等手段.

第（1）問通過代入兩個已知點的坐標，解二元一次方程組，迅速確定拋物線的解析式，為后續分析提供基礎.

第（2）問的兩道小題則體現出典型的“圖形構造 + 變換”思想， ① 中通過“ EF 平分面積且距離最大”的條件，轉化為 EF 過對角線交點并垂直于BC，進而構建直線解析式，體現對對稱性與距離最值的深刻理解；② 中利用矩形性質建立坐標表達，進而結合相似三角形比例關系與拋物線代數性質求解，體現了解題中幾何直觀與代數計算的緊密結合.

整體來看，該題解法條理清晰，策略多元，強調分類討論與關鍵量的構造，對提升學生的邏輯推理、綜合建模及圖形分析能力具有重要價值.

3試題解析

（1）根據題意可知，首先將點 B，C 的坐標代入拋 中物線解析式中，列式可以得到 解32+2b+c=2得 所以拋物線的解析式為

（2） ① 如圖3，連接 AO，BC 相交于點 D ，過點 c 作 CQ⊥EF 于點 Q. 因為點 A 和點 c 的縱坐標相同，所以 AC//x 軸.又因為AB⊥x 軸，所以 ∠ACO= ∠COB=∠OBA=90^° ，所以四邊形 ACOB 為矩形.因為直線 EF 平分矩形 ACOB 的面積，所以直線 EF 必經過點 D .因為 CQ⊥EF ，所以CQ?CD

圖3

如圖4，當 CQ=CD 時，點 Q 與 D 重合，即 BC⊥ EF 于點 D ，此時 CQ 最大.因為點 Q 為 BC 的中點，且點

B（2，0） ，所以點 .過點 E 作 EM⊥OB 于點 M ，則四邊形COME為矩形，則 EM=OC= 因為 ∠FEM+∠EFM= ∠EFM+∠CBO=90^° ，所以 ∠FEM=∠CBO. 又因為 ，所以 ，所以 設點 F（α，0） ，則點 設直線 EF 的解析式為 y=kx+b

圖4

代人點 E，F，Q 的坐標，得 ka+b=0 . 解 （2得

所以直線 EF 的解析式為 業

② 如圖5，過點 M 作 MG⊥ y GCAC 于點 G ，設點MN（0，n） .因為四邊形EMNB為矩形，所以點 N 0 B x圖5因為 ∠MGE=∠EAB=90^° ，所以∠MEG+∠GME=∠MEG+∠AEB=90^° ，所以∠GME=∠AEB ，所以 ΔEGM～ΔBAE ，所以 即 ，所以 又因為點 M 在拋物線上，所以 ，解得m=2 或 .因為點 E 在 AB 左側，所以 ，所以點 E 為

點評：本題主要考查二次函數、特殊平行四邊形的性質、點到直線的距離等基礎知識，先通過構造橫平豎直線找到問題的關鍵點，然后利用三角函數性質及三角形之間的相似關系列出比例式，結合拋物線解析式和性質即可迅速解決問題.

4解法總結

此類題目通常融合幾何、代數等多種知識點，具備較強的綜合性與探究性，其普遍解法可歸納為以下三類策略：

（1）解析式的構建為基礎步驟.在涉及拋物線的綜合問題中，第一步通常是通過將已知點代入一般式，列方程組求解參數.這一過程為后續坐標代人、圖形關系分析提供函數模型基礎，是解題的“人口環節”此類題要求學生熟練掌握“點代式一列方程一解參數”的思維鏈條.

（2）圖形性質與分類討論為核心支點.當四邊形的性質成為研究對象時，常涉及特殊圖形（如平行四邊形、矩形）的判定與利用，解題策略需緊扣題設條件，結合幾何特性進行分類討論.例如，“EF平分面積且距離最大\"提示學生運用對稱性與最值思想，判斷 EF 應過對角線交點并垂直于邊，從而構建函數或方程組進行解析；而在“形成矩形\"的情境下，則需構造出點的對應關系與幾何條件（如垂直、相等）并結合相似三角形、比例關系推導坐標.這類題目的突破口往往來自“構造關鍵點”與“引入輔助線\"的幾何直覺.

（3）坐標設點與代數方程求解為表達手段.完成幾何分析后，需要通過坐標設點與代數運算將圖形問題轉化為函數求解問題.這一環節體現了“圖形—函數—代數”三者間的深度融合，如通過相似關系建立比例式，再聯立拋物線解析式完成計算求解.設點策略（如令點 E 的橫坐標為m）、代數化分析（如求斜率、距離公式、面積計算公式等）是解題的關鍵支撐.

綜上，拋物線與四邊形綜合問題的普遍解法路徑可總結為“構建解析式一識別圖形性質一分類討論定位關鍵條件—構造輔助圖形—設點建模—代數求解”.這一思路不僅有助于學生系統梳理知識結構，也提升了其邏輯推理與綜合建模能力，是發展數學核心素養的重要支撐路徑.

把函數與幾何圖形融合已逐漸成為中考命題趨勢.近年，中考試題多以拋物線為核心，結合平面幾何圖形的性質，考查學生綜合運用多種數學知識解決實際問題的能力.這些題目強調學生不僅要掌握函數的基本運算和圖象特征，還需具備通過構造輔助線、分類討論、運用幾何關系進行定量分析的能力.具體表現為題目常涉及動點、變動直線、多種幾何性質（如平行、垂直、對稱）與代數表達的有機結合，要求學生靈活轉換思維模式，實現“圖形一函數一代數”的多維度融合