世紀難題的終章： 探尋龐加萊猜想的奧種

在本刊2025年5月號的《數學史話》中，我們為大家介紹了世界七大數學難題之一的“NP完全問題”。本期登場的“龐加萊猜想”，同樣位列這七大難題之中，而且是七大難題中唯一一個被解決了的問題。

龐加萊猜想，顧名思義，是著名數學家亨利·龐加萊（1854年—1912年）提出的一個數學猜想。在了解這個數學猜想之前，我們不妨先走進這位被稱為“世上最后一位偉大的科學全才”的傳奇人生。

龐加萊出身于一個地位顯赫的法國家族，他的一個堂弟曾多次擔任法國總統和總理，他還有一個堂弟當過法國教育部長。不過龐加萊本人對政治并無興趣，反而從小就展現出無與倫比的數學天賦。童年時，龐加萊因為視力不好看不清黑板，上課基本靠聽，成績卻依舊穩居全校第一的寶座，隨后考人頂尖大學——巴黎綜合理工學院（著名數學家泊松、柯西都曾在這里讀書）。

當時的數學已經發展出眾多分支：分析、代數、幾何、數論等，龐大的知識體系讓學者們只能選擇其中一門進行學習和探索。龐加萊卻不一樣，他的研究覆蓋了所有數學分支！在他的一生中，發表論文500多篇，著書30多部，研究領域更是廣泛，涵蓋數學、物理、科學和哲學等，可謂一騎絕塵。

1904年，他提出了一個后來被命名為“龐加萊猜想”的拓撲學問題：

任何一個單連通的、緊致的三維流形必同胚于一個三維球面。

這句話的每個字我都認識，但連起來簡直是天書！看起來好深奧！

別緊張，大部分人都看不懂，接下來讓龐加萊來向你解釋這個猜想里的每個詞是什么意思，逐個擊破。

什么是單連通的？

如果我們在某幾何形狀上任意套一個圈，在不離開表面的情況下，圈能夠縮回成1個點，那么這個圖形就叫作“單連通的”。

根據這兩個例子可以看出，球體是單連通的，環不是單連通的

什么是緊致的？

一個空間是“有限”的就叫作緊致的，比如地球的表面就是有限的，我們能通過一塊塊地圖完全拼接出地球的表面。

什么是三維流形？

這個概念比較抽象，我們可以簡單地去理解。首先是三維的概念，大家都知道我們生活的世界就是一個普通的三維空間。

12塊月形圖拼出地球的表面

流形則是一類幾何形體，想象一下，你站在一座大山上，從你腳下這一小塊地方看，地面是平的，像一張紙；但如果你坐上飛機，從高空俯瞰整座山，會看到地面其實是彎曲起伏的。這種“局部看起來是平的，但整體可能是彎的”的東西，就是流形！

至于三維流形，理解起來就更難一些了。想象你住在一個超大號的軟泥球中，每次只關注你身邊的那一小塊，軟泥球表面和內部看起來都像我們熟悉的三維空間；但如果離遠一點從整體看，它可能被捏成了各種奇怪的形狀。

最后，我們來看看什么是同胚。

簡單來說，兩個圖形的點的位置關系一一對應就叫“同胚”，在拓撲學中這兩個圖形是相同的。

地鐵線路圖和地鐵的實際走向不完全一樣，但圖上的每一條線路、每一個站點，都能一一對應到真實的路線和車站。這就是“同胚”，只要對應關系保持不變，形狀怎么“扭”都沒關系。

想象你手中有一塊正方體橡皮泥，你可以在不撕裂或黏合其他橡皮泥的前提下把它捏成一個球，因此正方體和球這兩者是同胚的。

再比如，一塊中間有洞的甜甜圈橡皮泥，在不撕裂或黏合其他橡皮泥的前提下，你可以通過不斷地捏橡皮泥，把它捏成一個有把手的杯子。也就是說，甜甜圈和杯子是同胚的。

至此，你可能覺得已經大致明白了龐加萊猜想的意思，但你還是無法理解這個猜想的準確意思，這很正常，畢竟龐加萊本人在提出該問題后也沒能證明成功，只好將它變成了一個猜想。

龐加萊猜想一經提出，立刻吸引了一大批數學家摩拳擦掌，參與挑戰。但近百年來，無數數學家都攻不下這道“數學堡壘”。

直到20世紀下半葉，數學家們換了個思路：既然三維龐加萊猜想這么難，那我們…干脆往高維空間“跑”？四維、五維高維，大家層層遞進，屢戰屢勝，可這對三維情況卻沒有什么幫助。

我也不差，我證明了四維龐加萊猜想。

我的研究對高維可是一把利刃，不過在三維這兒銹了。

我證明了五維龐加萊猜想，老弟你呢？

斯蒂芬·斯梅爾

邁克爾·弗里德曼

到了世紀之交，三維龐加萊猜想依然是未解之謎，克雷數學研究所將它列入世界七大難題并懸賞百萬美元。

令人意想不到的是，剛到2003年，也就是在研究所發布懸賞后僅僅5個年頭，數學界就迎來了一位重量級天才一一俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼。

23歲獲數學博士也不算什么成就吧？都是常規操作而已啦。

青年佩雷爾曼

難怪數學家們歡欣鼓舞，畢竟在世界七大難題中，它是迄今為止唯一被解開的謎題。要知道，除了這七大難題，數學史上幾乎每一個難題都有超過百年的高齡。

佩雷爾曼一戰封神，震驚了全世界。但讓人津津樂道的不只是他那令人膜拜的學術成就，還有他那顆近乎“超脫”的純粹之心。

時間來到2006年，第25屆國際數學家大會隆重開幕。主辦方鄭重宣布：“佩雷爾曼因破解龐加萊猜想，榮獲本屆菲爾茲獎！”這個獎嘛，“小樹苗們”肯定不陌生了——它就是數學界的諾貝爾獎，只不過4年才發一次，還不給超過40歲的“中老年人”發，獲獎難度比諾貝爾獎還高！

然而，在頒獎現場卻發生了一件讓所有人始料未及的事一 佩雷爾曼沒來，他拒絕領獎。

尊敬的國王，請您授予佩雷爾曼教授菲爾茲獎。

比大會現場還要尷尬的，是遠在大洋彼岸的克雷數學研究所。

因為佩雷爾曼證明了龐加萊猜想，克雷數學研究所準備兌現百萬美元獎金，可他們懸賞時要求的是將成果發表在學術刊物上，而佩雷爾曼呢？他只是不緊不慢地把論文上傳到一個數學網站，像發“朋友圈”一樣云淡風輕：“我證明出來了，大家隨便看看吧?！?/p>

然后 就沒然后了。

佩神呀，您再投一次稿行不？我們好把獎金給您呀！

克雷數學研究所怎么也無法勸動佩雷爾曼重新投稿，只好自己破例宣布直接向佩雷爾曼頒發獎金——更驚人的來了，佩雷爾曼再次拒絕！沒人知道，這位生活簡樸到近乎清貧的數學家為何會對百萬巨款完全沒有興趣！