論數學創造力

摘" " " 要 創新是民族復興的動力，創新的關鍵是人才培養質量。基于文獻的視角探究數學創造力內涵，在基礎教育階段，數學創造力可以表述為，在濃厚的興趣指引下，在問題解決的過程中，對現實世界進行符號式量數化而產生的新穎、實用且適用的模式的能力，學生的數學創造力培養，關鍵在于學生是否具備“心理上的數學創造力”。從數學創造力產出、數學創造力的表現、數學創造力的發生過程、數學創造力產品以及數學創造力指標等方面探究數學創造力的特征。在此基礎上，進一步提出提升學生數學創造力的教學建議：學習方式在獨立思考和合作交流之間統籌；思維訓練在“發散思維”和“聚斂思維”之間并重；教育取向在適度掌握知識和發展問題解決能力之間取得平衡；評價指標在個體特質和社會性因素之間均衡兼顧。

關 鍵 詞 創造力；數學創造力；數學創造力教學

引用格式 王寬明，陳世亨.論數學創造力[J].教學與管理，2025（18）：70-79.

創造力是人類發展和社會進步的根本動力，是發展新知識的重要機制之一，是引發高質量發展的重要保證。關于創造力的認識，第一，從創造產出的角度來看，創造力是一種新穎的觀點。如Sternberg認為創造力是一種提出或產出具有新穎性的工作成果的能力[1]；Getzels等認為創造力既是解決問題的能力，更是提出新穎問題的能力[2]。第二，從創造產品的角度來看，創造力是制造具有新穎性或適用性的產品。如Lubart等認為創造力是產生新穎且合適的產品的能力[3]。第三，從創造力的特征來看，創造力是一種復雜的、具有原創性的、綜合性的能力。如牛津字典對創造力的解釋是“具備制造新事物尤其是藝術工作上的能力或技能”；Romey認為創造力是結合想法、事物、技巧或新途徑的能力[4]。這些關于創造力的表述，都蘊含關鍵詞：新穎、適用。

創新是一個國家和民族發展的不竭動力，創新的關鍵是人才培養質量，“在社會和經濟發展訴求的驅動下，拔尖創新人才培養成為各國教育政策的核心內容”[5]。近年來，學生的創造力培養已成為當前頗受世界各國關注的議題，而且相關的討論亦延伸到教育的各個階段和各門學科。就基礎教育階段數學學科而言，數學作為一門高度抽象性、廣泛應用性的工具性學科，創造性是數學的本質特征，通過對數學創造力的研究能夠推動其他學科創造力發展，培養學生具有創新意識和創新精神的根本是發展其數學創造力。為此，世界各國均將學生的數學創造力培養作為人才培養的重要目標。如美國大力“開發富有創新性和實踐性的課程體系”，在美國數學教材中，通過“問題設置重視跨學科對話，提升學生創造能力”[6]，以此提升未來人才培養的質量。澳大利亞的教育部門專門成立科學和數學學校以提升其在全球競爭中的能力[7]。我國《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，“創新意識作為學生的數學核心素養之一”，《普通高中數學課程標準（2017年版）》也提出，“逐步培養學生的創新意識和創新精神，發展學生的創新能力，為培養21世紀創新人才貢獻數學學科獨特的力量”。在我國的教育實踐中，部分辦學條件較好的高中實施“強基計劃”，為基礎教育階段培養拔尖創新人才提供有針對性的教育建議和對策。另外，創造力也頗受各種大型國際數學測評的重視，如PISA2025將新增的“運用科學知識進行決策和行動”能力，其中包括在決策和行動過程中通過問題解決創新創造新價值的能力。

目前相關的文獻對學生的創新意識、創新精神、創新能力和創造力等概念大都沒有明顯區分，研究也沿襲相關的約定俗成，統稱為創造力。創造力是一個非常復雜的概念，教育是培養人的活動，通過教育可以促進個體的創造力發展，這也是迎合新時代高質量育人體系培養的需求。然而國內關于數學創造力的研究極為駁雜，且以探究數學創造力內涵為主題的研究至今仍鮮有涉及，只有在對于數學創造力了解與掌握的基礎上，才能夠決定創造力培養的相關課程規劃與設計目標。而且，“多國調查都反映出數學教師對創造力及創造力教育存在著狹隘觀念”[8]，這也意味著在數學學科推進創造力教育存在許多困難。因此，本文試圖探討為什么要重視學生數學創造力培養？何謂數學創造力？如何全面認識數學創造力？并借此提出教學建議，為基礎教育領域學生的數學創造力培養添磚加瓦，獻計獻策。

一、數學創造力的概念

1.數學及數學觀

討論數學創造力需要結合數學學科的特質進行，而對于數學的看法，學者們見仁見智。國內流行的觀點是恩格斯的定義：數學是研究現實世界空間形式和數量關系的一門學科，現行的數學課程標準均采用此觀點（見《義務教育數學課程標準（2022年版）》和《普通高中數學課程標準（2017年版）》）。但是20世紀以來，國際、國內多數學者開始從模式的角度思考數學。因為模式具備符號式量數化的特征，是具有重復性、一般性與延伸性的對象，這對于持不同的數學觀者，在描述和刻畫客觀世界的時候均可以采納和解釋，故大多數的數學家和數學教育工作者較傾向于“數學是探究模式的科學”的觀點，亦即數學家和數學教育工作者大都認同數學學習是尋找模式并使用模式形成新的概念或問題解決的過程。即解決問題是通過把客觀世界符號式量數化，進而把客觀世界模式化，并將其運用于用數學解決問題的過程。

從數學觀的角度來看，無論邏輯主義、直覺主義抑或形式主義，三種數學觀對數學的看法差異明顯，邏輯主義關注對事物邏輯結構的符號式量數化；直覺主義關注對事物的感覺的符號式量數化；形式主義關注對事物形式的符號式量數化。但從數學的內涵來看，三種數學觀均認為數學是經過對客觀世界高度抽象后形成具有一般化特征的符號式量數化的產物，這個過程含有一定程度的思維創新成分，即提出新的符號或利用已知的模式組成新的模式是創造力在數學范疇上的表現。

2.數學創造力

數學創造力是討論數學范疇內的創造力。弗賴登塔爾認為，數學學習是一個再創造的過程，雖然學生學習的數學知識是人類千萬年來的文化積累，但是學生在掌握知識過程中的經歷和人類發明數學知識的過程是類似的，即“歷史相似性”原理，根據“歷史相似性”原理，讓學生經歷再創造的過程，有助于學生把原始概念轉換成形式概念，即學生通過努力把樸素的概念進行符號式量數化成為一個模式。

從概念的從屬關系來看，“數學創造力”是“創造力”的特殊領域。但討論數學創造力不能簡單地僅僅包含一般的創造力與數學能力兩個維度，而是對這兩個維度進行整合，體現創造力在數學領域的特殊性。就創造力而言，數學創造力與創造力有共同的部分，即數學創造力是尋找具有新穎性、適用性特征的用以實施問題解決的模式。如Haylock認為數學創造力是為了解決數學問題而產生原始或不尋常、適用解決方案的能力[9]。羅新兵和羅增儒認為，數學創造力是“識別技能領域與應用領域之間的聯系，在看似不相關聯的數學思維之間建立起一種聯系”[10]，與該觀點類似的是，Idris和Nor也認為數學創造力是從不同的觀點分析問題的能力和選擇適當的方法處理不尋常的數學情境[11]。以上觀點分別從模式的角度闡述數學創造力的產出、過程、環境和產品等特質。

關于數學創造力水平的認知，Shriki認為，數學創造力應分成專家水平和學校水平[12]。其中專家水平應是能制造原創性的工作并能夠顯著地拓展數學知識領域，只有專業的數學研究者才能在領域內留下歷史性的成果，因此探討專家水平的數學創造力研究主要是針對專門的數學研究者；而學校水平創造力的定義是對于給定的題目能提供不尋常、新穎或具洞察力的解答。學校水平的數學創造力是在一個給定問題進行許多方面的分析，通過不尋常的方法觀察其相似性與差異性的能力，如一題多解；或者是對于舊的問題能從新的角度加以認知，如一題多變、一法多用。探討“學校水平”數學創造力主要看學生是否具備“心理上的數學創造力”[13]，亦即學習者對于解決數學問題時其切入題目的角度與觀點能否提出過去未曾看過的“新”想法，當面臨過去未曾接觸過的數學情境或數學問題時，能“適當”改變已知的數學工具或將已知的數學工具用在與過去截然不同的數學情境上。研究認為，基礎教育階段的數學創造力就是學校水平的數學創造。

二、全面認識數學創造力

回顧相關的文獻發現，在基礎教育階段，數學創造力的探討主要是基于“創造性個人、創造性過程、創造性產品、創造性環境四個維度”[14]展開的，研究的關鍵問題是數學創造力應該具有何種特征及其指標描述，其“基本成分包括初級成分，即問題提出（問題識別和問題定義）、構思（流暢性、靈活性和新穎性）、評價三個方面能力；次級成分，包括個體擁有的動機（內部動機和外部動機）和知識（程序性知識和陳述性知識）兩個層級”[15]。研究認為，創造性個人、創造性環境和動機可納入創造力產出中討論，而數學創造力是討論數學問題或數學情境時的創造產出或創造成果，故數學創造力的定義就不能脫離創造力的核心標準。對數學創造力特征的探究是在整合創造力和數學能力的基礎上，從數學創造力的產出、表現、過程、產品、指標和相關因素等方面進行闡述。

1.數學創造力的產出

（1）數學創造力產出的概念

數學創造力是在發現新的數學知識或解決一個過去未曾遇見的數學問題，數學創造力的產出是發展數學新知識的重要機制之一。由于數學知識是符號式量數化的產物，無論是持直覺主義、邏輯主義抑或形式主義者，均認為數學新知識的發展重點在于符號、規則或模式的產出。換句話說，數學創造力產出可以被看成是形成、再認知和尋找有用的合成，這樣的合成將連結兩個或兩個以上不同的數學知識結構（模式），從而擴大了數學知識間的聯系，形成具有新穎性的成果（新的數學知識），這樣的成果才是數學創造力的產出。

Chamberlin與Moon將學生的數學創造力定義為“產生新穎實用的解決方案和以數學方法去解決虛擬或真實的應用問題的能力”[16]。事實上，數學創造力產出的實用性在于其產出能否解決當前的數學問題。這種實用性是指能解決一個數學問題，也就是數學的創造者能否為數學問題（或現實世界的問題）提出過去未曾發現的數學解決方案的能力。創造者運用過去的經驗或已學過的數學知識為基礎，將遇到的問題以創新的方式加以解決。因此，數學創造力產出是指形成具有新穎性和實用性的產品（包括新知識、新方法、新技術等）。

（2）數學創造產出需要時間積累

在數學觀上持邏輯主義論者和持形式主義論者認為，創造力與工作時間未必存在關聯性，但創造力產品與工作時間必存在關聯性，偉大的產品一般都是經過長期努力積累的結果。就創造性階段而言，準備階段（沉寂時期）是創造力產品的必要投資，需要一個學科或領域的長期浸潤。非凡的創造性成就（創造力產品）產生需要的時間遠超學習領域入門知識所需的時間。Gardner通過對七位極具創造力的工作者（包含愛因斯坦、弗洛伊德、畢加索、斯特拉文斯基、艾略特、格雷厄姆和甘地）進行調查，發現要完成一件非凡的創造力產品，至少需要十年的刻苦努力，這一現象被稱為創造力“十年法則”[17]。故創造者要確保其創造力能夠以更有效的形式呈現出來，關鍵在于創造者需要精通某一領域并為此長期（也許要花費十年乃至更長時間）準備、有明確目標并始終不懈追求的結果。

“十年法則”表明，數學創造力的形成是需要一定時間的，但是學校層面的數學創造力，教師需要“一方面應提供富有挑戰性的任務讓學生體驗醞釀期，另一方面應調控教學的進度，保證學生有足夠的醞釀時間，如在課堂話語和活動中進行短暫的休息，讓學生在一段時間內同時處理多個任務或完成長時作業等”[18]。

（3）數學創造力產出的個體動機

不同動機對創造力的作用機制不同，動機對于學生的數學創造力的產出有直接的影響。

一方面，內部動機有利于個體專注于創造過程，對學生的數學創造力產出有正向效果。目前多數的學者均同意提升個體的內在動機有助于創造力的發展，原因在于內部動機有利于個體專注于創造過程。以菲爾茲獎和沃爾夫獎的獲得者為例，這些人員具有“深厚的愛國之情、濃厚的興趣……”[19]。而且，具有適度挑戰性的工作活動能夠有效刺激創造力產出的動機。當工作活動的挑戰性配合個體的創造力能力水平時，容易達到這種高度內在動機的狀態。哪怕應對“無聊”這種一般普遍存在的挑戰狀態，也會產生同樣的效果。OECD發布的報告認為，“對培養創造力產生影響的不是學生是否感到無聊，而是他們如何應對無聊感。如果無聊成為行動和尋求意義的催化劑，就可以支持創造性和批判性的結果”[20]。

另一方面，外部動機往往對學生的數學創造力產出會產生負面影響。若個體從事創造工作只為了外來的贊賞、名聲或金錢等外在動機，則會對個體的創造力造成傷害。如學生參加比賽只為了獲得獎賞，則在沒有獎勵時或獎勵不足以支撐其工作的動力時，便對學習失去興趣。故外在動機只注重短期效應，不利于學生創造力的發展。

2.數學創造力的表現

數學創造力的表現能夠反映其主要特征，梳理相關的文獻發現，數學創造力的表現主要體現在以下幾個方面。

（1）思維方式

Bishop認為數學創造力在數學思維方式上需要兩種非常不同的互補思維方式，分別為“直覺”與“邏輯”來分析思考，或者說數學創造力需要同時具備“發散思考”和“聚斂思考”的能力。一般認為，以不同角度解決問題的方法變成思考的習慣，對于創造性思維的養成有高度的幫助，這有助于個體通過發散思考尋找“新穎”的創造產出和通過聚斂思考驗證創造產出的“實用性”[21]。發散思考體現了個體富有想象力和超出邏輯思考的限制，使得不同數學概念產生聯系，這使得創造思考中的能力成為創造過程的一部分，亦即當個體遇到未曾經歷的數學問題時，能連結多個看似不相關的知識或經驗得以解決陌生的數學問題。但也有不同聲音，如持直覺主義論者認為，創造力與產生許多想法的能力和產生少數想法未必關聯[22]，一些具有高創造力的人在經歷數十年努力后，其高發散思考能力依然薄弱。

（2）能力水平

在數學能力研究的文獻中，Usiskin將數學能力區分成八個水平[23]，其中第五水平是具有取得數學博士學位能力的專家，第六水平是能經常發表數學研究成果的人員，而第七水平則是曾經獲得菲爾茲獎殊榮的研究學者。學者們獲獎的理由在于為數學知識領域開創嶄新的道路，也因為他們的貢獻使得數學學科領域得以更好地開拓。Usiskin認為只有第七水平的人員才具有數學創造力，也就是只有極少數的數學專家可以被稱為具備數學創造力。第七水平的研究人員開拓數學知識領域的新邊界，并被記錄于數學史的發展之中，在Usiskin看來，只有極少數的數學家可被稱為具備非凡的數學創造力或歷史性的數學創造力。

而具備學校層面數學創造力的學生經常出現在第三級或第四級中。Usiskin認為數學能力在第三級或第四級的學生面臨過去未曾接觸過的數學情境或數學問題時，能適當改變已知的數學工具或將已知的數學工具用在過去截然不同的數學情境上。而數學資優生對于一道數學題目有時會有許多種想法，來自其切入題目的角度與觀點；也就是學生能否為解決出數學問題提出過去未曾看過的“新”方法。實踐中，教師可嘗試使用支架理論幫助學生朝第五級的層級發展。故可通過了解學生出現在中間的過程與想法來探究其數學創造力水平。有數學創造力的學生大多能夠提出擴大和深化原來的數學問題，以及用多種方式解決數學問題。Boden將在新穎的條件下實施問題解決的過程稱為“心理上的創造力”[24]，也就是個體為了問題解決而提出其之前并未看過相似成果的創造產出，但其創造產出可能已經存在于學科的領域中，因此“心理上的創造力”在數學領域上未必具有實質的意義或價值。

在基礎教育階段，學生提出的數學解題過程較難推廣到數學學科領域的知識領域，探究基礎教育階段學生解題的第七水平及以上的能力，難以觀察到對應的指標。因此在教育上的數學創造力研究可將數學創造力描述的焦點聚焦于學生是否具備“心理上的數學創造力”的能力，即學生對于解出數學問題時其切入題目的角度與觀點能否提出過去為此發現的“新想法”，當面臨過去未曾接觸過的數學情境和數學問題時，能否“適當”改變已知的數學工具或將已知的數學工具用在過去截然不同的數學情境上。

（3）貢獻大小

關于數學創造力貢獻大小的討論，除了前文Shriki提出數學創造力應分成專家水平和學校水平外，Kaufman與Beghetto認為創造力可區分成普通的創造和非凡的創造兩個不同的層次[25]。“非凡的創造”是創造者提出的創造學科知識范疇的推廣，所提出的創造產出將被記錄到領域中，且在特定的情境下無法通過意向或機械的方法來實現。“非凡的創造力”亦即“歷史性的創造力”，所謂“歷史性的創造力”是指歷史上從未出現過的創造產出的價值和實用，也就是個人的創造產出在創新上獲得社會或歷史上的認同。其對數學創造力觀點和Usiskin類似，如古埃及人找出解一元二次方程的方法、笛卡爾建立直角坐標系、牛頓-萊布尼茨發明微積分等。Kaufman與Beghetto對“普通的創造”是否可劃歸為數學創造力持保留態度。Shriki提出的學校水平的創造力與Kaufman和Beghetto對“普通的創造”類似。Kaufman和Beghetto指出創造力是微創造力、日常創造力、專業創造力和杰出創造力的連續發展體[26]。在Kaufman和Beghetto看來，微創造力和日常創造力就是學校層面的數學創造力。

在學校層面的數學創造過程中，為了使問題解決更加的便利，需要將常規的問題通過相關的聯想作適合的改變，這樣的改變在數學領域中可能本來已經存在，而個體并未看過或者所提出的改變并不足以改變學科的知識領域，其所發生的創造則屬于“普通的創造”。如在通常的解題活動中，教師經常將課本上的例、習題通過相關的聯想作適合的改變，這樣的改變所涉及到的知識、技能以及思想方法等是學生已經或即將接觸的內容。對于“普通的創造”及其相關的聯想是可以被預測的，也就是個人為了解決生活上、學習上乃至工作上的問題或困難提出創造者之前并未看過相似成果的創造產出，但其創造產出已經存在于數學領域中，因此普通的創造在數學領域上一般不具有實質的意義或價值。故基礎教育階段，在數學課堂培養學生的數學創造力，主要是在其學習過程中是否存在“心理上的創造”。由于非凡的創造和專家水平的創造在日常的生活和學習中幾乎不被觀察到，因此在基礎教育階段，研究所探討的數學創造力培養被限制在微創造、日常創造、普通的創造和學校層面的創造，或是Usiskin劃分的六級以下水平。

3.數學創造力的發生過程

Sriraman認為，數學創造過程遵守完形模型[27]，即數學家們認為在數學創造思考過程中存在準備、醞釀、頓悟和驗證四個階段。許冬梅等研究表明[28]，“‘四階段’可顯性化為知覺的展露、注意和解釋三階段，并表現為相應的過程能力”的三維模型，并且指出，“該模型可用來評測創造性思維過程能力”，許冬梅等也提出，展露過程對應準備階段，而醞釀和頓悟兩個階段可整合為注意過程，驗證階段也是解釋過程。從數學創造的角度來看，波利亞在《怎樣解題》中提出解題的四個階段：弄清題意、擬定計劃、實施計劃、回顧，弄清題意大致相當于準備階段，擬定計劃相當于醞釀階段，擬定計劃不斷使用的探索法和啟發法也有助于個體因知識遷移而產生頓悟，實施計劃大致相當于驗證過程，而且回顧階段的檢驗和反思，更加有助于學習者的數學創造力的提升。

第一階段，準備期是創造者進行創造工作的前置階段，創造者從領域的知識體系中學習創造所需的專門知識，并使用習得的知識和能力處理具有創造性的問題。創造者須使用聚斂思考模式和邏輯性的方法分析眼前的問題，對比創造者的專業技能是否足以處理，在非凡的創造（歷史性的創造）中，從學習專業技能到接觸領域知識版圖的邊界，再到發現足以突破邊界的問題少則數年多則數十年（十年法則），創造者在提出具有歷史意義的創造產出時，大多已經過長期的準備期。一般認為，較長的準備期能夠提供較高的醞釀效果。第二階段，當創造者面對問題并發現本身的專業技能無法尋找出問題的解答，創造者將暫時停止尋找解答，同時進入所謂的醞釀期。一般而言，心理學家普遍認為，醞釀期是研究者克服心智疲勞的階段，該階段是心智經過長時期的狂熱和緊張的工作需要一段時間的休息克服疲憊感，適當的放松有利于個體產出新的方法和觀點。當個體在面對創造力情境時，一旦得到特定的解法后，很容易僵化或盲目的使用舊方法到新問題上，卻往往忽略較為容易的解答。而學生在數學創造的醞釀過程中通過重組過去的知識與對比題目的條件，在反復的組合和對比的過程中，學生對于舊知識產生新的認識。第三階段，頓悟經常是瞬時的反應，創造者經常在從事沒有關聯性的活動或問題時，原問題的解答卻突然浮現于腦海中。但從醞釀到頓悟的過程是如何發生的，依然是創造力研究中非常熱門的議題之一。迄今為止，有多個理論探討頓悟發生過程，如不適當心向遺忘理論和遠距連結理論[29]。不適當心向遺忘理論是在準備期的階段創造者對問題作出本身并不存在的錯誤假設或限制，在醞釀期時個體可嘗試忽略相關的錯誤假設擴大問題可能的解答，使得創造者更容易在可能的解答中尋找到適合的解法；遠距連結理論是創造者在面臨新的問題時，與問題相似的舊問題立即浮現在腦海中，對新問題并不適當的舊解法限制了個體的思維空間，創造者唯有忽略或舍棄舊有的相似解法才能創造出新的產出。Amabile建議個體在面臨問題時可嘗試打破常規思維、突破已有的問題解決方案束縛和重新感知三個方法探尋問題的解答[30]，但醞釀期也可能不是用意識性的思考而是用潛意識思考問題，所以有頓悟的現象。頓悟的發生經常來自創造者將問題放置并將焦點轉移到其他的問題。頓悟階段是突然了解問題解決的關鍵所在，答案突然閃現于腦海中。第四階段，驗證階段則重新回到有意識思考的方式，檢驗所求得的答案是否正確，并重新尋找答案的適當表達方式。創造者重新面對問題并嘗試驗證頓悟的解答是否正確。根據心向遺忘理論，個體可擱置問題，等待問題沉淀于長期記憶中后解答浮現的概率較常時期面對問題要高。

4.數學創造力的產品

Amabile認為，創造力的產品至少包括三個基本成分：領域關聯技能、創造力關聯技能和工作動機[31]。對于數學創造力而言，在Amabile看來，數學創造力形成的產品應該具備的成分見表1所示。

表1中，特殊領域技能構成創造的準備狀態，關聯技能則關系著對信息反應的搜集。此外，個體工作動機的高低，亦會影響其在特殊領域技能和創造力關系技能上的學習與準備，同時也會影響其創造過程中對任務的認知與對信息的搜尋。埃爾溫克（Ervynck）認為，數學創造可以劃分為三個階段[32]，每個階段都貫穿數學創造力因素，第一個階段是運用某種數學程序或技術的簡單操作或應用，涉及的數學事實或原理較為簡單，這個階段主要體現的是學生是否具有學習動機、好奇心以及挑戰困難的勇氣和信心；第二個階段是包括實施數學程序，按照一定的算理進行分析、假設、推理等活動，這個階段主要涉及的是關聯技能；第三個階段是建構性數學活動，這個階段是一個發散的思考過程，通過合理的猜想建構有意義的新概念、新方法、新技術等，在具有強烈的問題解決動機的情況下，通過運用相關聯的數學知識和技能，在適切的認知形態下生產出新的數學理論、方法以及其他產品，這就是數學創造力的表現。

謝明初等基于數學教育觀的視角從數學的問題提出和問題解決兩方面來刻畫數學創造力，“能夠提出新的問題或對原有問題提出新的不同認識視角；能發現新的數學公式、定理或能夠獨立推導公式、證明定理；對非常規性的數學問題能提出獨特的、富有洞察力的解決方法”[33]。這些認識問題的“不同認識視角”“發現新的數學公式、定理或獨立推導公式、證明定理”以及對非常規問題的“解決方法”均是數學創造力的產品，其中的視角、公式、定理等即為模式。這些創造力產品在埃爾溫克提出的三個階段中亦同樣存在著數學關聯技能、創造力關聯技能和問題解決動機這三個因素。教師在數學學習活動過程中可依據創造情境中所提的各項要點，建構出能夠培養學生數學創造力學習的適切情境。此外，由于數學學習活動通常采用問題解決的過程，且期望通過該過程幫助學生成功解決問題。教師在引導學生解決問題時，可以采用激發學生的創造動機策略。總體來講，教師若能通過各種情境課程中的數學學習活動為學生提供數學創造力培育的機會，對于學生數學創造力的提升無疑有極大的幫助。

5.數學創造力指標

數學創造力是影響個體在數學活動中的行為表現的關鍵因素，個體從事數學創造力研究需要在明晰相關的數學概念的基礎上，探究個體數學創造力如何產出、數學創造力如何表現以及如何測量數學創造力。故討論學生是否具有良好的數學創造力以及如何培養學生的數學創造力，首先要厘清數學創造力的指標。

Guilford從數學創造力產品的特征的角度提出，可以把流暢性、變通性、原創性和精致性作為數學創造力的四個核心指標[34]，并且以此四個核心指標作為評價學生數學創造力的核心框架。其中，“流暢性”是在短時間內所連續產生許多想法的能力，思維的流暢性提升從事數學領域的問題的想法，數學創造力中主要可以通過學生提出問題的數量和質量來衡量；“變通性”是能使用不同的方法實施問題解決，思維的變通性有利于產生高度不尋常類型的情境或遷移產生出多元的問題解決模式，實踐中可以用一題多解和一法多用來表示；“原創性”是能提出不尋常的或新穎的方法的能力，原創性意指在數學問題解決中有不尋常的反應，人們可以發現非顯而易見的甚至可能是無關性的解決方案，可以利用問題解決的方法和技巧來刻畫；“精致性”是將所得到的結果加以延伸或改善，可以利用學生對問題的變式、問題的拓展和延伸能力。其中，流暢性和變通性必須具備靈活的發散思維能力。

目前大多數學者依然采用此四個指標作為數學創造力測量的核心。但是，越來越多的學者從更多、更廣泛的視角提出數學創造力指標，如Ali Bicer等提出，可以將數學學習的自我效能感和問題提出能力作為數學創造力的指標[35]。Pitta-Pantazi等認為，認知形態與數學創造力指標也具有關聯性，學生的認知形態分成空間的、實物的和口語的三種[36]，發現空間的和實物的認知形態與數學的流暢性、變通性和原創指標呈正相關，口語的認知形態和數學變通性以及其他指標呈負相關。那么，這些研究對于使用創造力量表測得學生的創造力是否完備，有待進一步的探究和討論。此外，現今的教育領域由學生的能力培養轉向素養發展，“創新素養包括創新人格、創新思維和創新實踐三個要素。創新人格側重于情意因素；創新思維側重于內在的思維過程和方法；創新實踐側重于外顯的行為投入，它是創新素養落地的重要抓手”[37]。如此，數學創造力指標還應該包含個體人格、動機、思維方式和問題解決能力等。

本文在Amabile、Guilford等的研究基礎上，進一步綜合國內學者相關研究成果，給出數學創造力評價指標及測評工具，見表2所示。

需要注意的是，數學創造力指標尚需進一步研究完善。否則，把“研究者”對于數學創造力不夠完善的觀點呈現出來，即按此指標測試學生數學創造力水平，僅能測量出學生在數學創造力上部分行為或反應，從而造成所測得的結果可能窄化了數學創造力研究的范疇或忽略了數學創造力的豐富內涵。

三、提升學生數學創造力的教學建議

1.學習方式在獨立思考和合作交流之間統籌

數學創造力是在建構數學知識或問題解決過程中體現出來的，故以問題解決與問題發現為基礎的個別任務可以刺激學生的創造力，在實施問題解決的過程中，需要合理關注“獨立思考”和“合作學習”的轉換。實踐中，教師可培養學生獨立思考，自主發現問題、分析問題，通過對問題進行符號式量數化，進而建構適切的模式實施問題解決，這個過程就是體現學生具有數學創造力的過程。Peressini與Knuth也建議，從事創造價值的數學工作應鼓勵學生獨立自主，采取循序漸進的系列方法求解，嘗試引導學生觀察顯著的數學概念，最后要求學生反思自己的論證并思考開放性的問題[38]。程慧認為，學生獨立自主“提出數學問題或解決方案，體現了數學創造力的流暢性、新穎性和靈活性。同時產品中的數學創造力得分率為77%，屬于‘良好’一類”[39]。從數學創造力的角度思考，教師應提供學生適當獨立思考以引導學生自主學習、探索、建構概念和假設、檢驗、論證、采用策略和說明與檢驗結論的機會。

程黎等研究表明，課堂文化也是發展學生創造力的一個重要因素，“融洽的師生關系和尊重個性的同伴關系將促使學生更多地表達創意；關注學生的自我成長將會激發學生更高的創造動機；平等民主的課堂將促使學生產生更多的創造性行為”[40]。Neumann認為可以通過營造有效環境來提升學生數學創造力[41]，這種“有效環境”特別強調交流與合作，具體包括：提供互動的環境，通過和其他正在處理相同問題的工作者交換自己的新想法能使創造者對自己的新想法有更多不同的認知。如劉國雄通過改善教學環境，針對創新能力的具體指標，以合作交流為載體，“從特色課程建設、課堂教學改革、評價機制改革三條路徑入手，著力培養學生的創新意識、創新思維、創新精神和實踐能力”[42]。而且將合作交流運用于各種教學法中，對于學生的創造力培養都是有益的，如張欣通過強調合作交流，發現“分層教學用于提升學生的數學創新能力是有效的”[43]。

總之，培養學生的數學創造力，就是要在數學課堂上讓學生合理進行獨立自主和合作交流。首先，由“十年法則”可知，創造力的產品形成過程中，需要個體獨立自主地進行“長時思考”，這也需要教師思考如何改進傳統教學強調的“快速”“準確”，幫助學生發現數學知識并引導學生將新的知識應用于不同的情境，使學生對數學概念能產生頓悟的感受，也可通過課堂對話或交流來導向學習的時間延長以提升學生的數學創造力，這是改善學生數學創造力產出環境、提升數學創造力產品質量的條件。其次，無論是在學生獨立思考抑或合作交流的過程中，均可增加學生挑戰困難題目的經驗，亦有部分學者采用多元解題的教學方式，其目的均在使得學生有更長的醞釀階段聯系不同的數學概念。最后，隨著計算機輔助教學的普及，教學中可通過多媒體技術實現“涵養學科‘智慧’，激發創意靈感；‘智享’新穎創材，激活問題意識，活用‘智能’技術，激發創新潛能”[44]等以引發學生思考的品質或交流的深度。

2.思維訓練在“發散思維”和“聚斂思維”之間并重

Chamberlin和Masitoh的研究指出“發散思考”的能力和創造力中的流暢性或變通性有高度的關聯性，甚至認為發散思考的人具有較高的創造力[45]。關于培養思維的變通性可通過多元解題的教學方式，將同一道問題提出多種解決問題的方法；具有變通性的學生，經常會有令人驚奇的解法。Agoestanto等通過研究發現，“創造性問題解決學習模式能夠提高數學創造性思維能力，而且發現學生的學習興趣對數學創造性思維能力有顯著影響”[46]，影響的關鍵在于解決問題的過程中靈活地結合已知的想法和過去學習的知識以提出創新途徑解決問題。因此，靈活的思維是提升學生數學創造力重要的能力之一，其本質上是提升學生“心智過程的彈性”，即打破僵化思考的能力。而具有良好的數學創造力的學生，其心智通常不受固定解題方法的限制，能自由地切換到不同的思維角度。數學能力較好的學生通常較具有靈活處理數學問題的能力，能不受固定形式的約束使用具有創造性的解題方式，且擁有將所學推廣到未曾面對過的數學問題的能力。思維的彈性在數學領域中十分重要，數學資優生經常具備自由跳脫直線思考的過程和輕易轉換正反面思維的能力。因此提升學生變換不同角度思考和解讀問題的能力，有助于提升學生的數學思維的彈性和數學創造力中的變通性。

重視學生發散思考的一個重要舉措就是在課堂上強調一題多解，一題多解要求學生采用不同方法解決一個數學問題，為了避開使用創造力量表測量可能造成的偏誤，部分學者利用一題多解的方式分析探討數學創造力的變通性和靈活性。Levav-Waynberg與Leikin針對330個學生進行一題多解的研究，結果指出通過一題多解的課程能提升學生的數學創造力中的正確性、流暢性和變通性[47]，因此一題多解的課程環境比傳統學習環境提供更多的機會展示及激發學生的數學創造力。

在升學壓力下，教師在教學上多務求學生快速、正確與嚴謹解題，要求學生的作答過程必須經過縝密的“聚斂思考”的過程，更要求學生細心寫下每個證明的步驟，其評價的方式是驗證學生證明過程的演繹推理是否環環相扣，達成做工精細的美麗數學作品。數學教師更是在每次的教學過程中均將每個步驟細心寫下供學生模仿。雖臨摹大師的畫作能提升自己繪畫的技術，但藝術的價值更重要的是作品本身的創造性，過度地模仿使得個體失去自我的特色。數學的價值亦是如此，而且現今的數學教學現場教師太過于琢磨名師的成果，許多時候留給學生觀察與發現卻不是遵從自身的教學現實，導致學生對數學的理解僅停留在記憶、邏輯與推理的階段。如果希望改善學生對數學的認知，我們就應該利用數學問題中的復雜性，使學生體驗到數學中發現的感受不應僅限于展現數學的邏輯性，也不能讓學生對數學的感知僅停留在技能技巧層面上的嚴謹與困難，卻失去數學領域中最重要的發現與創造，雖然在數學科學中嚴謹性是非常重要的，但這并非多數的數學教師在課堂上強調聚斂思考和邏輯推理重要性的理由，實踐中還是要求學生的成果滿足創造力指標中的“精致性”“變通性”。

3.教育取向在適度掌握知識和發展問題解決能力之間取得平衡

大量的研究表明，“知識對學生數學創造性表現具有重要性”。創造力的一個重要特征是新穎，實踐中要防止陷入所謂的新穎（無法用舊知識綜合出來的創造性產出）誤區。因為數學創造力中的“新穎”并非全然地無中生有，重點在于基于舊經驗基礎上的“再創造”，或者是將不同的想法加以整合，這樣的整合通常是非常多的但只有極少數的整合是有用的。觀察學生的解題經驗容易發現，學生面對非常規性問題時，其解決過程通常是反復重組過去的舊經驗，并嘗試比對與題目所提供的條件是否吻合。即使最后未能尋找出合適的解法，但在反復的組合和比對的過程中，學生也會對舊的知識和經驗有更深入的再認識。若數學創造力是舊知識或已知模式再結合，這在某種程度上隱含著個體具備較多的舊經驗，當這些舊經驗再重組時則擁有較多可供選擇的合成路徑。因此，從事數學工作的創造者需要較多的時間學習知識以積累經驗。但“知識和創造力存在著所謂的張力理論，即倒U關系”[48]。掌握知識并不意味著強調學生過度學習，“過多的知識和操作自動化并不會帶來創造性的成果，相反會損傷知識運用的靈活性，形成思維定式；過分強調知識和邏輯的情形，使得大腦左半球得以發展，而與創造力有關的右半球則被忽視；還容易讓學生持有模式化解題的消極觀念，從而阻礙想象力，限制好奇心和放手操作”[49]。

在數學發展過程中，數學基本能力（如記憶力、計算能力和邏輯能力）和數學創造力密不可分。缺乏數學基本能力是無法在已知的知識下提出新穎的解題方法或發展高度抽象性的數學模型；反之過度強化學生數學知識的記憶過程或數學計算能力的熟練掌握程度則關閉了學生學習彈性思考的重要過程，因此數學基本能力是數學創造力的重要保證。

在教學的過程中應依照學生的數學能力給予不同的課程內容，尋求保持“長時思考”與“快速、準確解題”的平衡，在學生習得足夠的數學知識和基本技能后提供具有創造性的思考環境，引導學生通過“再思考”來 “鏈接”相關的數學知識和技能，提升學生的數學基本知識和基本技能的深入認識。如此，方能夠在保證學生問題解決的效率過程中，促進學生的數學創造力發展。

4.評價指標在個體特質和社會性之間均衡兼顧

在教育實踐中，評價對于人才培養和教育教學有直接的導向作用。為更好地改善學生的數學創造力，教師在從事數學創造力的教育研究時，首要的任務是尋找數學創造力指標以發展學生數學創造力，數學創造力指標也即數學創造力的重要因素，由前文探討可知，數學創造力指標主要包括個體特質和社會性因素兩個方面。

個體特質方面，一是問題引發學生的好奇心和意義感。教師宜嘗試多鼓勵學生探索學習領域，教學目標要少一些功利色彩，在學生能力所及的范圍內提供學生挑戰自己的機會，讓學生感受到學習的樂趣和成就感。二是學生的數學創造力表現的階段性特征。如學生可能長時間投入于對數學問題的思考，當其能持續投入更多的時間在創造過程中的準備階段，這對于提升學生的數學創造力可能有較好的成果。三是內在動機能夠有效激發學生的數學創造力。教學中應避免契約性的獎賞破壞學生的內在動機，使得學生將學習當作是獲得獎賞的工作。社會性因素方面，除之前探討的課堂文化外，學生自身也要具備“學會做人、學會做事、學會與他人共同生活”等親社會行為的能力。因為具有親社會行為的人，一般都具有良好的價值觀和批判思維能力，在面對問題時，能夠輕易跳出自身視角的局限，增強其觀點整合能力從而有利于創造力表現。“親社會行為的實施可以減少行為者主體的消極情緒，并促進其內部動機、積極情緒、自我效能感以及整體心理健康水平的提高，從而為創造性思維與活動的發揮創設有利的心理機制”[50]。并且，親社會行為的能力可以增加其“在群體內獲取合作與社會支持的機會，從而為創造力的展現提供更多的外部支持”。當然，數學創造力從產出至最終形成創造力產品，個體因素和社會性因素不可分割，是有機統一的。

總之，時代要求“思考如何融合創造教育文化以助力創造教育內生發展，如何通過實踐賦能理論以建構本土創造教育體系，如何轉換研究視點以關注學生的創造性學習，以及如何探索創造力評價機制以保障創造教育落實效度”[51]，因而要著眼于國際視野，立足于現實問題與挑戰，“樹立以創新能力培養為核心的課程目標，促進課程知識觀的轉型，開發以創新能力培養為導向的課程內容；加大課程實施觀的轉向，助推以創新能力培養為核心的課程實施；加強課程評價觀的反思，確立以創新能力培養為時代追求的課程評價”[52]。

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[作者：王寬明（1974-），男，安徽全椒人，江蘇理工學院 數理學院，教授，博士；陳世亨（1972-），男，江蘇常州人，江蘇省常州市清潭中學，校長，中學高級教師，碩士。]

【責任編輯 王澤華】