基于分段三穩態勢函數的隨機共振信號濾波算法

中圖分類號：TN911 文獻標志碼：A

Abstract：Aimingattheproblemthatitisdificulttoefectivelyextracttheacousticsignalinthestrong noiseenvironmentof undergroundmine，asignal filtering algorithmof piecewisethree steady-statestochasticresonance wasproposedbasedon three steady-state stochasticresonanceandcombinedwith piecewise bi-stable potential function.Aimingatthe problemsof lowsignal-to-noiseratio，severe parametercouplingandoutput saturationof traditional stochastic resonance output，a piecewisethree steady-state nonlinearsystem model wasconstructed.The systemmodelcanindependentlyadjust the welldepth， well position andbarriersteepness toiduce theoptimal thre steady-state stochasticresonance.Basedontheoutput signalto-noise atio，theparameterswereoptimizedbyartificialfishswarmalgorithm（AFSA）toimprovethesignalfilteringeffct of piecewisethreesteady-statestochasticresonance.Theresultsshowthatthesignal filteringalgorithmofsegmentedthree steady-statestochasticresonaneismorefectivethanotherclasscalalgorithms，improvingheoutputsignal-to-noiseatiof procesing downholeacousticsignaland providingabeter methodfortheextractionofdownholeacousticcommunicationsignal.

Keywords：signal procesing；stochasticresonance；piecewise potential function；frequencyshift variablescale；articial fish swarm algorithm

近年來，隨著智能完井技術的不斷發展，以聲波 為介質的無線傳輸技術逐漸受到重視。測井信息的獲取對評價工程質量及儲層狀況有里要意義。傳統的有線數據傳輸方式具有工藝復雜、維護成本高等缺點，而聲波通訊技術以成本低、傳輸速度快等優點，日益獲得關注[1-3]。而井下聲波傳輸技術在國內發展較晚，且聲波發生器安裝位置深，傳輸中存在信號衰減及強噪聲干擾的問題，因此需要改進信號濾波算法以提取強噪聲背景下的聲波信號。信號處理的傳統方法主要是以盡量抑制噪聲為目的，來提高系統輸出的信噪比，主要包括時頻分析法、經驗模態分解法、小波變換等。這類方法在提取強噪聲背景下的微弱信號時，存在信號失真及輸出信噪比低的問題。而隨機共振能夠將噪聲能量向有用信號頻率處轉移，在不損壞有用信號的前提下提高信噪比，為微弱信號檢測提供了一種有效方法。大量學者圍繞經典雙穩態勢函數[4-7]，對隨機共振進行了研究及應用。朱娟娟等8利用隨機共振與集合經驗模態分解相結合檢測軸承微弱故障信號，提高了檢測精度；Huidobro等[9]利用隨機共振增強微弱的腦電圖信號，使其整體相干性得到了顯著增強；湯佳琛[1提出分段混合雙穩態勢函數，該勢函數能夠避免傳統勢函數輸出飽和的問題，并應用于故障信號檢測。而井下背景噪聲強度大，當雙穩態隨機共振應用于井下聲波信號處理時，存在輸出信噪比較低的問題。為提高隨機共振系統的輸出信噪比，近些年發現三穩態隨機共振在微弱信號檢測時具有對噪聲利用率更高的特點[1-13]。Lu等[14]提出一種三穩態勢函數，并證明其特性優于傳統雙穩態勢函數，能夠有效提高系統輸出信噪比；Singh等利用三穩態隨機共振應用于磁共振成像，提高了檢測垂體微腺瘤的準確性[15]；令璐璐等[16]利用三穩態隨機共振降低了2FSK信號在Levy噪聲驅動下的誤碼率。但是這些研究采用的均是傳統三穩態隨機共振方法，而傳統三穩態勢函數由于含有高次項 x⁶ ，且系統參數之間嚴重耦合，存在輸出飽和及系統參數難以調節的問題。針對上述問題，筆者結合分段雙穩態勢函數特性和三穩態隨機共振優勢，并融合人工魚群自適應算法，提出一種基于分段三穩態勢函數的隨機共振信號處理算法。

1 隨機共振理論基礎

1.1 經典隨機共振理論

隨機共振理論在信號處理方面應用廣泛。雙穩態隨機共振是經典的隨機共振系統模型，一般用朗之萬方程進行描述，表示為

其中

式中， A 和 ω 分別為微弱周期信號幅值和頻率; D 為噪聲強度; ξ（ξ_t） 為白噪聲； U（x） 為隨機共振的勢函數。

經典隨機共振勢函數為

式中， a，b 為雙穩態系統參數。

雙穩態勢函數如圖1所示。圖中，勢壘為勢函數的極大值，位于 x_b=0 處，高度為 ΔU=4a/b² ;勢阱為勢函數的極小值，位于 處。

圖1雙穩態系統勢函數

Fig.1 Bi-stable system potential function

當系統沒有信號輸入時，雙穩態系統在兩個勢阱處最穩定，粒子處于勢阱中；當輸入信號能量較小時，粒子由于能量不足而無法越過勢壘，因此只能在一側勢阱中運動。當系統中只包含噪聲，系統會在兩勢阱間以Kramers粒子逃逸率躍遷。而當有效信號、噪聲信號和雙穩態系統間呈現良好協同時，噪聲能量將推動粒子克服勢壘高勢能，在兩勢阱間以有效信號頻率周期性躍遷，呈現有效信號波形，達到信號降噪的效果。但是由于經典隨機共振勢函數中含有四次項，當 |x| 取值較大時，勢函數會因為四次項的存在而變得非常陡峭，此時系統輸入增大對系統輸出影響很小，系統輸入和輸出呈現一種飽和特性。

1.2分段雙穩態勢函數模型

為了解決經典隨機共振系統輸出飽和的問題，改善隨機共振系統的輸出特性，需要消除經典雙穩態勢函數中 x⁴ 項的影響， Xu 等[17]提出一種分段非線性隨機共振，其系統勢函數表示為

式中， a，b 為不小于0的系統參數。

通過對式（2）和式（3）給定系統參數，可得經典雙穩態和分段雙穩態勢函數曲線，如圖2所示

圖2經典雙穩態與分段雙穩態勢函數 Fig.2 Classical bi-stable and piecewise bi-stable potential function

由圖2可知，分段雙穩態勢函數的勢壘陡峭度大幅度下降，勢阱的寬度增大，粒子躍遷所需能量減少，系統輸出幅值較傳統隨機共振增大，有效解決了經典雙穩態勢函數存在的輸出飽和問題，有助于提高系統信噪比，但是分段雙穩態隨機共振仍是以雙穩態勢函數為基礎，無法有效提高隨機共振系統的輸出信噪比，

1.3 三穩態勢函數模型

為提高隨機共振系統的輸出信噪比，提出了三穩態隨機共振勢函數模型，其勢函數模型為

式中， c 為系統參數，且為大于零的常數

通過對式（4）給定系統參數 ?，b，c 可得三穩態隨機共振勢函數模型曲線，如圖3所示。

由圖3可以看出，三穩態隨機共振含有兩個勢壘，三個勢阱，當參數 a 增大時，勢函數兩側勢阱及中間勢壘增高，有利于隨機共振現象產生；當參數 b 增大時，勢函數兩側勢阱位置降低，兩側勢壘陡峭度增大，不利于粒子遷移；當參數 增大時，勢阱及勢壘陡峭度同時迅速增大，有利于隨機共振的產生。

雖然三穩態勢函數可以更好地利用噪聲能量向有用信號頻率處轉移，有效解決了雙穩態隨機共振輸出信噪比低的問題，但是其參數耦合性強，不利于參數調節，極大影響了勢函數的多樣性，且由于在勢函數邊界函數處存在高次項 x⁶ ，存在嚴重的輸出飽和問題。

圖3 三穩態勢函數

Fig.3Tri-stable potential function

2 基于分段三穩態勢函數的隨機共振信號濾波算法

為了解決傳統三穩態系統存在參數耦合嚴重和輸出飽和的問題，通過利用三穩態勢函數模型對噪聲利用率更高的特點，并結合分段雙穩態勢函數模型能夠有效克服系統輸出飽和特性的優勢，提出一種新型的分段三穩態勢函數模型。以輸出信噪比為目標，通過人工魚群算法進行參數尋優后，將含噪信號輸入分段三穩態隨機共振模塊，進行降噪處理，得到濾波后的聲波信號。

2.1分段三穩態隨機共振系統設計

為提高系統輸出信噪比，避免系統出現輸出飽和現象，結合分段隨機共振勢函數抗輸出飽和特性及三穩態隨機共振系統輸出信噪比高的優勢，將式（3）和式（4）結合，提出一種分段三穩態隨機共振勢函數模型，其表達式為

其中

K₂³ ）

式中，系統參數 K₁，K₂，U₁，U₂，L 均為不小于0的實數。

分段三穩態隨機共振勢函數含有3個勢阱或2個勢壘，由式（5）可知，3個勢阱穩態點位置分別為

0_?±K₂ ，中間及兩側勢阱深度分別為 U₁，U₂ ，兩側勢壘陡峭度與參數 A 呈正相關，中間勢壘陡峭度由 K₁ 及勢阱深度 U_?1 共同決定。如圖4所示，當參數 U₂= 2，K₂=2，A=1 時，隨著參數 U₁ 由1減小到0.5及K_r 由1減小到0.5，中間勢阱深度降低，寬度減小，其兩側勢壘陡峭度增加。當參數 U₁=1L，K₁=1 時，隨著 U₂ 由2增加到2.5及 K₂ 由2增加到2.5，兩側勢阱深度增加，其穩態點位置向兩側平移。隨著 A 由1增大至2，兩側勢壘陡峭度增加。因此該勢函數可以實現勢阱穩態點位置、勢阱深度及勢壘陡峭度的獨立調節，有效解決了傳統三穩態勢函數參數嚴重耦合不利于誘導最佳隨機共振的問題。并且，當 U₁，K₁ 趨向于0時，勢函數趨向于分段雙穩態勢函數，邊界函數最高次項為 x² ，因此其保留了分段雙穩態勢函數抗輸出飽和特性的優勢，消除了傳統三穩態勢函數中 x⁶ 的限制，有助于提高系統輸出信噪比及輸出信號強度。

圖4勢函數與系統參數關系

Fig.4Relationship between potential function andsystemparameters

2.2分段三穩態隨機共振系統響應速率

隨機共振系統對微弱信號響應速率一般采用粒子首次躍遷時間（MFPT）[18]描述。MFPT值越小，布朗粒子在勢阱間躍遷速度越快，隨機共振系統對微弱信號響應速率越快。將式（5）代入式（1），可得分段三穩態隨機共振系統模型。根據絕熱近似原理[19-20]，三穩態系統相鄰兩勢阱間的粒子躍遷概率為

將式（5）帶入式（6）可得3個勢阱間粒子躍遷 概率分別為 7）

由于微弱信號幅值 A?D ，且信號頻率遠小于勢阱間粒子躍遷頻率，因此可以忽略微弱信號作用，并得到3個勢阱間Kramers逃逸率：

由此可推導出三勢阱間的粒子平均躍遷時間T_mfp 為

圖5為系統參數 K₁=0.6，K₂=2，U₁=0.5，U₂= 時，系統參數變化對MFPT的影響。由圖5（a）、（b）可以看出，隨著參數 K_r 增大，兩側勢阱變寬，中間勢阱變窄，由兩側勢阱躍遷所需能量增多，由中間勢阱躍遷所需能量減少，因此 T_mfp12 增大而（20 T_mfp21 減小。同理，由圖5（c）、（d）可以看出，隨著參數 K₂ 增大，兩側勢阱變寬而中間勢阱不變，因此（20 T_mfpl2 增大而 T_mfp21 不變。由圖5（e）、（h）可以看出，隨著 U₁，U₂ 增大，兩側勢阱及中間勢阱深度增加，將不利于粒子在勢阱相互躍遷，因此Tmfp12 和 Tmfp2l均不斷增大。由圖5（g）（h）可以看出，隨著 L 增大，兩側勢壘陡峭度增大，粒子將更易于由兩側勢阱向中間勢阱躍遷，因此 T_mfp12 逐漸減小，而 T_mfp21 與參數 L 無關。

2.3分段三穩態隨機共振系統輸出信噪比

分段三穩態隨機共振在處理微弱信號時，系統參數的選取對系統輸出至關重要，因此需要將系統參數調節至最優以誘導最佳的隨機共振效果。采用輸出信噪比為測量指標，信噪比SNR表示為

式中 I₀ 為有效信號頻率； S（f₀） 為有效信號功率； N

（f₀） 為噪聲功率； P 為輸出信號總功率。

考慮每個系統參數對系統輸出信噪比的影響，設置系統初始參數 K₁=0.5，K₂=1.2，U₁=0.1，U₂= 0.2，L=0.2 ，系統輸入為微弱周期信號和白噪聲的混合信號，其中有效信號幅值 A=0.4 ，有效信號頻率 f₀=0.01Hz 及白噪聲強度 D=5 ，并通過四階龍格庫塔法進行數值仿真。圖6為不同系統參數對系統輸出信噪比的影響。由圖6可以看出，它們均符合單峰曲線的規律，輸出信噪比隨著參數增大先上升后減小，表明存在最優參數使系統輸出信噪比最大。而對參數單獨優化會忽略參數之間的相互作用，且分段三穩態隨機共振系統參數較多，因此需要融合優化算法對系統參數進行尋優。

圖6不同系統參數與系統輸出SNR關系 Fig.6SNR relationships between different system parameters and system outputs

2.4分段三穩態隨機共振系統參數優化

由于分段三穩態隨機共振系統參數較多，使用經驗法調節耗時過長且無法精確誘發最佳的隨機共振效果，因此需要對分段三穩態隨機共振系統進行參數尋優，以此提高系統的濾波效果。采用人工魚群算法對上述參數進行優化。該算法全局尋優能力較好，能快速跳出局部最優值，對系統初值不敏感，魯棒性強，適用于隨機共振參數的尋優。以隨機共振的輸出信噪比為目標，利用人工魚群算法進行隨機共振參數優化，具體步驟如下。

步驟1：魚群初始化及人工魚狀態記錄。應初始化魚群參數，包括人工魚數量 N， 人工魚個體狀態X 、最大迭代次數、人工魚感知范圍、移動步長、擁擠度因子 δ 、試探次數、人工魚 i，j 之間的距離 d_ij= ∣X_i-X_j 及目標函數 Y 。其中，人工魚群目標函數為系統輸出信噪比，包括4種行為操作過程

（1）覓食行為。覓食行為指人工魚向目標函數值高的方向行動的行為。假設人工魚 i 的當前狀態為 X_i ，在其感知范圍內隨機選取一個狀態 X_j ，分別計算 X_i 和 X_j 的目標函數值，若 Y_jgt;Y_i ，該人工魚 i 向X_j 的方向移動一步，否則繼續在其感知范圍內隨機選取狀態 X_j ，若達到嘗試次數后仍未滿足前進條件，則該人工魚 i 執行隨機行為。

（2）隨機行為。隨機行為為人工魚在其感知范圍內隨機移動一步，能夠使人工魚在更大范圍內尋找最優狀態，為覓食行為的缺省行為。

（3）聚群行為。假設某一人工魚 i 的當前狀態為X_i ，在其感知范圍內搜索其他人工魚的數目 n_f ，并計算魚群中心位置 X_c ；然后通過擁擠度因子判斷中心位置是否擁擠，若 Y_c/n_fgt;δY_i ，則表明中心位置不太擁擠，并向中心位置移動一步，否則執行覓食行為。

（4）追尾行為。假設某一人工魚 i 的當前狀態為 X_i ，在其感知范圍內搜索函數 Y_j 最優人工魚 X_j ：然后通過擁擠度因子判斷人工魚 X_j 周圍是否擁擠，若 Y_j/n_fgt;δY_i ，則表明其周圍不太擁擠，并向 X_j 位置移動一步，否則執行覓食行為。

步驟2：執行魚群行為并記錄最優輸出信噪比的人工魚狀態。完成參數初始化后，利用目標函數對每條人工魚進行評價，并記錄最佳人工魚狀態及其對應的系統輸出信噪比。隨后人工魚群通過覓食、隨機、聚群、追尾4種行為，不斷更新人工魚個體狀態，生成新魚群，并通過系統輸出信噪比SNR進行評價，尋找最優狀態直至達到迭代上限。

步驟3：輸出最優輸出信噪比的人工魚狀態參數，完成分段三穩態隨機共振系統參數尋優，并應用于隨機共振進行信號處理。

2.5分段三穩態隨機共振算法整體流程

基于分段三穩態勢函數的隨機共振信號濾波算法流程主要分為兩步，第一步對采集信號進行預處理，第二步將預處理信號輸入分段三穩態隨機共振系統模塊進行處理

（1）根據絕熱近似原理，隨機共振僅適用于低頻的微弱信號，即信號幅值和頻率均小于1，而實際信號頻率多遠大于1，需要對輸入信號進行預處理在信號預處理模塊中，通過信號頻移方法，將輸入信號頻移至低頻段，并通過低通濾波器濾除高頻成分干擾，得到初步預處理信號

（2）在分段三穩態隨機共振模塊中，首先利用參數優化算法對分段三穩態隨機共振系統參數尋優，使得輸出信噪比達到最佳狀態，隨后將預處理信號輸入分段三穩態隨機共振系統得到輸出信號，完成對信號的降噪

則基于分段三穩態勢函數的隨機共振信號濾波算法的整體流程如圖7所示。

3仿真試驗

為驗證提出的基于分段三穩態勢函數的隨機共振信號濾波算法具有抗輸出飽和性及輸出信噪比高的優勢，使用MATLAB2018b與Labview2016相結合的方式搭建仿真試驗環境，對帶有噪聲的正弦信號進行處理。仿真過程中在輸入信號中添加近似于井下噪聲強度的高斯白噪聲，并采用分段雙穩態隨機共振、三穩態隨機共振及小波變換閾值法與本文提出的算法進行對比

3.1 算法抗輸出飽和性測試

為驗證分段三穩態勢函數模型能夠有效克服傳統三穩態勢函數的飽和特性，采用四階龍格庫塔法進行數值仿真。當勢函數參數 U_?1=0. 3，U_?2=0. 2， （204號K₁=1，K₂=2，L=0.5 ，輸人信號為頻率 0.01Hz 的正弦信號時，分段三穩態勢函數和傳統三穩態勢函數系統輸出幅值與輸入信號幅值 A 關系如圖8所示。由圖8可以看出，當信號幅值A為0.2時，系統輸入

幅值較小，無法滿足粒子由中間勢阱向兩側勢阱躍遷所需的能量，兩種方法輸出幅值均較小；當A增加到1.2時，粒子可以實現在三勢阱間相互躍遷，兩種方法輸出幅值快速增大至約2.5；而隨著A繼續增大至3.2，傳統三穩態隨機共振系統輸出幅值增加緩慢，系統趨于飽和狀態，而分段三穩態隨機共振系統輸出幅值不斷增加并由2.5增加至5.8，有效克服了傳統三穩態勢函數所具有的飽和特性。

3.2 算法輸出信噪比測試

為驗證分段三穩態隨機共振系統信號處理算法的有效性，采用輸入信號為幅值衰減的正弦信號，并加入與井下環境強度近似的高斯白噪聲作為輸入信號進行試驗仿真。

數值仿真過程中，輸入信號采用幅值 A=0. 1 ，頻率 f=0.01Hz 的正弦信號，并加入噪聲強度 D=2 的高斯白噪聲，采樣頻率 f_s=1000Hz 。自適應尋優方法采用人工魚群算法，系統參數設置如下：人工魚總數 N=60 ，初始尋優范圍為[0，10]，人工魚感知范圍為1，移動步長為0.5，繁衍代數為25，試探次數為25，擁擠度因子為0.618。系統輸入信號信噪比為 -24.2dB 。圖9為輸入信號時域圖和頻域圖。由圖9可以看出，輸入信號已經完全被白噪聲淹沒，呈現出雜亂無章的狀態，無法直接獲取信號中的有效信息。

分段三穩態隨機共振系統經過人工魚群參數尋優后，將預處理后的輸入信號輸入系統處理，系統輸出信號時域和頻域如圖10所示。由圖10可以明顯看到信號的周期性，頻率 f 周圍噪聲干擾明顯減弱，正弦信號頻率 f 處信號得到明顯增強，信噪比得到了顯著提高，此時系統輸出信噪比為 4.69dB 。

由于單級隨機共振系統對信號的降噪效果有限，所以為了進一步提高隨機共振在信號處理方面的效果，需要對系統進一步進行串級處理。采用三級分段三穩態隨機共振系統，后兩級隨機共振系統經過人工魚群算法對系統參數尋優處理后，將前級隨機共振輸出信號作為其輸人信號，各級信號處理結果如圖11所示。

由圖11可知，信號經過級聯分段三穩態隨機共振系統后能夠達到較好的降噪效果，且隨著級數增加，系統輸出信噪比逐步提升，各級系統輸出信噪比依次為4.69、5.72和 6.08dB 。

3.3 算法輸出信噪比對比

為驗證算法的優越性，取4組不同白噪聲強度下幅值 A=0.1 ，頻率 f=0.01Hz 的正弦信號分別通過本文提出的算法、小波變換閾值法、雙穩態隨機共振法和三穩態隨機共振法并以信噪比增益為評價指標進行對比，如表1所示白噪聲強度 D 分別為5和10時4種算法輸出波形如圖12、13所示。

由圖12、13可以看出，在不同白噪聲強度下，隨機共振法的輸出信噪比均高于小波變換閾值法，由此可見，隨機共振更適合處理強噪聲背景下的信號。與此同時，相比其他3種算法，在處理相同白噪聲強度下的正弦信號，提出的級聯分段三穩態隨機共振信號處理算法濾波效果最優，輸出信噪比最高。當白噪聲強度 D=10 時，本文算法輸出信噪比較小波變換閾值法高3.802dB，較傳統雙穩態隨機共振算法提高2.929dB ，較傳統三穩態隨機共振算法提高2.051dB 。且由表1可知，在不同白噪聲強度輸入下，本文算法降噪效果均優于其他3種濾波算法，可以有效提取強噪聲背景下的正弦信號，因此，本文算法更適用于對強噪聲背景下的井下聲波信號的降噪處理

4結論

（1）提出的分段三穩態隨機共振信號處理算法驗證了隨機共振應用于信號處理的可行性。

（2）驗證了分段三穩態隨機共振信號處理算法濾波效果的優越性，為井下聲波信號提取提供一種更優的方法；由于井下實際工況復雜，信號衰減嚴重，信號干擾存在多種因素影響，為提高算法在實際井下環境下的適用性，需要進一步的研究。

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