橢圓軌跡動(dòng)感單車(chē)核心腳踏機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)與有限元分析

中圖分類號(hào)：TH122；TB18 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1006-0316（2025）07-0072-09

doi ：10.3969/j.issn.1006-0316.2025.07.010

Abstract ∵ Based on the principles of human biomechanics， this paper introduces the eliptical motion trajectory of the elliptical machine into the design of the spinning bike，and proposes apedal mechanism with an eliptical trajectory for the spining bike that adopts a planetary gear transmission system. Through theoretical verification and finite element model simulation， this paper demonstrates that compared with the traditional spinning bike with a circular pedal trajectory， the mechanism designed in this paper can significantly reduce the knee pressure angle of the user under the same exercise intensity during use，thereby improving the transmision eficiency and reducing the impact on the knee joint. To verify the reliability of the mechanism， this paper constructs a multi-physical field coupling analysis model. Firstly，the dynamic load spectrum of key components is obtained by using the ANSYS rigid body dynamics module. Then， the strength check of important parts is conducted through the transient structure and static structure modules. This paper adopts the parametric modeling method to explore the nonlinear relationship between the radius of the key parts’relief groove and the maximum Mises stress，which provides a quantitative basis for subsequent structural optimization，offering areference and inspiration for the design of longevity of fitness facilities.

Key words ： eliptical trajectory ; spinning bike ; foot-pedal mechanism ; finite element analysis

動(dòng)感單車(chē)運(yùn)動(dòng)因其較好的有氧運(yùn)動(dòng)效果與輕松愉快的運(yùn)動(dòng)氛圍受到廣大健身愛(ài)好者的青睞[1-2]。并且由于動(dòng)感單車(chē)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單體積較小，成為很多家庭和健身房的選擇。但是市面上的動(dòng)感單車(chē)，其傳動(dòng)結(jié)構(gòu)與普通自行車(chē)相同，他們的腳踏運(yùn)動(dòng)軌跡均為正圓型。過(guò)高強(qiáng)度使用會(huì)對(duì)膝蓋帶來(lái)?yè)p傷[3]。

本文借鑒橢圓機(jī)的設(shè)計(jì)思路[4]，利用人體慢走、快走或跑步時(shí)，腳踝的運(yùn)動(dòng)軌跡近似于橢圓形的原理[5-6]，利用行星齒輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一款腳踏運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓的動(dòng)感單車(chē)。結(jié)合理論分析與有限元分析，對(duì)人腿一腳踏簡(jiǎn)化模型進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，相較于常規(guī)的動(dòng)感單車(chē)腳踏機(jī)構(gòu)，該款橢圓腳踏機(jī)構(gòu)的人腿膝部的壓力角更小；膝部壓力更小，相較于傳統(tǒng)動(dòng)感單車(chē)優(yōu)勢(shì)明顯。該設(shè)計(jì)符合人因工程學(xué)的設(shè)計(jì)理念[7]，為用戶提供了更舒適、高效、安全的健身體驗(yàn)。

相較于傳統(tǒng)的動(dòng)感單車(chē)，該款橢圓軌跡的動(dòng)感單車(chē)結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，為了驗(yàn)證機(jī)構(gòu)可靠性，本文采用有限元方法進(jìn)行分析與校核。綜合利用剛體動(dòng)力學(xué)模塊、瞬態(tài)結(jié)構(gòu)與靜態(tài)結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度校核；通過(guò)對(duì)重要零件—一行星齒輪軸進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)，討論了退刀槽圓角半徑與最大Mises應(yīng)力之間的關(guān)系。為優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

1創(chuàng)新點(diǎn)論證

所設(shè)計(jì)的橢圓軌跡動(dòng)感單車(chē)可以使用戶的踝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)為橢圓形，如圖1為踝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡簡(jiǎn)化示意圖。

圖1蹬車(chē)踝關(guān)節(jié)軌跡示意圖

L₁， ： L₂ 分別為圓形和橢圓軌跡下的腳踝到坐墊的距離； α₁， a₂ 分別為圓形和橢圓軌跡下的膝部壓力角； β₁. ： β₂ 分別為圓形和橢圓軌跡下的膝部傳動(dòng)角； Δ_a 為大腿長(zhǎng)度；b為小腿長(zhǎng)度。

膝部傳動(dòng)角 β 計(jì)算公式如下：

橢圓軌跡下的 L₂gt;L₁， ，因此有 β₂gt;β_1°

壓力角 a 的計(jì)算公式如下：

由 β₂gt;β₁ 可得 α₂lt;α_1°

從上述分析可知，用戶在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中膝部施加作用力的壓力角更小，更有助于腿部發(fā)力，傳動(dòng)效率也更高。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證橢圓軌跡運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，人體腿部關(guān)節(jié)所受的反作用力相較于圓形軌跡更小，根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn) GB/T10000-1988 中國(guó)成年人體尺寸[8建立的人體腿部模型如圖2所示。進(jìn)一步利用有限元仿真技術(shù)，分析人體腿部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的關(guān)節(jié)受力情況[9]。

在對(duì)腿部模型進(jìn)行仿真分析的過(guò)程中。前處理部分對(duì)關(guān)節(jié)進(jìn)行固定約束，其余連接處設(shè)置為轉(zhuǎn)動(dòng)副約束。在應(yīng)用材料中，新建人體骨質(zhì)材料，楊氏模量為 1.8×10¹⁰Pa ，密度為1200kg/m² ，泊松比為0.32，拉伸極限應(yīng)力為1.5×10⁸Pa ，并對(duì)模型進(jìn)行材料賦予[10]。約束方面給予標(biāo)準(zhǔn)地球重力 9.8066m/s² ，方向豎直向下；腳踏反作用力 300N ，方向豎直向上；固定軌跡約束（圓形軌跡半徑為 245mm ；橢圓軌跡長(zhǎng)半軸 245mm ，短半軸 175mm） 。自動(dòng)網(wǎng)格劃分后求解，后處理顯示腳踝運(yùn)動(dòng)軌跡和膝關(guān)節(jié)處所受作用力的變化曲線，如圖3所示。

從膝關(guān)節(jié)所受作用力變化曲線可看出，當(dāng)腳部運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)橢圓時(shí)，膝關(guān)節(jié)所受最大作用力為 31.757N ，而按照?qǐng)A形軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，膝關(guān)節(jié)所受最大作用力為 114.8N ，兩者相差近四倍。可以驗(yàn)證在橢圓軌跡運(yùn)動(dòng)過(guò)程中人體腿部關(guān)節(jié)所受沖擊減小，證實(shí)了橢圓軌跡的優(yōu)越性。

圖2人體腿部模型

2核心腳踏機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1橢圓軌跡方案設(shè)計(jì)選擇

本文所設(shè)計(jì)的是一款橢圓軌跡動(dòng)感單車(chē)，而末端軌跡為橢圓或類橢圓的機(jī)構(gòu)有行星機(jī)構(gòu)、四桿機(jī)構(gòu)、曲柄滑塊機(jī)構(gòu)和雙滑塊機(jī)構(gòu)等，如圖4所示。

（a）腳踝運(yùn)動(dòng)軌跡為圓形的示意圖

（b）圓形軌跡下膝部所受沖擊作用力

（c）腳踝運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓的示意圖

圖3腳踝運(yùn)動(dòng)軌跡和膝關(guān)節(jié)處所受作用力變化曲線

圖4（a）所示的行星機(jī)構(gòu)中，1為鉸接在oc 行星架 c 端的行星齒輪，2為圓心固定在 o 點(diǎn)的中心齒輪， CM 桿與行星齒輪相對(duì)靜止，且行星齒輪的節(jié)圓直徑為中心齒輪節(jié)圓直徑的一半。在行星齒輪繞 o 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，末端M點(diǎn)可實(shí)現(xiàn)橢圓軌跡。圖4（b）（c）所示的四桿機(jī)構(gòu)和曲柄滑塊機(jī)構(gòu)可通過(guò)選取特定位置的 K 點(diǎn)實(shí)現(xiàn)橢圓軌跡圖4（d）所示的雙滑塊機(jī)構(gòu)中，選取連桿上一點(diǎn) C 當(dāng) c 在一般位置時(shí)軌跡為橢圓。

圖4四種橢圓軌跡實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)

四桿機(jī)構(gòu)與曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的 K 點(diǎn)位置變化會(huì)顯著影響軌跡形狀與尺寸，導(dǎo)致設(shè)計(jì)和加工精度要求較高。相比之下，行星機(jī)構(gòu)的 M 點(diǎn)軌跡和雙滑塊機(jī)構(gòu)的 c 點(diǎn)軌跡穩(wěn)定性更高，但雙滑塊機(jī)構(gòu)尺寸較大且加工復(fù)雜。行星機(jī)構(gòu)因齒輪為標(biāo)準(zhǔn)件，加工簡(jiǎn)便，且其結(jié)構(gòu)緊湊、體積小巧，適合家庭和健身房使用。綜上所述，本設(shè)計(jì)選用行星機(jī)構(gòu)作為橢圓軌跡動(dòng)感單車(chē)核心腳踏機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方案。

2.2核心腳踏機(jī)構(gòu)建模

本文選用橢圓行星機(jī)構(gòu)作為核心腳踏機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方案，主要包括曲柄、行星齒輪、中心齒輪、行星齒輪軸、中心軸和行星架等零部件。如圖5所示。

曲柄與行星齒輪通過(guò)周向四個(gè)螺栓進(jìn)行固定。行星齒輪軸將曲柄、行星齒輪和行星架間的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，在腳踏帶動(dòng)曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中使行星架繞中心軸一并轉(zhuǎn)動(dòng)。中心齒輪與行星齒輪嚙合，并且固定安裝在機(jī)架上，齒數(shù)是行星齒輪的兩倍。

圖5核心腳踏機(jī)構(gòu)

建模完成后，通過(guò)SolidwordksMotion模塊繪制腳踏運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示，該軌跡經(jīng)檢驗(yàn)確為橢圓。

圖6核心腳踏機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡

3核心腳踏機(jī)構(gòu)的有限元分析

3.1裝配體整體的全剛體行為的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué) 仿真分析

由于上述模型結(jié)構(gòu)對(duì)稱，為簡(jiǎn)化仿真流程降低有限元計(jì)算量，取右半邊模型進(jìn)行分析。

將SolidWorks中裝配體模型文件導(dǎo)入到ANSYSWorkbench中進(jìn)行有限元分析，用于仿真的簡(jiǎn)化模型如圖7所示。

用于全局。分別對(duì)曲柄末端、行星架、齒圈螺栓、曲柄與行星齒輪軸、外齒輪與行星齒輪軸、行星齒輪架附近、皮帶輪、中心軸的連接關(guān)系進(jìn)行設(shè)置，對(duì)關(guān)鍵零部件進(jìn)行Body-BodyJoint的設(shè)置，為方便齒輪接觸關(guān)系的設(shè)定，對(duì)小齒輪和大齒圈的部分接觸面進(jìn)行命名選擇操作。其中齒輪的接觸關(guān)系設(shè)置為Frictional（摩擦的）摩擦系數(shù)設(shè)置為0.15，更新剛度設(shè)置為每次迭代。

隨后進(jìn)行網(wǎng)格劃分，在全剛體行為的瞬態(tài)結(jié)構(gòu)中使用自動(dòng)方法，并對(duì)部分齒輪接觸面進(jìn)行面尺寸調(diào)整，調(diào)整單元尺寸 （elementsize）為 5mm 至此，前處理模塊設(shè)置完畢。

3.1.2整體結(jié)構(gòu)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)的求解

首先將計(jì)算總時(shí)長(zhǎng)設(shè)置為1s，初始子步設(shè)置為25步，最小子步設(shè)置為20步，最大子步設(shè)置為250步。

隨后為整個(gè)裝配體設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)地球重力，為正確加載核心腳踏機(jī)構(gòu)的時(shí)變載荷，設(shè)定人在平地騎行自行車(chē)過(guò)程的踩踏頻率為 _n1=90r/min 騎行時(shí)腳踏機(jī)構(gòu)的輸入功率 P^′=1000W^[11] 。通過(guò)研究腳踏力與曲柄轉(zhuǎn)角關(guān)系[12-14]，為了在工程上簡(jiǎn)化，利用正余弦函數(shù)擬合腳踏力曲線具體腳踏力求解得：小齒輪齒數(shù) z₁=35 ，大齒輪齒數(shù) z₂=70

3.1.1整體結(jié)構(gòu)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)的前處理

在模塊選擇方面，為了方便后續(xù)剛?cè)狁詈辖Y(jié)構(gòu)分析的進(jìn)行，首先將所有識(shí)別出的零部件的剛度行為（stiffnessbehavior）設(shè)置為剛體（rigid），材料選用ANSYS默認(rèn)的結(jié)構(gòu)鋼（structural steel）。

坐標(biāo)系選用系統(tǒng)默認(rèn)的笛卡爾坐標(biāo)系，應(yīng)行星齒輪軸的近似角速度計(jì)算如下：

式中： ω_i 為行星齒輪軸的近似角速度； n₁ 為踩踏頻率，即為行星齒輪軸轉(zhuǎn)速。

經(jīng)計(jì)算得 ω_i≈9.42 。

通過(guò)機(jī)架反轉(zhuǎn)法可得：

式中： ω_H 為機(jī)架角速度； ω₂ 為中心軸角速度，為多體動(dòng)力學(xué)模塊中在中心軸處加載的角速度數(shù)據(jù)。

求解得 ω₂=4.71 rad/s。

平地騎行過(guò)程中[15]：

式中： P 為腳踏機(jī)構(gòu)的輸出功率； d為滾動(dòng)摩擦阻抗消耗的功率 為風(fēng)阻消耗的功率； 為慣性阻抗消耗的功率。

忽略風(fēng)阻，假設(shè)騎行過(guò)程為勻速，則：

這證明腳踏機(jī)構(gòu)的輸出功率 P 僅與騎行速度的一次方有關(guān)，在本文數(shù)學(xué)模型中，即僅與橢圓軌跡任意一點(diǎn)的速度 ? 有關(guān)。對(duì)于腳踏機(jī)構(gòu)，有：

P^′=F?ν=F_xν_x+F_yν_y

式中： P^′ 為腳踏機(jī)構(gòu)的輸入功率 ;F 為腳踏力；? 為橢圓軌跡任意一點(diǎn)的速度 ∴ν_x，ν_y 分別為機(jī)構(gòu) 方向的分速度； F_x， （20 F_y 分別為腳踏在 x， y 方向上的分力。

忽略做工損耗，則：

P=P^′

橢圓軌跡任意一點(diǎn)的速度 u 在 x 方向與 y 方向上的分解可以如下：

u_x=（l₁+l₂）sin（ω₂t）

u_y=（l₁-l₂）cos（ω₂t）

式中： （l₁+l₂） 為橢圓軌跡長(zhǎng)軸長(zhǎng)度； （l₁-l₂） 為短軸長(zhǎng)度， t 為時(shí)間。

由正余弦函數(shù)性質(zhì)可得：

cos²（ω₂t）+sin²（ω₂t）=1

再利用正弦函數(shù)擬合腳踏力曲線，假設(shè)：

F_x=C₁sin（ω₂t），F(xiàn)_y=C₂cos（ω₂t）

式中： C₁ 、 C₂ 為利用待定系數(shù)法求解的兩個(gè)未知常量。

聯(lián)立公式（7）～（12）可得：

取 P=1000W ，可得： P^′=P=1000 W，ω=4.71rad/s，l₁=210mm，l₂=175mm

將以上參數(shù)代入計(jì)算得：

F_x=259.98sin（4.71t+1.005）

F_y=363.97cos（4.71t+1.005）

將上述得到的載荷譜函數(shù)作為全剛體行為動(dòng)力學(xué)分析得到的載荷條件進(jìn)行加載，并在中心軸處施加繞 Z 軸的旋轉(zhuǎn)速度

加載完畢后進(jìn)行求解，在后處理部分插入運(yùn)動(dòng)副位置探針和部分受到交變載荷作用的零件的支反力探針，得到行星齒輪軸與中心軸的支反力數(shù)據(jù)，分別如圖8、圖9所示。

圖8行星齒輪軸支反力曲線圖

圖9中心軸支反力曲線圖

通過(guò)上述結(jié)果分析可以反證SolidWorks中生成的橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡合理，完成上述的動(dòng)力學(xué)分析后進(jìn)行剛?cè)狁詈辖Y(jié)構(gòu)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析。

3.2裝配體多軸及零部件的剛?cè)狁詈嫌邢拊治?/p>

回到前處理部分依次更改腳踏曲柄、行星齒輪軸和中心軸的剛度行為為柔性（Flexible），中心軸、行星齒輪軸、網(wǎng)格單元尺寸為 4mm 腳踏曲柄網(wǎng)格單元尺寸為 10mm 。腳踏曲柄的加密對(duì)前處理及求解的其他設(shè)置保持不變。

求解完畢后，在后處理結(jié)果中插入總變形（totaldeformation）、等效應(yīng)力（equivalentstress）、最大主應(yīng)力（max principal stress）等結(jié)果查看工具，各零部件結(jié)果如下：

腳踏曲柄所承受的最大Mises應(yīng)力出現(xiàn)在殼體與幾何不連續(xù)處，為 20.406MPa 。應(yīng)力分布如圖10（a）所示。

行星齒輪軸最大Mises應(yīng)力 （188.69MPa） 出現(xiàn)在退刀槽的幾何突變處，應(yīng)力分布如圖10（b）所示。所承受的交變載荷對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的使用壽命影響最大，故對(duì)行星齒輪軸進(jìn)行子結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模來(lái)完成進(jìn)一步的有限元分析。

中心軸危險(xiǎn)截面的最大Mises應(yīng)力為0.01834MPa ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中呈現(xiàn)局部的輻向分布。應(yīng)力分布如圖10（c）（d）所示。

（a）腳踏曲柄Mises應(yīng)力云圖

（b）行星齒輪軸Mises應(yīng)力云圖

通過(guò)以上分析，腳踏曲柄、中心軸、行星齒輪軸的最大Mises應(yīng)力均小于材料的屈服極限 （250MPa） ，但因行星齒輪軸承受較大的交變載荷，其壽命對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的壽命影響最為顯著，故對(duì)行星齒輪軸進(jìn)行進(jìn)一步分析。

3.3行星齒輪軸的有限元分析及外伸研究

鑒于本結(jié)構(gòu)所受載荷的時(shí)間效應(yīng)微乎其微，選擇ANSYSWorkbench中的靜態(tài)結(jié)構(gòu)（StaticStructural）進(jìn)行不同參數(shù)條件下仿真結(jié)果分析[16]。分別選擇一倍、三倍和五倍施加載荷用為條件進(jìn)行仿真分析。對(duì)三倍和五倍施加載荷作用下的后處理結(jié)果進(jìn)行結(jié)果分析。

3.3.1行星齒輪軸靜態(tài)結(jié)構(gòu)仿真分析的前處理及求解

前處理的建模環(huán)節(jié)，保持其他條件不變，對(duì)退刀槽圓角半徑進(jìn)行調(diào)節(jié)，從 0.4mm 開(kāi)始至2mm 為止，共設(shè)計(jì)9個(gè)梯度。網(wǎng)格尺寸設(shè)置為四面體主導(dǎo)，單元尺寸設(shè)置為 1mm ，生成網(wǎng)格如圖11所示。

圖11外延短軸網(wǎng)格劃分圖

通過(guò)行星齒輪軸在裝配體中的受力分析，邊界條件還原軸上套筒及軸承約束。分析設(shè)置選擇默認(rèn)的系統(tǒng)設(shè)置后添加標(biāo)準(zhǔn)地球重力，并還原前文所述施加的載荷譜。

3.3.2行星齒輪軸仿真的后處理結(jié)果研究

不同退刀槽圓角半徑下的最大Mises應(yīng)力數(shù)值如表1所示，將其導(dǎo)入MATLAB中進(jìn)行曲線擬合，得到擬合方程為：

σ_?1=11.6755^*R²-42.3002^*R+100.4188

σ₂=34.3484*R²-125.3807*R+300.9594

式中： σ₁ 為1倍載荷等效應(yīng)力； σ₂ 為3倍載荷等效應(yīng)力； σ₃ 為5倍載荷等效應(yīng)力； R 為圓角半徑。

表1不同退刀槽圓角半徑下的最大Mises應(yīng)力

曲線擬合如圖12所示。

圖12不同退刀槽圓角半徑下最大Mises應(yīng)力擬合曲線

由以上分析可知：隨著退刀槽圓角半徑減小，Mises應(yīng)力明顯增大；當(dāng)退刀槽圓角半徑從2mm 減少到 0.4mm 時(shí)，最大Mises應(yīng)力從62.004MPa 增加到 85.706MPa ，表明應(yīng)力集中隨著圓角減小而顯著增加。從數(shù)據(jù)中也可以看到，等效應(yīng)力的增加不是線性變化，分析可能是由于應(yīng)力集中系數(shù)在小半徑下急劇增加；為了減少應(yīng)力集中，可以盡量選擇較大的退刀槽圓角半徑。

4結(jié)論

本文設(shè)計(jì)的“橢圓軌跡動(dòng)感單車(chē)”利用行星齒輪機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)腳踏的橢圓軌跡。該設(shè)計(jì)使得人腿膝關(guān)節(jié)處的壓力角更小，傳動(dòng)效率更高，對(duì)膝關(guān)節(jié)的沖擊作用更小，符合人因工程學(xué)的設(shè)計(jì)理念。通過(guò)有限元技術(shù)，結(jié)合剛體動(dòng)力學(xué)模塊和瞬態(tài)與靜態(tài)結(jié)構(gòu)模塊的綜合應(yīng)用，本文得出以下結(jié)論：各重要零件的最大Mises應(yīng)力均低于材料的屈服極限。然而，行星齒輪軸承受較大的交變載荷，對(duì)其壽命影響顯著。通過(guò)對(duì)行星齒輪軸的參數(shù)化設(shè)計(jì)，詳細(xì)探討了退刀槽圓角半徑與最大Mises應(yīng)力的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)該關(guān)系并非線性，這與應(yīng)力集中現(xiàn)象有關(guān)。此研究為健身設(shè)施的壽命延續(xù)設(shè)計(jì)提供了參考與借鑒意義。該設(shè)計(jì)獲得2024年全國(guó)三維數(shù)字化創(chuàng)新設(shè)計(jì)大賽“云道杯”CAE仿真應(yīng)用工程設(shè)計(jì)專項(xiàng)賽上海賽區(qū)特等獎(jiǎng)，全國(guó)一等獎(jiǎng)。

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