數學近似助力物理分析，化繁為簡探索科學真理

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A

在物理學中，我們經常需要進行近似計算來簡化復雜的問題。小角度的近似是一種常見的方法，它可以幫助我們快速而準確地解答問題，尤其是在高中物理很多公式的推導以及復雜運算中有重要的應用。

1 小角度近似法的誤差分析

當 ΔABC 的頂角 θ 很小時，三角形的直角邊 AC 近似等于斜邊 _AB ，此時可以把 θ 、 sinθ tanθ 看作相等，如圖1所示。

圖1頂角很小的直角三角形

表1為小角度的弧度值、正弦值和正切值的對比。

表1 θ 角較小時的弧度值、正弦值和正切值對比

通過表1可以看出，當角度 θ 非常小（接近零）時，其弧度值、正弦值和正切值可以近似相等。具體來說，當角度 θlt;lt;1 （單位為弧度）時有：sinθ≈θ，tanθ≈θ

（1）具體范圍

通常認為，當 θlt;0.1 弧度（約 5.7^° 時，這種近似是合理的。

在物理學和工程學中，為了確保較高的精度，常采用 θlt;0.05 弧度（約 2.86^° ）作為近似條件。

（2）誤差分析

當 θ=0.1 弧度時， sinθ≈0.099 833，誤差約為 0.17% 。

當 θ=0.05 弧度時， sinθ≈0.049 979 ，誤差約為 0.042% 。

因此，角度 θ 越小，近似程度越高。這種近似在物理學的振動、波動、光學等領域中有廣泛應用，極大地簡化了計算過程。

2 小角度近似法的應用

2.1 向心加速度大小的證明

設勻速圓周運動的半徑為 r ，線速度大小為σ_v ，從 A 點到 B 點的圓心角為 θ ，作出速度變化量Δv ，如圖2所示。

圖2向心加速度的大小計算

因速度的矢量三角形為等腰三角形，則有 因 θ 極小，則 極小，故有 可得向心加速度的大小為

2.2 火車的理想轉彎速率推導

當火車轉水平彎時，外軌和外車輪的擠壓產生的彈力提供向心力，車輪變形和磨損會出現安全隱患；通常將外軌墊高來滿足較大的速度轉彎。假設火車的質量為 ?_m ，轉彎半徑為 R ，軌道的傾角為 θ ，內外軌的距離為 L ，內外軌的高度差為h ，重力加速度為 Π_g ，如圖3所示。

圖3火車轉傾斜彎示意圖

當火車以理想速率 v 轉彎時，要求內外軌道和內外車輪均不能產生擠壓，故只有軌道對火車的支持力和重力的合力提供向心力，即 mgtanθ= 火車的車身較高，為了避免在傾斜彎道上因重心較高而翻車，彎道的傾角 θ 通常很小，故 ，聯立解得火車的理想轉彎速率為

2.3 單擺回復力的推導

單擺做簡諧運動的回復力是由重力 mg 沿圓弧切線的分力 F_tI=mgsinθ 提供（不是擺球所受的合外力），如圖4所示。

圖4單擺的回復力

當 θ 很小時（要控制擺角 θlt;5^° ），圓弧 s 可以近似地看成直線 x ，則有 ，切線的分力 F_tJ 可以近似地看作沿這條直線作用，這時可以證明 。可見，在偏角很小的情況下，單擺振動時的回復力跟位移成正比，而方向與之相反，是簡諧運動。

2.4 雙縫干涉的光程差推導

圖5為楊氏干涉實驗裝置的示意圖，其中 s 為線光源， S₁，S₂ 為兩個狹縫，距離為 d ，與光屏相距為 ^l，O 為兩狹縫的中點，過 o 點的中垂線與光屏的交點為 P₀ 。當光源 s 發出的光同時傳到 S₁ S₂ 時，兩狹縫可以看成兩個新光源，它們滿足相干條件，為相干光源。故此兩光源發出的光將在光屏上形成干涉圖樣，屏上某點 P₁ 的明暗情況則由 S₁，S₂ 到 P₁ 的光程差決定。

圖5楊氏干涉實驗裝置

在圖5中的線段 P₁S₂ 上作 ，于是 。由于兩縫之間的距離 d 遠遠小于縫到屏的距離 ξ_l ，所以能夠認為 ΔS₁S₂M 是直角三角形，且 S₁M⊥OP₁ ，故 ∠P₁OP₀=θ 。根據三角函數的關系，有 δ=r₂-r₁=dsinθ 。當 θ 角很小時，有 sinθ≈ tanθ ，可推得光程差為

2.5 薄膜干涉的條紋間距推導

當光射向介質膜時，會在薄膜的兩個側面發生反射，兩束反射光在人射光一側就會疊加發生干涉，形成薄膜干涉。如圖6所示，設楔形薄膜的頂角為 θ ，光波長為 λ ，在 _A，B 兩處出現兩條相鄰的亮紋，在 A，B 兩處的薄膜厚度分別為 d₁，d₂ OA、OB 距離分別為 x₁，x₂ ，則 AB 為相鄰的兩條紋間距 Δx 。

根據干涉現象，在 A∨B 兩處出現亮條紋的條件為光程差為半波長的偶數倍，即 δi=2d=2n·（上接第73頁）動部件這一前提，只是抽象成理想滑輪；后者則連這個前提也不要，只要求光滑，即使不是滑輪也可以。比如，中學物理經常出現的光滑固定桿、光滑掛鉤和光滑小圓環就是屬于后者。兩種假定條件成立其一即可得出“滑輪兩側\"輕繩張力相等的結論。如果聯系真實物理情境，還是前一種假定更符合實際，而后一種假定 ，其中 n 為整數，則有 ，由于 θ 很小，則有 sinθ≈θ ，可得

圖6薄膜干涉

3結語

利用小角度近似法推導物理規律還有很多應用。在小角度近似法的世界里，物理與數學的邊界變得模糊而美妙。它不僅是簡化復雜問題的利器，更是揭示自然規律的一把鑰匙。通過這一方法，我們得以窺見物理現象背后的簡潔與優雅，感受到數學工具在探索宇宙奧秘中的無窮魅力。正如小角度近似法所展現的那樣，科學的偉大之處，往往在于用最簡單的原理揭示最深刻的真理。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]王鴻嘉“小角度近似”方法及其在物理解題中的應用[J].物理通報，2003（9）：10-11.

[3]彭前程.普通高中教科書物理必修第二冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

（欄目編輯 蔣小平）