模糊技能多映射的變精度模型與構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的矩陣方法

中圖分類號(hào)：TP182 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.13705/j.issn.1671-6841.2024151

文章編號(hào)：1671-6841（2025）05-0078-10

Abstract： Constructing knowledge structures based on variable precision α -models is one of the current research hotspots. Three types of variable precision competence models based on fuzzy skill multimaps with different threshold value ranges were extended，and the properties of the knowledge structures constructed by the models were discussed. It was proved that the knowledge structure families constructed were consistent. Based on this，a matrix approach for constructing knowledge structures based on fuzzy skill multimaps was proposed，and the feasibility and effectiveness of the method were verified by experiments.Furthermore，how the numbers of problems and skils in fuzzy skill multimaps affected the method's running time and space complexity was discussed.

Key words： knowledge space; knowledge structure; fuzzy skillmultimaps; variable precision competency model

0 引言

隨著人工智能技術(shù)的快速發(fā)展及現(xiàn)代教育的需要，個(gè)性化學(xué)習(xí)及指導(dǎo)的相關(guān)研究已得到了廣泛重視。其中知識(shí)空間理論（knowledge space theory，KST）是數(shù)學(xué)心理學(xué)的重要分支，旨在評(píng)估個(gè)體對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的掌握情況并進(jìn)行學(xué)習(xí)指導(dǎo)。該理論被應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)等學(xué)科[2-3]，且已在自適應(yīng)學(xué)習(xí)平臺(tái)ALEKS上進(jìn)行應(yīng)用[4]。近年來，研究者們?cè)谠璌ST的基礎(chǔ)上發(fā)展出基于能力的知識(shí)空間理論（competencebasedKST，CbKST）[5]，以描述和理解個(gè)體在特定知識(shí)領(lǐng)域的能力發(fā)展和知識(shí)獲取過程。為方便，本文后面的描述中將CbKST也稱為KST。

在KST中，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)是核心問題之一，也是進(jìn)一步規(guī)劃學(xué)習(xí)路徑的前提和基礎(chǔ)。已有研究者從不同的角度研究了知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。如李進(jìn)金等通過知識(shí)基建立了知識(shí)空間和形式背景之間的聯(lián)系，給出了構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的一種方法。周銀鳳等[運(yùn)用形式概念分析的方法，基于技能函數(shù)，尋找學(xué)習(xí)路徑并進(jìn)行技能評(píng)估。 Liu^[8] 將粗糙集中的上下近似算子與技能映射和技能多映射建立聯(lián)系，提出構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的方法。Sun等[9]在知識(shí)空間中引入模糊集理論，提出了基于模糊技能映射和模糊技能多映射構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的理論。

在KST中由技能映射誘導(dǎo)知識(shí)結(jié)構(gòu)有三種基本模型，即析取模型、合取模型和能力模型[10]。直接使用這些模型構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)則條件過于寬松或苛刻。楊桃麗等[引入了技能包含度和能力包含度的概念，建立了構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的變精度 α -模型和變精度 α -能力模型，在一定程度上解決了構(gòu)建條件過于寬松或苛刻的問題，但未對(duì)每個(gè)技能的熟練程度進(jìn)行刻畫。因此 ΔXu 等[12]提出模糊技能包含度和模糊能力包含度的概念，建立了基于模糊技能映射的變精度 α -模型和基于模糊技能多映射的變精度 α -能力模型。但模型中的 α 閾值取值范圍為（0，1]，如果閾值取值范圍不同，模型應(yīng)如何變化？變化的模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)族與原有模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)族有什么區(qū)別？另外，在文獻(xiàn)［12]中未介紹構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的具體算法。基于這些問題，本文討論了當(dāng)閾值取值為兩種不同區(qū)間時(shí)，提出的三種基于模糊技能多映射的變精度能力模型及它們之間的聯(lián)系，最后給出基于模糊技能多映射構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的矩陣算法，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1預(yù)備知識(shí)

對(duì)文中涉及的基本概念進(jìn)行介紹。

定義 1^[1] 設(shè) Q 為非空有限問題集， κ 是由 Q 的子集構(gòu)成的集族，若 κ 中至少包含 x 和 Q ，則稱 （Q，K） 為知識(shí)結(jié)構(gòu)。 κ 中的元素 K（K 為 Q 的子集）稱為知識(shí)狀態(tài)。

設(shè) （Q，κ） 是一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)，若 ?K_i，K_j∈K ，有 K_i∪K_j∈K ，則稱 （Q，κ） 為知識(shí)空間；若?K_i，K_j∈K ，有 K_i∩K_j∈K ，則稱 （Q，K） 為簡(jiǎn)單閉包空間。若 （?Q，κ） 既是知識(shí)空間又是簡(jiǎn)單閉包空間，則稱 （Q，K） 為擬序空間。U、是指分明集中的并和交運(yùn)算。

若 s 為一個(gè)非空有限技能集， s 上的模糊集合F（S） 為所有從 s 到區(qū)間[0，1］映射的集合，即F（S）={T∣T：S?[0，1]} 。為方便，記 T：S?[0 1]為 表示技能 s 對(duì)T 的隸屬度。對(duì)于某個(gè)技能 s ，有 T（s）=0 則忽略 基于 F（S） 的一些運(yùn)算的定義[9]為

T_?1=T_?2?T_?1（s）=T_?2（s），?s∈S; T₁?T₂?T₁（s）?T₂（s），?s∈S; ， ?s∈S Q

定義 2^[9] （20 三元組 （Q，S，μ） 為一個(gè)模糊技能多映射， Q 為非空有限問題集， s 為非空有限技能集， μ 為由 Q 到 的映射。

模糊技能多映射有兩種特殊的情形，對(duì)應(yīng)于模糊技能多映射的析取模型和合取模型。設(shè) （Q，S， μ ）為模糊技能多映射， ?q∈Q ，若每個(gè) C∈μ（q） 是單個(gè)模糊技能構(gòu)成的集合，可表示為 T（s），這里T，（s）表示解決問題q要求技能s的最低熟練程度，則 （Q，S，μ） 對(duì)應(yīng)于模糊技能多映射的析取模型。若 ?q∈Q ，有 μ（q）={C} ，其中C∈F（S） ，則 （Q，S，μ） 對(duì)應(yīng)于模糊技能多映射的合取模型。在合取模型下，特別地，可將 （Q，S，μ） 視為模糊技能映射。

注1在文獻(xiàn)［9]中基于模糊技能映射定義了F（S） 上的等價(jià)關(guān)系，則基于模糊技能多映射（ Q ，s_λ^μλ^μ） 定義 F（S） 上的等價(jià)關(guān)系如下。

設(shè) （Q，S，μ） 為一模糊技能多映射，且 s∈S ，

，將 {C_q（s）∈（0，1]：q∈Q} 中的所有元素按數(shù)值大小排序后記為

{C₁^s，C₂^s，…，C_i^s，…，C_ns^s}，

其中：

為方便，定義 。

則對(duì)于任意 T∈F（S） ，稱 T（s） 近似于 a_i^s ，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下面兩個(gè)條件，

1） 0?i?n_s-1 且 T（s）∈Γ[a_i^s，a_i+1^s） ;

2） i=n_s 且 。

對(duì)于 T ， T^′∈F（S），T 近似于 T^′ ，記為 T～T^′ 當(dāng)且僅當(dāng) ?s∈S，T（s） 近似于 T^′（s） ；對(duì)于任意 T ，所有與 T 近似的 T^′ 構(gòu)成的集合 T，T^′∈F（S）} ，記為 [T] ，而所有［T］構(gòu)成的集合{[T]：T∈F（S）} 記為 F（S）/～_oF（S）/～ 為有限集。

定義 3^[12] 設(shè)三元組 （Q，S，μ） 為模糊技能多映射，對(duì) q∈Q ， C_q∈μ（q） ， T∈F（S） ，稱

為問題 q 關(guān)于 C_q 和 T 的模糊能力包含度，記為μ_cq^T

若 （Q，S，μ） 的所有能力構(gòu)成的集合為

則 D（μ）={μ_cq^T∣C_q∈C，T∈F（S）} ，稱為模糊技能多映射 （Q，S，μ） 的模糊能力包含度集。

注2由于 F（S）～ 為有限集，對(duì)于 F（S）/～，T₁，T₂∈[T] ，有 ，則模糊技能多映射 （Q，S，μ） 的模糊能力包含度集 D（μ） 也是有限集。因此可以將模糊能力包含度集表示為D（μ）={β₁，β₂，…，β_i，β_i+1，…，β_n} ，其中 0=β₁lt; β_?2lt;…lt;β_?n=1 。

關(guān)于模糊能力包含度有如下結(jié)論[12]：

1）如 C∈C ，其中 |{s∈S∣C（s）gt;0} |為偶數(shù)，則 ∣D（μ） 」為奇數(shù)且

2）如對(duì)于 ?C∈C ， 為奇數(shù)，則 ∣D（μ） 」為偶數(shù)且 ；

β_i+β_n-i+1=1，i=1，2，…，n_c

由于模糊技能映射可視為模糊技能多映射（ （Q s_λ^μ） 在合取模型下的特殊情況，則定義3也適用于模糊技能包含度的計(jì)算。在后面的描述中都統(tǒng)一稱為模糊能力包含度。

定義 4^[12] 設(shè)三元組 （Q，S，μ） 為一個(gè)模糊技能多映射，對(duì)于 α∈（0，1]，T∈F（S） ，稱 K_T^α={q∈ 為由 T 通過模糊技能多映射的變精度 α -能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)。而 是由知識(shí)狀態(tài) K_T^α 構(gòu)成的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

2模糊技能多映射的變精度能力模型

由于基于模糊技能多映射的 α -變精度能力模型中， α 的取值區(qū)間為（0，1］，這里若取 α= 0，?T∈ F（S） K_T^α=K_T⁰=Q ，該模型無法構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)。那么當(dāng) α 取0或1時(shí)，如構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，模型應(yīng)如何變化？對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)有哪些影響？本節(jié)分別對(duì)閾值取值區(qū)間為[0，1）時(shí)的一種模型和取值區(qū)間為（0，1）時(shí)的兩種模型進(jìn)行定義，并對(duì)這些變精度能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)及各能力模型之間的聯(lián)系進(jìn)行討論。為區(qū)別 α -變精度能力模型，將新構(gòu)建的模型分別稱為基于模糊技能多映射的變精度 γ₁ ）γ₂，γ₃ -能力模型。

定義5設(shè) （Q，S，μ） 為一個(gè)模糊技能多映射，對(duì) q∈Q，C_q∈μ（q），T∈F（S），μ_ca^T 是問題 q 關(guān)于C_q 和 T 的模糊能力包含度。則當(dāng) γ₁∈[0，1） ， γ₂∈ （0，1）， γ₃∈（0，1） 時(shí)， T 通過變精度 γ₁，γ₂，γ₃- 能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)分別為

定理1 設(shè)三元組 （Q，S，μ） 為一個(gè)模糊技能多映射，則

均為知識(shí)結(jié)構(gòu)，其中： γ₁∈[0，1） 1 γ_?2，γ_?3∈（0，1） 。

證明 根據(jù)定義5，當(dāng) 時(shí)，?q∈Q，μ_cq^r=0 ，則對(duì)任意的 γ_?1∈[0，1），γ_?2，γ_?3∈ （0，1），有 。

當(dāng) 時(shí)， ?q∈Q，μ_cq^r=1 ，則對(duì)任意的 γ₁∈[0，1），γ₂，γ₃∈（0，1） ，有 Ψ=Q 。因此， 均為知識(shí)結(jié)構(gòu)。

若 （Q，S，μ） 為一個(gè)模糊技能多映射， D（μ）= {β₁，…，β_n} 0=β₁lt;…lt;β_n=1 ，為模糊能力包含度集，則在變精度 α -能力模型中，對(duì)任意的 α∈ （20 （β_i，β_i+1]，1?i?（n-1） 有 。因此可以通過選取 β₂～β_n 不同包含度值作為閾值去構(gòu)建不同的知識(shí)結(jié)構(gòu)。這在文獻(xiàn)[12]中已有說明。

類似地，對(duì)于變精度 γ₁，γ₂，γ₃- 能力模型有定理2。

定理2設(shè) （Q，S，μ） 為一個(gè)模糊技能多映射，D（μ）={β₁，…，β_i，β_i+1，…，β_n} 為模糊能力包含度集，則結(jié)論1）～3）成立：

1）當(dāng) γ₁∈[β_i，β_i+1），1?i?（n-1） 時(shí)，有 ;

2）當(dāng) γ₂∈[β_i，β_i+1），2?i?（n-1） 時(shí)，有（20 ;

3）當(dāng) γ₃∈（β_i，β_i+1]，1?i?（n-2） 時(shí)，有 。

證明1）當(dāng) γ₁∈[β_i，β_i+1） ， 1?i?（n-1） 時(shí)， ?T∈F（S） 有

而 β_i 和 β_i+1 之間沒有其他包含度值，則

因此 （204號(hào)

用1）的方法易證2）和3）成立。

注3由于取值的特殊性，定理2的2）中未考慮 γ_?2∈Γ（β_?1，β_?2） 的情況，定理2的3）中未考慮 γ₃∈ （β_n-1，β_n） 的情況。當(dāng) γ_?2∈（β_?1，β_?2） 時(shí)，由模糊技能子集 T 通過模糊技能多映射的 γ₂ -能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)記為 ，對(duì)應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)記為 。當(dāng) γ₃∈（β_n-1，β_n） 時(shí)，由模糊技能子集 T 通過模糊技能多映射的 γ₃ -能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)記為 ，對(duì)應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)記為

定理3設(shè) （Q，S，μ） 為一個(gè)模糊技能多映射，D（μ）={β₁，β₂，…，β_i，β_i+1，…，β_n} 為模糊能力包含度集，則有

1） ，

2） ，

3） 。

證明1） ?q∈Q ， T∈F（S） ，當(dāng) 1?i?（n- 1），由定義4，有

由于 β_i 與 β_i+1 之間沒有其他能力包含度值，則

由定義5，有

又由 ，因此， i?（n-1） 。

用類似的方法也可以證明2）和3）成立。

注4由注2，當(dāng) γ_?2∈（β_?1，β_?2） 時(shí)，由于 β_?1 與β_?2 之間沒有其他包含度值， ?T∈F（S） ，有

因此， 。

當(dāng) γ₃∈（β_n-1，β_n） 時(shí)，由于 β_n-1 與 β_n 之間沒有其他包含度值， ?T∈F（S） ，有

因此， （2

將基于模糊技能多映射的變精度 α -能力模型和變精度 γ₁，γ₂，γ₃ -能力模型構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)族分別記為

（204號(hào)由定理2及注3，可將 K_α，K_γ1，K_γ2，K_γ3 分別記為

其中： $＼gamma _ { 2 } ^ { 1 } ＼in ＼Lt ＼left（ ＼beta _ { 1 } ， ＼beta _ { 2 } ＼right） ; ＼gamma _ { 3 } ^ { n } ＼in ＼Lt ＼left（ ＼beta _ { n - 1 } ， ＼beta _ { n } ＼right）$ 。

定理4設(shè)三元組 （Q，S，μ） 為一個(gè)模糊技能多映射，基于模糊技能多映射的變精度 α -能力模型和變精度 γ₁，γ₂，γ₃? -能力模型構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)族分別為： ，則有

易證定理4成立。

由于模糊技能映射可以看作是模糊技能多映射在合取模型下的特殊情況。在文獻(xiàn)［12］中已證明當(dāng) α∈（0，β₂] 時(shí)，模糊技能映射通過變精度 α -模型誘導(dǎo)的是知識(shí)空間，而當(dāng) α∈（β_n-1，1] 時(shí)，模糊技能映射通過變精度 α- 模型誘導(dǎo)的是簡(jiǎn)單閉包空間。模糊技能多映射在合取模型下通過變精度能力模型誘導(dǎo)知識(shí)結(jié)構(gòu)也有類似的結(jié)論。

定理5設(shè)三元組 （Q，S，μ） 為模糊技能多映射。其中 ，有 μ（q）={C}，C∈F（S） 。D（μ）={β₁，β₂，…，β_n} 為模糊能力包含度集，其中0=β₁lt;β₂lt;…lt;β_n=1，K^α 為模糊技能多映射 μ 通過變精度 α -模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，則有

1）當(dāng) α∈（0，β₂] 時(shí)， K^α 是一個(gè)知識(shí)空間；

2）當(dāng) α∈（β_n-1，1] 時(shí)， K^α 是一個(gè)簡(jiǎn)單閉包空間。

該定理的證明與文獻(xiàn)[12]類似，故不列出。

對(duì)于模糊技能多映射在合取模型下通過變精度γ₁，γ₂，γ₃ -能力模型誘導(dǎo)知識(shí)結(jié)構(gòu)也有如下推論。

推論1設(shè)三元組 （Q，S，μ） 為模糊技能多映射，其中 ，有 μ（q）={C}，C?F（S） 。D（μ）={β₁，β₂，…，β_n} 0=β₁lt;β₂lt;…lt;β_n=1 為能力包含度集， 為模糊技能多映射 μ 通過變精度γ₁ -能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)， 為模糊技能多映射 μ 通過變精度 γ₂ -能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)， 為模糊技能多映射 μ 通過變精度 γ₃ -能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，則有

1）當(dāng) γ₁∈[0，β₂），γ₂∈（0，β₂），γ₃∈（0，β₂] 時(shí)， 均為知識(shí)空間；

2）當(dāng) γ_?1∈[β_n-1，1），γ_?2∈[β_n-1，1），γ_?3∈ （β_n-1，1） 時(shí)， 均為簡(jiǎn)單閉包空間。

易證推論1成立。

?T∈F（S） ， C∈C，C 是模糊技能多映射 （Q s_λ，μ） 中所有能力的集合。 D（T/C） 是關(guān)于 T 和 c 的模糊技能包含度。沿用文獻(xiàn)［12]中記

則

因?yàn)?D（μ）={D（T/C）∣C∈C，T∈F（S）}={β₁， （204號(hào)β₂，…，β_n} ，

且 β_i+β_n-i+1=1，i=1，2，…，n ，因此

注5在文獻(xiàn)［12]中，基于模糊技能多映射 μ 的變精度 α -能力模型定義

當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) s} 時(shí)， ；則 是知識(shí)結(jié)

構(gòu)。類似地，基于模糊技能多映射 （Q，S，μ） 的變精度 γ₁，γ₂，γ₃ -能力模型可分別定義

易證 ， 均為知識(shí)結(jié)構(gòu)。

由于對(duì)模糊技能多映射 （Q，S，μ） ，若 ?q∈ Q ，有 μ（q）={C}，C∈F（S） 。模糊能力包含度集為 D（μ）={β₁，β₂，…，β_n} ， 0=β₁lt;…lt;β_n=1 ，則對(duì)于變精度 α -能力模型有如下結(jié)論[12]，

與 K^α 互為對(duì)偶，其中 α∈（β_i，β_i+1] ，1?i?（n-1） 。特別地，當(dāng) α∈（β₁，β₂] 時(shí)， 與 K^α 互為對(duì)偶；當(dāng) α∈Γ（β_n-1，β_n] 時(shí)， 與K^α 互為對(duì)偶。

則對(duì)于模糊變精度 γ₁，γ₂，γ₃ -能力模型也有如下推論。

推論2設(shè) （Q，S，μ） 為模糊技能多映射，其中?q∈Q ，有 （2{…，β_n} 為模糊能力包含度集， 0=β₁lt;β₂lt;…lt; β_n=1 ，則有

1） 與 互為對(duì)偶， 1? （204號(hào) i?（n-1） 。特別地， 與 互為對(duì)偶； 與互為對(duì)偶。

2） 與 互為對(duì)偶，2?i?（n-2） 。另外， 與 互為對(duì)偶; 與 互為對(duì)偶， γ_?2^?1∈Γ（β_?1，β_?2） 。

3） 與 互為對(duì)偶，其中 3?i?（n-1） 。另外， 與 互為對(duì)偶; （204與 互為對(duì)偶， γ₃ⁿ∈Γ（β_n-1，β_n） 。

證明1）由注5知， （204號(hào) ，則 的對(duì)偶知識(shí)狀態(tài)為 。

由于模糊能力包含度集 D（μ）={β₁，β₂，…，β_n} 中， β_i+β_n-i+1=1，i=1，2，…，n ，則 1-β_i=β_n-i+1 。 （204號(hào)

則 與 互為對(duì)偶， 1?i?（n-1） 。特別地，當(dāng) i=1 時(shí)， 與 互為對(duì)偶；當(dāng) i=（n-

1）時(shí)， 與 互為對(duì)偶。

2）當(dāng) 2?i?（n-2） 時(shí)， 與 互為對(duì)偶的證明與1）類似。而當(dāng) 時(shí)，由于β_? 和 β_?2 之間沒有其他的能力包含度，因此用1）中的方法易證 與 互為對(duì)偶。

3）的證明與1）、2）類似，不再贅述。

3構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的矩陣方法

本節(jié)提出由前述四種基于模糊技能多映射的變精度能力模型構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的矩陣方法。前面已證四種模型構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)族均等同，因此本節(jié)以基于模糊技能多映射的變精度 γ₁ -能力模型為例進(jìn)行說明。

記號(hào)1為方便表示求解過程，將注1中所述F（S）～ 的各等價(jià)類標(biāo)記為 [T_ι] ，對(duì)于各等價(jià)類中包含的不同技能隸屬度區(qū)間標(biāo)記為 U_ij ，其中：（204號(hào) ∣S∣，j=1，2，…，n_si+1，s_i∈S，n_si=∣∣C_q（s_i）∈ （204號(hào) （0，1]：q∈Q}| 。

例1 （Q，S，μ） 為模糊技能多映射，其中：

Q={q₁，q₂，q₃，q₄}，S={s₁，s₂，s₃}

所有問題對(duì)應(yīng)的能力中技能 s_?1 的非0隸屬度值有0.7、0.9，因此將[0，0.7），[0.7，0.9），[0.9，1]三個(gè)區(qū)間分別記為 U₁₁，U₁₂，U₁₃ 。類似地，將技能 s₂ 的隸屬度區(qū)間［0，0.8），[0.8，1]分別記為 U₂₁ ，U₂₂ ；將技能 s₃ 的隸屬度區(qū)間[0，0.6），[0.6，0.7），[0.7，1]分別記為 U₃₁，U₃₂，U₃₃ 。取各技能的一個(gè)區(qū)間進(jìn)行組合可得 [T_ι] ， l=1，2，…，18 。可將[T_l] 與各技能隸屬度區(qū)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系用向量表示。

記號(hào)2設(shè) （Q，S，μ） 為模糊技能多映射， C∈ ，則由 [T_l] 與技能隸屬值區(qū)間 U_ij 的關(guān)系用列向量表示，記為

其中：

所有 [T_l] 對(duì)應(yīng)的列向量 λ_?Tl 構(gòu)成的矩陣記為P=（λ_T1，…，λ_Tl，…，λ_Tk）

例2以例1中的模糊技能多映射計(jì)算得到的[T_ι] 和各技能隸屬度區(qū)間，可以生成矩陣 P ，即

記號(hào)3沿 （Q，S，μ） 為模糊技能多映射， C∈ μ（q） 。模糊技能多映射 （Q，S，μ） 可以分解為一些模糊技能映射，記為 （Q，S，τ_h） ， h=1，…，p ，其中 ，且 ?q∈Q ，有 。設(shè) q_x∈Q，x=1，…，n，n=|Q| ，將 τ_h（q_x） 簡(jiǎn)記為 。用行向量的方式表示 ，記為 ω_x^h=（w₁₁^hx，… （20 w_ij^hx，…，w_t（nst+1）^hx） ，其中：

表示能力 中的技能 s_i 的隸屬度值。則所有 q_x 對(duì)應(yīng)的行向量構(gòu)成的矩陣記為

例3沿用例1的技能多映射， （Q，S，μ） 可分解為8個(gè)模糊技能映射。其中 ，則可將 τ_?1 表示為矩陣

矩陣各行對(duì)應(yīng)為 q₁～q₄ ，矩陣各列對(duì)應(yīng)為區(qū)間 U₁₁ ，U₁₂，U₁₃，U₂₁，U₂₂，U₂₃，U₃₁，U₃₂，U₃₃₀

定理6設(shè) （Q，S，τ_h） 為模糊技能映射，且?q_x∈Q ，有 ， C_qx∈F（S） ，則在 τ_h 下間

題 q_x 關(guān)于 [T_l] 的模糊能力包含度為

證明 根據(jù) ω_x^h 和 λ_?Tl 所表示向量的意義，易證 。

推論3由定理6，對(duì)于模糊技能映射 τ_h 關(guān)于[T_l] 的能力包含度矩陣為

。

例4應(yīng)用例2、例3的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算模糊技能映射 τ₁ 關(guān)于 [T_ι] 的模糊能力包含度矩陣為

其中： P 和 M¹ 分別與例2和例3中的一致。

記號(hào)4計(jì)算所有的 D^h ，將各矩陣中對(duì)應(yīng)的 取最大值作為最終的關(guān)于 μ 的模糊能力包含度矩陣，記為 。

中每列對(duì)應(yīng)的是在 μ 上 [T_ι] 關(guān)于 Q 中所有問題的模糊能力包含度，將每個(gè)模糊能力包含度值與模型閾值 γ₁ 比較，就能獲取 [T_ι] 通過變精度 γ₁- 能力模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)。

定義6設(shè) （Q，S，μ） 為模糊技能多映射， D= （20 為基于 μ 的模糊能力包含度矩陣，稱 （b_xl） 為模糊技能多映射 μ 通過變精度 能力模型構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的余矩陣，其中

將余矩陣 中相同的列保留其一，其余刪去，得到約簡(jiǎn)后的余矩陣 ，即可由 構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)。根據(jù) 中所有能力包含度值，可構(gòu)建能力包含度集 D（μ）={β₁，β₂，…，β_n} ，分別計(jì)算 γ₁ 不同取值時(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，即可得基于模糊技能多映射的通過變精度 γ₁ -能力模型構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)族。

下面給出由變精度 γ₁ -能力模型構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)族的算法。

算法1基于模糊技能多映射 （?Q，S，μ） 通過變精度 γ₁ -能力模型構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)族。

輸入：模糊技能多映射 （Q，S，μ） 。

輸出：知識(shí)結(jié)構(gòu)族Ky，。

1）對(duì) （Q，S，μ） 中各技能對(duì)應(yīng)隸屬度值進(jìn)行排序并得到各技能si所對(duì)應(yīng)的區(qū)間Ui；

2）計(jì)算所有 [T_ι] 和 U_ij 的對(duì)應(yīng)關(guān)系矩陣 P ;

3）將 （Q，S，μ） 分解為 p 個(gè)模糊技能映射 τ_h （ h=1，2，…，p） ，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的矩陣 M^h ;

4）分別計(jì)算 p 個(gè)模糊技能映射 τ_h 的模糊能力包含度矩陣 D^h ，并求得關(guān)于 μ 的模糊能力包含度矩陣 D ，計(jì)算模糊能力包含度集 D（μ） ;

5）從 D（μ） 中取值 γ_1d （ d=1，…，∣D（μ）∣） ，計(jì)算余矩陣 B^′′ ：

6）將 中相同的列僅保留其一，其余刪去，則得到約簡(jiǎn)后的余矩陣 （20

7）將 中的各列轉(zhuǎn)化為 Q 的子集表示，得到知識(shí)結(jié)構(gòu) ：

8）遍歷 D（μ） 中各包含度值，重復(fù)步驟5）～7），求得知識(shí)結(jié)構(gòu)族醫(yī)γ。

算法1中，步驟1）需遍歷各 μ（q） 中的能力，并對(duì)技能隸屬度值進(jìn)行排序，記 為 （Q，S，μ） 所有能力數(shù)，因此最大時(shí)間復(fù)雜度為 ），最大空間復(fù)雜度為O（n_c?∣S∣ ）。步驟2）中需生成 P 矩陣，但每列僅對(duì)每個(gè)技能對(duì)應(yīng)區(qū)間中的一個(gè)設(shè)置“1”，而矩陣的列數(shù)為 （2號(hào) ，所以最大時(shí)間復(fù)雜度和最大空間復(fù)雜度均為 O（∣S∣?n_k） 。步驟3）中，由于 的行數(shù)為問題數(shù) ∣Q∣ ，列數(shù)為區(qū)間數(shù) 1），所以最大時(shí)間復(fù)雜度與最大空間復(fù)雜度均為 。步驟4）中，使用推論3進(jìn)行計(jì)算，最大時(shí)間復(fù)雜度為 ，最大空間復(fù)雜度為 O（n_v?n_k） 。步驟5）～7）的最大時(shí)間復(fù)雜度為 O（n_k?max（Q，logn_k）） ），最大空間復(fù)雜度是 O（|Q|?n_k） 。綜上分析，算法1的最大時(shí)間復(fù)雜度為 O（∣Q∣?n_v?n_k） ，最大空間復(fù)雜度為O（|Q|?n_?U?n_?M） 或 O（n_v?n_k） ）。易見算法的效率與 等有較大關(guān)系。

下面例5中沿用例4的結(jié)果說明算法1中步驟 4）～8）的過程。

例5分別計(jì)算8個(gè)模糊技能映射 τ_h（h=1 2，…，8） 的模糊能力包含度矩陣 D^h ，并通過求解各 D^h 中對(duì)應(yīng)位置的最大值，求得關(guān)于 μ 的模糊能力包含度矩陣 。求得的本例中的 D 矩陣為

則

當(dāng) ，計(jì)算余矩陣 ，并對(duì) 中相同的列保留其一，其余刪去，得到 （20

同樣地，當(dāng) -，1），可計(jì)算得到B2分別將 和 的每一列轉(zhuǎn)換為 Q 的子集表示，得到知識(shí)結(jié)構(gòu) 和 ，即

則得到知識(shí)結(jié)構(gòu)族

實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為驗(yàn)證算法1的有效性，選取和處理數(shù)據(jù)集數(shù)據(jù)，構(gòu)造了9個(gè)模糊技能多映射進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。實(shí)驗(yàn)的硬件環(huán)境為Intel（R）Core（TM）i5-1035G1CPU和8GB內(nèi)存，軟件環(huán)境為Windows10、64位操作系統(tǒng)，Matlab（R2023b）。

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

從UCI（https：//archive.ics.uci.edu/datasets）數(shù)據(jù)庫(kù)中選取 Chemical Composition of Ceramic Sam-ples、Wine Quality 和 national health and nutritionhealth survey 2013—2014（NHANES） age predictionsubset3個(gè)數(shù)據(jù)集，將數(shù)據(jù)集中的對(duì)象視為問題，將屬性視為技能，對(duì)其中的數(shù)據(jù)進(jìn)行離散化、歸一化等處理，生成9個(gè)新數(shù)據(jù)集，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造9個(gè)模糊技能多映射，分別記為 （Q_i，S_i，μ_i），i= 1～9 ，如表1所示，其中： ∣Q_i∣ 表示問題數(shù)；∣S_i∣ 表示技能數(shù)； 表示 μ_i（q_x） 中所（20號(hào)含能力數(shù)。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)算法1，可求解出模糊技能多映射的能力包含度集和知識(shí)結(jié)構(gòu)。表1中 1F（S）/～ 1 為對(duì)模糊集 F（S） 等價(jià)劃分后等價(jià)類的個(gè)數(shù)，即 [T] 的個(gè)數(shù)； ∣D（μ） 「為模糊能力包含度集的能力包含度值個(gè)數(shù)； ∣K∣ 為誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)個(gè)數(shù)。

表1不同模糊技能多映射的能力包含度和知識(shí)結(jié)構(gòu)

Table 1 Competence inclusion and knowledge structure of different fuzzy skill multimaps

在實(shí)驗(yàn)中對(duì)算法的運(yùn)行時(shí)間和所占用存儲(chǔ)空間進(jìn)行記錄，對(duì)多次運(yùn)行得到的時(shí)間值和占用存儲(chǔ)量進(jìn)行平均，得到表2的結(jié)果。這里存儲(chǔ)空間占用主要以Matlab中工作空間存儲(chǔ)量作為依據(jù)。由表2可以得出，當(dāng)技能多映射產(chǎn)生的 ∣F（S）?～∣ 數(shù)值較大，則運(yùn)算量也會(huì)增大，且存儲(chǔ)量也大幅提高，如 （Q₁，S₁，μ₁） 。 ∣F（S）?～∣ 的大小與模糊技能多映射中各技能所具有的模糊值多少有關(guān)，模糊值越多，劃分的等價(jià)類就越多，算法需要占用的存儲(chǔ)空間就越大。

表2算法運(yùn)行時(shí)間和所占用存儲(chǔ)空間大小

Table 2 Time taken and storage space occupied torun thealgorithm

為了進(jìn)一步考查問題與技能個(gè)數(shù)與算法運(yùn)行時(shí)間和空間的關(guān)系，分別將以下兩種情況用折線圖進(jìn)行表示。

1）選取問題個(gè)數(shù)相同，但技能數(shù)不同的第1、2、4、5、6模糊技能多映射，考查技能數(shù)對(duì)運(yùn)行時(shí)間和存儲(chǔ)空間的影響，見圖1。

2）選取技能個(gè)數(shù)相同，但問題數(shù)不同的第3、6、7、8、9模糊技能多映射，考查問題數(shù)對(duì)運(yùn)行時(shí)間和存儲(chǔ)空間的影響，見圖2。

圖1技能數(shù)與運(yùn)行時(shí)間和存儲(chǔ)空間的關(guān)系 Figure1 The relationship between the number of skills， time taken，and storage space occupied

從圖1和圖2中可以看到，當(dāng)問題數(shù)不變而技能數(shù)增加或技能數(shù)不變而問題數(shù)增加時(shí)，運(yùn)行時(shí)間是會(huì)隨著增加的，但運(yùn)行所需存儲(chǔ)容量不一定增加。運(yùn)行時(shí)間的增加一般較緩和，這體現(xiàn)了算法在時(shí)間上是效率較優(yōu)的，但也看到，當(dāng)模糊技能多映射中各技能包含的模糊值越多，劃分的等價(jià)類越多，運(yùn)行所需存儲(chǔ)容量就可能大幅增加并帶來運(yùn)行時(shí)內(nèi)存溢出的問題

圖2問題數(shù)與運(yùn)行時(shí)間和存儲(chǔ)空間的關(guān)系 Figure 2 The relationship between the number of items， time taken，and storage space occupied

5 結(jié)語(yǔ)

本文在模糊技能多映射的變精度 α -能力模型的基礎(chǔ)上，研究了閾值取值范圍為[0，1）和（0，1）時(shí)的模型變化，提出三種基于模糊技能多映射的變精度能力模型，即模糊變精度 γ₁，γ₂，γ₃- 能力模型，并討論了這三種模型構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，證明了四種變精度模糊能力模型構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)族是一致的。在此基礎(chǔ)上以變精度 γ₁ -能力模型為例提出構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的矩陣算法，分析了算法的時(shí)空復(fù)雜度。最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的可行性和有效性。該算法也適用于其他三個(gè)模型。矩陣算法的提出能促進(jìn)基于模糊技能多映射的能力模型構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)方法的實(shí)際應(yīng)用，但也應(yīng)看到，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中較復(fù)雜的問題集，如解決問題的能力中技能的熟練程度要求較多，可能帶來計(jì)算量驟增的情況，這對(duì)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度和存儲(chǔ)容量提出較高要求。因此，面向大規(guī)模數(shù)據(jù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)構(gòu)建和分析是今后研究的一個(gè)方向。

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