基于整體視角的“分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)”學(xué)習(xí)進(jìn)階路徑設(shè)計(jì)與實(shí)施

摘要：分?jǐn)?shù)概念教學(xué)時(shí)間跨度大和意義的多維性，給學(xué)生理解分?jǐn)?shù)意義帶來了一定的困難。針對(duì)這樣的現(xiàn)狀，本文立足于整體視角，以小學(xué)階段最主要的兩節(jié)課為載體——三上“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”和五下“分?jǐn)?shù)的意義”，從“理解分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)”到“理清學(xué)生認(rèn)知的順序”，從“目標(biāo)進(jìn)階設(shè)計(jì)”到“任務(wù)進(jìn)階設(shè)計(jì)”，進(jìn)行了分?jǐn)?shù)概念教學(xué)在不同學(xué)段的進(jìn)階路徑設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：整體視角" 分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)" 進(jìn)階路徑

分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域一個(gè)非常重要的概念，它貫通了整數(shù)、小數(shù)、比例、四則運(yùn)算等小學(xué)階段接觸的關(guān)于數(shù)的知識(shí)。分?jǐn)?shù)概念的學(xué)習(xí)分成兩個(gè)階段，三上“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”和五下“分?jǐn)?shù)的意義”。在實(shí)際教學(xué)中，雖然教師花了很多的時(shí)間進(jìn)行教學(xué)，但是部分學(xué)生往往存在理解上的困難，學(xué)習(xí)效率不高。

一、“分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)”教學(xué)現(xiàn)狀分析

學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)有一定的難度，與分?jǐn)?shù)意義的多樣性、教材的編排序列以及教師單一處理教材有著莫大的關(guān)系。

（一）知識(shí)特點(diǎn)：復(fù)雜多樣的概念內(nèi)涵

分?jǐn)?shù)意義非常豐富，可以從“比”“測(cè)量”“運(yùn)算”“商”這四方面來認(rèn)識(shí)。這四個(gè)方面互相補(bǔ)充，可以幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義，但這樣的多樣性也為學(xué)生理解分?jǐn)?shù)概念帶來了一定的困難。

（二）內(nèi)容編排：比率和具體量比例失衡

小學(xué)階段，“量”和“率”是展開分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)的兩條主線。從教材的編排上看，“率”一直占主導(dǎo)地位， “量”處于弱勢(shì)地位。學(xué)生對(duì)于作為“量”意義的經(jīng)驗(yàn)積累是貧乏的，從而導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為分?jǐn)?shù)不是一個(gè)數(shù)，而是用來表達(dá)關(guān)系的。

（三）教學(xué)特點(diǎn)：沒有從整體視角處理

對(duì)于學(xué)生來說，分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，需要教師逐步鋪墊、滲透。但是由于教學(xué)時(shí)間跨度大，且往往由不同的教師進(jìn)行教學(xué)，導(dǎo)致教師處理教材時(shí)缺失整體視角。[1]

二、“分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)

要幫助學(xué)生建構(gòu)好分?jǐn)?shù)概念，就要從分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)出發(fā)，理清教材內(nèi)容的安排序列和學(xué)生的認(rèn)知序列，從整體上作好每個(gè)階段的目標(biāo)與內(nèi)容的進(jìn)階規(guī)劃。

（一）理解概念本質(zhì)

分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)相比，既有共性，又有自身的特性。

首先，分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)一樣，都是對(duì)數(shù)量的抽象，既可以表示“量”， 也可以表示“率”，都是對(duì)計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的表達(dá)。

同時(shí)，分?jǐn)?shù)又有自身的特性。整數(shù)是1的累加，分?jǐn)?shù)是1的均分，更抽象；整數(shù)通過位置的排列來表達(dá)，分?jǐn)?shù)則用分母表達(dá)計(jì)數(shù)單位，分子表達(dá)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，更復(fù)雜；整數(shù)使用“十進(jìn)制”，而分?jǐn)?shù)是“N進(jìn)制”，沒有固定進(jìn)率。

（二）理清認(rèn)知順序

從數(shù)學(xué)概念發(fā)展的層次看，從低到高依次為：感性具體、感性一般、理性具體。感性具體以感性經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ) ，根據(jù)對(duì)具體事物的操作與事物建立聯(lián)系，如[15]m、[56]小時(shí)等具備明顯的量的特征；感性一般，指數(shù)學(xué)概念離開了具體的物體，與等價(jià)物相聯(lián)系，比如用一個(gè)圓的三分之一表示一般的[13] ；理性具體，指剝離事物的物理屬性，抽象出本質(zhì)屬性 ，并與其他概念建立邏輯聯(lián)系。

從學(xué)生認(rèn)識(shí)整數(shù)的過程看，也是遵循這樣的發(fā)展過程。首先在一年級(jí)認(rèn)識(shí)“量”意義 ，然后通過一年多的大量“量”意義的經(jīng)驗(yàn)積累，在二年級(jí) “倍的認(rèn)識(shí)”進(jìn)入“率”意義的學(xué)習(xí)。

因此，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)需要學(xué)生先認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“量”的意義 ，接著在積累了大量“量”意義經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)入“率”意義的學(xué)習(xí)，然后貫通二者。

（三）學(xué)習(xí)路徑進(jìn)階設(shè)計(jì)

基于以上思考，分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)要立足于整體視角，展開進(jìn)階式學(xué)習(xí)，逐步完善對(duì)于分?jǐn)?shù)概念的理解。

1.進(jìn)階目標(biāo)設(shè)計(jì)

2. 進(jìn)階內(nèi)容分析

根據(jù)對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的理解，這兩節(jié)課從“意義”“量和率”“分?jǐn)?shù)單位”三個(gè)內(nèi)容作以下進(jìn)階規(guī)劃。

三、“分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)”過程實(shí)施

基于以上的分析與思考，對(duì)三上《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》與五下《分?jǐn)?shù)的意義》進(jìn)行了以下學(xué)習(xí)進(jìn)階路徑的整體設(shè)計(jì)。[2]

（一）“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”進(jìn)階任務(wù)設(shè)計(jì)

1.“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”進(jìn)階任務(wù)設(shè)計(jì)

分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)保持與整數(shù)認(rèn)識(shí)的一致性，先在情境中抽象出分?jǐn)?shù)，再用分?jǐn)?shù)表示物體數(shù)量中積累“量”意義的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)建立好分?jǐn)?shù)單位的表象，并滲透“率”意義，設(shè)計(jì)以下學(xué)習(xí)進(jìn)階路徑。

（1）從整個(gè)到不足一個(gè)：生活經(jīng)驗(yàn)中生長出分?jǐn)?shù)意義

【片段呈現(xiàn)】

一個(gè)圓代表一個(gè)餅，下面分別有幾個(gè)餅：lt;D：＼李章華d盤＼版＼教研＼自辦＼2025年＼知網(wǎng)＼第42期＼25知網(wǎng)42－1.tifgt;

討論1：這些餅有什么不一樣？

討論2：半個(gè)餅還能不能用1、2、3這樣的數(shù)表示？半個(gè)餅是怎么得到的？可以用一個(gè)什么數(shù)表示？

討論3：（最后一幅圖）它能不能用1、2、3這樣的數(shù)表示？是怎么得到的？可以用一個(gè)什么數(shù)表示？

【意圖分析】

“一個(gè)圓代表一個(gè)餅，分別有幾個(gè)餅？”這個(gè)任務(wù)情境指向分?jǐn)?shù)的“量”意義。在討論中初步感知分?jǐn)?shù)與整數(shù)的不同之處——“整數(shù)是1的累加，分?jǐn)?shù)是1的均分”，并將生活中得到半個(gè)餅的經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)中的[12]個(gè)餅對(duì)接，然后在此基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)[34]個(gè)餅，逐步積累分?jǐn)?shù)“量”意義的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。

（2）從操作到概括：建立“量”的表象，滲透“率”的意義

【片段呈現(xiàn)】

①折一折：把長方形紙折一折，并用斜線表示出[12]張紙。

②展示作品，說說自己是怎樣得到[12] 張紙的。

③比一比：折法不同，涂色部分形狀也不同，為什么都能用[12]張紙表示？

④一張紙的[12]就是[12]張紙。（板書：[12]張）這張長方形紙上你能找到幾個(gè)[12]張紙？

【意圖分析】

數(shù)概念的認(rèn)識(shí)是一個(gè)從具體到抽象的過程。通過操作活動(dòng)感知[12]張紙的含義，結(jié)合實(shí)物圖植入分?jǐn)?shù)的“量”意義；通過思辨“折法不同，為什么都能用[12]張紙表示？” 抽象概括出一個(gè)物體的[12]就是[12]個(gè)，初步滲透分?jǐn)?shù)的“率”意義；思考“這張紙上能找到幾個(gè)[12]張紙”滲透分?jǐn)?shù)單位的意義。

【片段呈現(xiàn)】

任務(wù)：折幾分之一

①折一折：用各種不同形狀的紙折出自己最想認(rèn)識(shí)的[1]張紙，并用畫斜線的方法表示出來。

②說一說：展示學(xué)生作品，并請(qǐng)學(xué)生評(píng)價(jià)他們表示得對(duì)嗎？你是怎么想的？

小結(jié)：把一張紙平均分成（ ）份，這樣的一份就是[1]張紙。

【意圖分析】

操作活動(dòng)還是指向“量”意義。在折一折、評(píng)一評(píng)的活動(dòng)中積累[1]張紙的表象，內(nèi)化分?jǐn)?shù)的“量”意義，提升數(shù)感和符號(hào)意識(shí)。

（3）從幾分之一到分?jǐn)?shù)墻：提升數(shù)感，積累分?jǐn)?shù)單位的感性經(jīng)驗(yàn)

【片段呈現(xiàn)】

任務(wù)：估一估

①估一估：涂色部分是[1]張紙。

②追問：最后一個(gè)長方形紙中，涂色部分用[16]張表示，

還有哪里也能用[16]張表示？1張紙里能找到幾個(gè)[16]張？

【意圖分析】

數(shù)是對(duì)多個(gè)計(jì)數(shù)單位的表達(dá)，計(jì)數(shù)單位在數(shù)概念的認(rèn)識(shí)中占據(jù)著核心地位。在估一估中繼續(xù)提升數(shù)感的同時(shí)，整體呈現(xiàn)1張紙、[12]張紙、[13]張紙、[16]張紙，幫助學(xué)生積累分?jǐn)?shù)單位的感性認(rèn)識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（4）從一個(gè)到多個(gè)：用“量”的表象滲透 “率”的意義

【片段呈現(xiàn)】

這（12個(gè)）是一盒蘋果，那么這（6個(gè)）是多少盒蘋果？

【意圖分析】

最后，在1盒蘋果和[12]盒蘋果情景圖中，利用“量”的表象滲透“率”的意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)鋪好墊腳石。

2.“分?jǐn)?shù)的意義”進(jìn)階任務(wù)設(shè)計(jì)

“分?jǐn)?shù)的意義”以“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”為認(rèn)知起點(diǎn)，聚焦于“份數(shù)比”深度理解“率”意義，同時(shí)擴(kuò)展至“測(cè)量定義”，并從“部分與整體的比率”走向“部分與部分的比率”，凸顯比率意義的本質(zhì)，設(shè)計(jì)以下學(xué)習(xí)進(jìn)階路徑。[3]" " " " " " " " " " " " " [讓率從量中

生長出來][階四][階三][階二][階一][拓展創(chuàng)新][異中求同][多維思辨][變式擴(kuò)容][“部分與整體比”向

“部分與部分比”擴(kuò)展][從“比定義”向

“測(cè)量定義”擴(kuò)展][聚焦份數(shù)比，深度理解分?jǐn)?shù)意義][]

（1）異中求同：讓“率”從“量”中生長出來

【片段呈現(xiàn)】

①填一填：填上合適的分?jǐn)?shù)。

②比一比：為什么都可以用[34]表示？

③說一說：[34]表示什么意思？

【意圖分析】

數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，分?jǐn)?shù)的意義重點(diǎn)在于對(duì) “率”意義的理解。以“量”為認(rèn)知起點(diǎn)，異中求同，抽取出分?jǐn)?shù)的“率”意義特征——份數(shù)比。

（2）多維思辨：聚焦份數(shù)比，深度理解分?jǐn)?shù)的意義

【片段呈現(xiàn)】

先圈出單位“1”，再分一分，涂一涂，創(chuàng)造你喜歡的分?jǐn)?shù)。

想一想：你是怎么創(chuàng)造的？

反饋交流：

①同樣是[13]，為什們涂色的▲數(shù)量不一樣？

②同樣是2個(gè)▲，為什么用不同的分?jǐn)?shù)表示？

③單位“1”的數(shù)量相同，為什么表示的分?jǐn)?shù)不同？

④講解：分的份數(shù)不同，就導(dǎo)致分?jǐn)?shù)單位不同。把單位“1”平均分成若干份，這樣的一份就叫做分?jǐn)?shù)單位。你能說說這些分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位以及分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)嗎？

【意圖分析】

聚焦于“涂色部分與單位‘1’的份數(shù)比”達(dá)成“率”意義的深度理解。通過三個(gè)維度的思辨推進(jìn)：分?jǐn)?shù)相同，單位“1”不同導(dǎo)致實(shí)際包含的數(shù)量不同；實(shí)際所包含的數(shù)量相同，但由于單位“1”不同，分?jǐn)?shù)就不同；單位“1”相同，實(shí)際所包含的數(shù)量不同，分?jǐn)?shù)就不同。同時(shí)，將分?jǐn)?shù)單位的概念也建立在“份數(shù)比”之上。

（3）變式擴(kuò)容：從“比定義”向“測(cè)量定義”擴(kuò)展

【片段呈現(xiàn)】

①找一找：在下面的3條直線上分別用點(diǎn)表示[3/4]。

②想一想，都是[34]，為什們點(diǎn)所在的位置卻不同？

③說一說：把0至1之間平均分成4份，每一份是幾分之幾？數(shù)一數(shù)[34]里面有幾個(gè)[34]？4個(gè)[14]是幾分之幾？再增加一個(gè)[14]呢？

【意圖分析】

對(duì)于分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)不僅要認(rèn)識(shí)比定義，而且要從計(jì)數(shù)單位的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的測(cè)量定義，理解分?jǐn)?shù)單位累加產(chǎn)生幾分之幾，與整數(shù)、小數(shù)達(dá)成一致性。因此，借助數(shù)軸來豐富對(duì)于分?jǐn)?shù)的多重定義的認(rèn)識(shí)。

（4）拓展創(chuàng)新：從“部分與整體比”走向“部分與部分比”

【片段呈現(xiàn)】

①找一找：這幅圖中你能找到哪幾個(gè)分?jǐn)?shù)？說一說這些分?jǐn)?shù)表示的意義。

②猜一猜：[35]可能表示誰是誰的[35]？[53]呢？

【意圖分析】

通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)概念的理解已經(jīng)涵括了分?jǐn)?shù)的比定義、測(cè)量定義，后續(xù)的學(xué)習(xí)中將認(rèn)識(shí)商定義和運(yùn)算定義。所以在課尾適當(dāng)滲透商定義，即將“部分與整體比”拓展延伸至“部分與部分比”。

（二）整體視角“分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)”的進(jìn)階體現(xiàn)

這樣的整體設(shè)計(jì)，既保持了知識(shí)前后的一致性和連貫性，又實(shí)現(xiàn)了內(nèi)容的進(jìn)階。

1.從分?jǐn)?shù)的意義的理解層面看，“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”側(cè)重于在操作活動(dòng)中建立表象，積累關(guān)于分?jǐn)?shù)的感性經(jīng)驗(yàn)，“分?jǐn)?shù)的意義”側(cè)重于在抽象概括中深度理解分?jǐn)?shù)的意義，實(shí)現(xiàn)了操作性記憶水平向概念性記憶水平、說明性理解水平乃至探究性理解水平的進(jìn)階。

2.從分?jǐn)?shù)的“量”和“率”這兩種意義的層面看，“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”延續(xù)整數(shù)的認(rèn)識(shí)過程，先認(rèn)識(shí)“量”，不斷積累“量”的感性經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)滲透“率”；“分?jǐn)?shù)的意義”則從已有的“量”經(jīng)驗(yàn)中生長出“率”，繼而深入理解“率”，實(shí)現(xiàn)了具體的“量”意義到抽象的“率”意義的進(jìn)階。

3.從分?jǐn)?shù)單位認(rèn)識(shí)層面看，先在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中積累分?jǐn)?shù)單位的感性經(jīng)驗(yàn)，然后在“分?jǐn)?shù)的意義”中進(jìn)階至理解分?jǐn)?shù)單位累加產(chǎn)生分?jǐn)?shù)。

四、反思與延伸

比與分?jǐn)?shù)的關(guān)系非常密切，在大教學(xué)觀理念指引下，可以將這樣的進(jìn)階設(shè)計(jì)進(jìn)一步延伸至比的認(rèn)識(shí)。那么，如何在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)中為比的認(rèn)識(shí)鋪高墊腳石，比的認(rèn)識(shí)可以作好哪些維度的進(jìn)階，如何進(jìn)階？這些都值得作進(jìn)一步深入研究、實(shí)踐和反思。

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