子彈打木塊問題的結(jié)論與應(yīng)用

子彈打木塊問題是一種典型的兩體相互作用問題．在該問題中，往往涉及到牛頓運(yùn)動(dòng)定律、勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律、動(dòng)能定理、動(dòng)量定理、能量守恒定律與動(dòng)量守恒定律及相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)圖像等力學(xué)主干知識的綜合應(yīng)用．本文探究子彈打木塊問題，歸納出該問題的幾個(gè)結(jié)論，并將結(jié)論遷移應(yīng)用到解決其他問題中，提高物理建模能力與遷移應(yīng)用能力.

一、問題探討

長為 L 、質(zhì)量為 M 的木塊靜止在光滑的水平面上，一質(zhì)量為 m（m0 射入木塊，子彈與木塊間的阻力大小為恒為 F_f 有如圖1所示的兩種情景：（1）當(dāng)子彈未穿出木塊時(shí)，設(shè)子

彈與木塊的共同速度為 v ；（2）當(dāng)子彈穿出木塊時(shí)，設(shè)子彈的速度為v₁ ，木塊的速度為 v（v1）

圖1

問題1：子彈的初動(dòng)能 E_k0 與子彈在木塊中穿入深度 d 的關(guān)系？

【解析】子彈在木塊中穿入深度 d 時(shí)與木塊速度 v 相同．對子彈與木塊組成的系統(tǒng)由動(dòng)量守恒與能量守恒定律分別有：

聯(lián)立解得： ；當(dāng) d=L 時(shí)子彈恰好穿出木塊.

【結(jié)論1】子彈的初動(dòng)能 E_k0 與在木塊中穿入深度d 的關(guān)系為

【結(jié)論2】能穿出木塊時(shí)子彈的最小動(dòng)能為 （式中 ΔE=F_fL 為系統(tǒng)損失的機(jī)械能，等

于系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能）.

問題2：木塊獲得的速度 v 與子彈的初速度 v₀ 大小關(guān)系？

【解析】（1）若子彈未穿出木塊，由動(dòng)量守恒定律有： mv₀=（m+M）v ，則 可知這種情況下 σ_v 0與 v₀ 成正比；子彈未穿出木塊時(shí)子彈的最大速度 v₀₁ 與木塊獲得的速度 v 滿足： ；可得 其中 v₀₁ 也是子彈能穿出木塊時(shí)子彈的最小速度（由此也能求出子彈能穿出木塊時(shí)子彈的最小動(dòng)能 E_kmin ）

（2）若子彈能穿出木塊，由動(dòng)量守恒與能量守恒定律分別有： ， ，且 v₁gt;v ；解得

綜合以上分析，由畫圖軟件可得出木塊獲得的速度v 與子彈的初速度 v₀ 的關(guān)系圖像如圖2所示.

圖2

【結(jié)論3】子彈不能穿出木塊時(shí)木塊獲得的速度與子彈初速度成正比；子彈能穿出木塊時(shí)木塊獲得的速度隨子彈初速度的增大而減小.

【結(jié)論4】當(dāng)子彈恰能穿出木塊時(shí)木塊獲得最大速度.

問題3：子彈在木塊中穿入深度為 d 時(shí)，子彈對地運(yùn)動(dòng)的距離 x₀ 與木塊對地運(yùn)動(dòng)的距離 x 分別與 d 的大小關(guān)系？

【解析】子彈在木塊中穿入深度 d 時(shí)與木塊速度

相同．作出子彈與木塊運(yùn)動(dòng)的 v-t 1 2

圖像如圖3. V0 子彈由圖像的物理意義有： 子彈與木塊d ， ；又 mv₀=（m x →0 t圖3

+M）v ，聯(lián)立解得 值得注0

意的是 x 的值看似與子彈的初速度 v₀ 及木塊對子彈的

阻力 F_f 大小無關(guān)，但 d 與 v₀ ！ F_f 的大小存在著一定的

隱含關(guān)系．在 m ；子

彈運(yùn)動(dòng)的距離為 ，在

m

【結(jié)論5】子彈在木塊中穿人深度 d 時(shí)木塊運(yùn)動(dòng)的距離 且 dgt;2x

【結(jié)論6】子彈在木塊中穿人深度 d 時(shí)子彈運(yùn)動(dòng)的距離 在 m （2號

二、遷移應(yīng)用

【例1】（2024·湖北卷第10題）（多選）如圖4所示，在光滑水平面上靜止放置一質(zhì)量為 M 、長為 L 的木塊，質(zhì)量為 ?_m 的子彈水平射入木塊．設(shè)子彈在木塊內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中受到的阻力 f 不變，其大小與子彈射人的初速度大小 v₀ 成正比，即f=kv₀（k 為已知常數(shù)）．改變子彈的初速度大小 v₀ ，若木塊獲得的速度最大，則

圖4

A．子彈的初速度大小為 B．子彈在木塊中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 C．木塊和子彈損失的總動(dòng)能為 （2號 D．木塊在加速過程中運(yùn)動(dòng)的距離為 （2

【解析】解法1：設(shè)子彈穿出木塊后子彈與木塊的速度分別為 v₁，v ，此過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有： mv₀ =mv₁+Mv ；木塊的位移為 x ，對木塊由動(dòng)能定理有：

；同理對子彈有： 可得 由數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng) 即vo 時(shí)，木塊獲得的速度 最大，選項(xiàng)A正確；設(shè)子彈穿過木塊的時(shí)間1

t ，對木塊由動(dòng)量定理有： kv₀t=Mv ，可得 A選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由能量守恒可知子彈和木塊損失的總動(dòng)能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱，即有 ΔE=Q=kv₀L （204號 選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由 可得木塊在此過程中運(yùn)動(dòng)的距離為 選項(xiàng)D正確.解法2：由結(jié)論4知，當(dāng)木塊獲得最大速度時(shí)子

彈恰好穿出木板，此時(shí)子彈與木塊速度 v 相等，由

mv₀=（m+M）v ， 可得 v₀=

選項(xiàng)A正確；此時(shí)子彈在木塊中射入的

深度 d=L ，由結(jié)論5知木塊運(yùn)動(dòng)的距離為

選項(xiàng)D正確；對選項(xiàng)B、C的分析同解法1.0

【點(diǎn)評】在子彈打木塊問題中，子彈與木塊一般存在相對運(yùn)動(dòng)，分析求解應(yīng)以子彈與木板在運(yùn)動(dòng)過程中的加速度為核心，找出子彈與木塊之間的位移（路程）關(guān)系或速度關(guān)系是解題的突破口，采用定性分析與定量研究相結(jié)合的方法，也可借助 v-t 圖像進(jìn)行分析求解．對子彈或木塊的研究，一般用牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，不涉及時(shí)間問題時(shí)優(yōu)先選用動(dòng)能定理，涉及時(shí)間問題時(shí)優(yōu)先選用動(dòng)量定理；對子彈與木塊組成的系統(tǒng)，分析系統(tǒng)受力特點(diǎn)，選用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律求解．本題分析求解的關(guān)鍵是木塊獲得最大速度時(shí)對應(yīng)子彈與木塊運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的判斷.解法1利用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律得出木塊獲得的速度大小與子彈初速度大小的關(guān)系，再利用數(shù)學(xué)知識求出當(dāng)子彈的初速度滿足什么條件時(shí)木塊的速度最大；得出木塊獲得速度最大時(shí)子彈初速度滿足的條件；解法2遷移應(yīng)用了以上探討的關(guān)于子彈打木塊問題的幾個(gè)相關(guān)結(jié)論，問題就會迎刃而解.

子彈打木塊問題實(shí)質(zhì)上是子彈與木塊這兩個(gè)物體之間的一種相互作用．兩物體間的作用有多種方式，如兩體間的非彈性碰撞模型、無外力作用下的板塊模型等，本質(zhì)上與子彈打木塊模型相同，可以認(rèn)為這些模型是子彈打木塊的拓展模型.因此分析這類問題的知識與方法和子彈打木塊模型是相同的，也可將子彈打木塊問題探討的相關(guān)結(jié)論遷移應(yīng)用到這些拓展模型中.

【例2】（2023·全國乙卷第21題）（多選）如圖5，一質(zhì)量為 M 、長為 ξ_l 的木板靜止在光滑水平桌面上，另一質(zhì)量為 m 的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從木板上的左端以速度 v₀ 開始運(yùn)動(dòng)．已知物塊與木板間的滑動(dòng)摩擦力大小為 f ，當(dāng)物塊從木板右端離開時(shí)（ ）

圖5

A．木板的動(dòng)能一定等于 ?_fl B．木板的動(dòng)能一定小于 A C．物塊的動(dòng)能一定大于 D．物塊的動(dòng)能一定小于

【解析】解法1：當(dāng)物塊從右端恰好滑離木板時(shí)與木板速度 v 相等，由動(dòng)量守恒定律有： mv₀=（m+M）v 可得 木板獲得的最大動(dòng)能為 中中 系統(tǒng)產(chǎn)的內(nèi)能為 ，選項(xiàng)A 錯(cuò)誤、B 正確；此時(shí)物塊的動(dòng)能為： 選項(xiàng)C錯(cuò)誤、D正確.

解法2：當(dāng)物塊從右端恰好滑離木板時(shí)木板的動(dòng)能最大，由結(jié)論5知木板運(yùn)動(dòng)的距離 ，故木板獲得的最大動(dòng)能 E_kM=fx ，選項(xiàng)C錯(cuò)誤、D正確.

【點(diǎn)評】板塊模型問題的分析一般應(yīng)抓住板、塊存在相對滑動(dòng)的臨界條件是它們間的摩擦力為最大靜摩擦力，注意靜摩擦力不但方向可變，而且大小也會在一定范圍內(nèi)變化.明確板塊達(dá)到共同速度時(shí)各物理量間的關(guān)系是問題求解的關(guān)鍵.解法1用動(dòng)量與能量的觀點(diǎn)列式分析，將定性分析與定量研究相結(jié)合；解法2將無外力作用下的板塊模型拓展為子彈打木塊模型，遷移應(yīng)用子彈打木塊問題中探討的相關(guān)結(jié)論分析求解，當(dāng)物塊恰好滑離木板（相當(dāng)于子彈恰好穿過木板）時(shí)木板獲得的速度最大，對應(yīng)木板的最大動(dòng)能，從而有效地突破了本題分析求解的難點(diǎn)，

【例3】（原創(chuàng)）（多選）如圖6所示，木板靜止在光滑的水平面上，滑塊以初動(dòng)能 E_k0=2J 水平滑上上表面粗糙的木板，已知滑塊的質(zhì)量 m 小于木板的質(zhì)量M，滑塊未脫離木板，此過 園程中滑塊與木板組成的系統(tǒng)產(chǎn)圖6生的內(nèi)能可能為（ ）

A. 0.5J B.1J C. 1. 2J D. 1.5J

【解析】設(shè)滑塊與木板間的滑動(dòng)摩擦力大小為 F_f 滑塊相對木板運(yùn)動(dòng)的距離為 d ，則產(chǎn)生的內(nèi)能 ΔE= F_fd ，將滑塊視為“子彈”，由結(jié)論1有： E_k0= ，則 由于 m lt;ΔEk0 ，即 1Jlt;ΔElt;2J ，選項(xiàng)C、D正確

【點(diǎn)評】滑塊在木板上滑行的過程中，系統(tǒng)內(nèi)存在摩擦阻力做功，有機(jī)械能損失，損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)內(nèi)能．滑塊在木板上滑行與子彈在木塊中運(yùn)動(dòng)所受力類似，此模型可視為子彈打木塊的拓展模型，由結(jié)論1即能快速求解.

【例4】（改編）（多選）質(zhì)量為 M 的矩形木板 ae ，放在光滑水平面上，b、 c，d 是 ae 的4等分點(diǎn)．質(zhì)量為 ?_m 的物塊以一定的初速度從 a 點(diǎn)水平滑上粗糙木板，物塊的寬度不計(jì)，且 m

【解析】將物塊視為“子彈”，設(shè)此過程中木板移動(dòng)的距離為 x ，在 m2x ，選項(xiàng) A 、B錯(cuò)誤；由結(jié)論6知物塊對地運(yùn)動(dòng)的距離 x₀ 滿足關(guān)系 ，可知選項(xiàng)C、D可能正確.

圖7

【點(diǎn)評】以上求解中將滑塊視為“子彈”，將此問題視為子彈打木塊的一種拓展模型，根據(jù)模型特點(diǎn)，利用結(jié)論5、結(jié)論6直接分析判斷．也可結(jié)合 v-t 圖像（圖7）進(jìn)行分析與判斷.

1

Mvo=（M+m） Vo m

mvo/2 d 油幾何圖形 V 相對位移d X 1 知dgt;2x 0 t t

【例5】（原創(chuàng)）用電子碰撞靜止的原子，使原子從基態(tài)躍遷到某激發(fā)態(tài).設(shè)電子質(zhì)量為 ?_m ，原子質(zhì)量為 M ，原子基態(tài)與此激發(fā)態(tài)能量差為 ΔE ，不考慮電子電勢能的變化，則入射電子初動(dòng)能的最小值為

A.

C. D.

【解析】解法1：設(shè)入射電子的初動(dòng)能為 E_k ，則電子初動(dòng)量大小為 ；與靜止的原子碰撞后電子的速度為 Ω_u ，原子的速度為 v ：由動(dòng)量守恒定律得： ；由能量定恒定律有： E_k=ΔE⁺ ；由以上兩式可得： 時(shí)，可得入射電子初動(dòng)能的最小值 ，選項(xiàng)C正確

解法2：通過電子碰撞靜止的原止，使原子從基態(tài)躍遷到某激發(fā)態(tài)，原子要從電子動(dòng)能中吸收能量ΔE 完成該躍遷．在電子碰撞靜止原子的過程中，電子相當(dāng)于“子彈”，原子相當(dāng)于“木塊”，碰撞過程中原子吸收的能量 ΔE 相當(dāng)于子彈打木塊模型中損失的機(jī)械能．當(dāng)電子損失的動(dòng)能 ΔE 一定，根據(jù)結(jié)論2，可知電子入射的最小動(dòng)能應(yīng)為 ，選項(xiàng)C正確.

【點(diǎn)評】電子碰撞靜止的原子，電子與原子發(fā)生相互作用，在此過程中，電子與原子所組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒；系統(tǒng)減小的動(dòng)能即為原子從電子中吸收的能量 ΔE 從而使原子由基態(tài)躍遷到此激發(fā)態(tài)，電子與原子的碰撞過程中遵循動(dòng)量守恒與能量守恒．解法1從動(dòng)量守恒與能量守恒的角度列式分析求解，利用數(shù)學(xué)知識求電子入射初動(dòng)能的最小值，是一種基本的解法；解法2將子彈打木塊模型遷移，并利用相關(guān)結(jié)論直接分析判斷，給人一種高屋建瓴之感，是一種巧妙的解法.

總之，子彈打木塊模型是一種典型的兩體相互作用模型，在高考試題中頻繁出現(xiàn)，且有一定的難度.只有識別模型的本質(zhì)特點(diǎn)，才能將該模型拓展、變化、遷移，做到多題歸一、一題多解，提高分析問題與解決問題的能力.

【作者簡介：從事高中物理教學(xué)與物理競賽輔導(dǎo)工作已35年，擅長于高中物理教學(xué)與研究，主研2個(gè)省級教科研課題，500余篇教學(xué)論文與20個(gè)多媒體教學(xué)課件在全國教學(xué)刊物公開發(fā)表，30余篇教學(xué)論文及多媒體課件獲全國級獎(jiǎng)；輔導(dǎo)學(xué)生物理奧賽200多人次獲得全國及省級獎(jiǎng)；參加過湖北省試驗(yàn)教材的開發(fā)與編寫，為省級中學(xué)物理骨干教師舉行師資培訓(xùn)工作，被評為全國骨干教師和省級學(xué)科帶頭人】

責(zé)任編輯 李平安