從積分思想到物理實踐：微元法與圖形面積的深層關聯

在高中物理教學中，常常會遇到與圖像有關的問題.通常我們都會從以下三方面來分析圖像的意義：一是縱坐標物理量 y 隨橫坐標物理量 x 如何變化，增大還是減小，線性變化還是非線性變化；二是圖像的切線斜率 是否有物理意義；三是圖像下方與橫軸所圍圖形的面積是否有物理意義.前兩點很容易分析，而第三點只有應用微元法，才能得到正確結論.

1微元法的基本原理

人教版教材在研究勻變速直線運動的位移時，利用 v-t 圖像，把橫軸物理量一一運動時間劃分成很多段，在每一小段時間內，近似認為縱坐標物理量即運動速度不變，做勻速直線運動，則在圖1-乙中，每一個矩形面積表示這一小段時間內的位移.這些矩形的面積之和就可以近似代表物體在整個過程中的位移.小矩形越窄，這個面積之和越接近物體的實際位移.可以想象，如果把整個運動過程分割得非常非常細，很多很多小矩形頂端的“鋸齒形\"就看不出來了，如圖1-丙所示，則所有小矩形的面積之和就能較為精確地代表物體的位移了.這時，這些小矩形合在一起形成一個梯形（如圖1-丁），這個梯形的面積就代表物體做勻變速直線運動的位移.

圖1

2 圖像下方面積物理意義的微元法證明

例1如圖 2-甲所示，水平面內有一光滑金屬導軌， ac 邊的電阻為 R ，其他電阻均不計， ab 與 ac 角夾角為 135^°，cd 與 ac 垂直.將質量為 ψ_m 的長直導體棒放置在導軌上，并與 ac 平行.棒與ab、cd交點 G，H 間的距離為 L₀ ，空間存在垂直于導軌平面的勻強磁場，磁感應強度為 B .在外力作用下，棒由 GH 處以初速度 O₀ 向右做直線運動，其速度的倒數 隨位移 x 變化的關系如圖2-乙所示.問在棒運動 L₀ 到 MN 處的過程中，電阻 R 產生的焦耳熱為多少？

圖2

0 由圖2-乙可以得到導體棒的速度的倒數 解析隨位移 x 的關系為 ，即 .由電磁感應定律可以知道，導體棒產生的感應電動勢為 為一恒定值.接下來利用微元法求運動時間.我們如果將圖2-乙的橫軸位移 x 分成相等的 n 段，當 n∞ 時，認為每一小段內縱軸物理量，即速度的倒數不變，也就是速度 v 不變，為勻速直線運動，則圖2-丙中陰影小矩形的面積為 ·ΔL=Δt ，表示時間.將所有的小矩形面積累計求和，就得到 圖像下方與橫軸所圍的梯形面積 ，表示導體棒運動的總時間，即為t= 所以電阻 R 上產生的焦耳熱為

本題我們用微元法證明了 圖像下方與橫軸所圍圖形的面積表示物體的運動時間.

一例2有一只螞蟻離開巢穴沿直線爬行.它的速度 υ 與離開蟻巢的距離 x 成反比，當螞蟻爬到距離巢中心 L₁=1m 的 A 點處時，速度是 v₁=2cm?s^-1 .求螞蟻從 A 點爬到距離巢中心 L₂=2m 的 B 點所用的時間.

設螞蟻爬行的速度 υ 與巢中心間距 x （單位為 cm ）的關系為 為比例系數，代人A 點數據得 k=200cm²?s^-1

參考例1的分析我們可以得到螞蟻速度的倒數 與離開蟻巢距離 x 的關系為 .作出速度的倒數 與離開蟻巢距離 x 的圖像，得到一條通過原點的直線，如圖3-甲所示.圖像下方與橫軸所圍圖形的面積表示螞蟻從 A 點到 B 點所用的時間，為

圖3

討論如果我們將橫、縱坐標物理量交換一下位置，即作出 圖像，如圖3-乙所示.圖像下方與橫軸所圍圖形的面積仍能表示運動時間嗎？如果簡單地將橫、縱坐標對應的物理量相乘得 ，從物理單位上看仍然表示時間，這時運動時間為

另外，題目說螞蟻的速度與位移成反比，即速度一位移倒數圖像 也是直線.

如圖3-丙所示，將縱、橫坐標物理量相乘 從單位上看圖像下方所圍圖形的面積表示時間的倒數，即有 s^-1 ，得 t₃≈133s

可以看到三種思路得到兩個結果，哪個正確呢？下面進行具體分析.

在第二種解答的 圖像中，如果采用微元法，將整個運動過程對應的橫坐標物理量 分成無窮多份，則每一小段為 .在這每一小段中，縱軸物理量，即位移 x 可認為不變.圖3-乙圖像下方的微小矩形的陰影面積為

式中第二個等號后面的表達式用到了對 的微分公式.由物理公式可知 不表示時間，所以圖3-乙中的微小矩形面積不表示時間，則累計求和得到的圖像下方圖形的總面積也不能表示這段位移的總時間χ_t ，可知 圖像下方圖形的面積沒有物理意義.

同理，在 圖像中，我們將橫軸物理量，即位移的倒數 分成無窮多段，每一小段大小為 ，這段位移內縱坐標物理量，即運動速度不變.使用微分公式得到每個小矩形面積為 然將所有小矩形面積累計求和也不等于運動總時間的倒數，可知 圖像下方所圍圖形的面積也沒有物理意義.

上面三種解答方法，只有第一種是正確的.盡管第二種解答只是將第一種方法的橫、縱坐標軸物理量交換了位置，但微元矩形的意義發生了變化，則物理意義也發生了變化.另外，如果我們仔細比較圖3中的甲、乙兩圖，就會發現圖3-乙中圖像上方與縱軸所圍圖形的面積，即圖中陰影部分的面積的大小為 ，恰是圖3-甲圖像下方與橫軸所圍圖形的面積，即為運動時間.所以在教學過程中，不能簡單地將橫、縱坐標對應的物理量相乘，再由物理公式和單位去判斷圖像下方與橫軸所圍圖形的面積是否具有物理意義.應該使用微元法，判斷每一個微元過程對應的小矩形面積是否有物理意義，從而確定累計求和的總面積是否有明確的物理意義.

例3現有一個質點以初速度 v₀ 做直線運動，其加速度隨位移 x 線性減小，即 a=a₀-kx ，式中 為大于零的常量.求當位移為 x₁ 時的瞬時速度（假設此時質點還未停止運動）.

我們作出 a-x 圖像，如圖4-甲所示，分析圖線下方的面積所代表的意義.采用微元法，每一小段位移內，認為加速度不變，即質點做勻變速直線運動.由勻變速直線運動公式可知，每個小陰影矩形面積為 ，則圖4-甲中圖線下方梯形的面積

即 v_t²-v₀²=2a₀x₁-kx₁² ，得

圖4

討論 同理，我們不能根據 a=a₀-kx 變形得到 ，作出位移—加速度圖像（如圖4-乙），用圖像中陰影部分的面積求瞬時速度，原因在例2中已經分析過：圖4-乙中的微元小矩形面積 x?Δa 無明確物理意義，所以 x-a 圖像下方與橫軸所圍圖形的面積沒有明確的物理意義.

3 拓展應用

我們還可以用微元法結合圖像分析較復雜的變力做功問題.

例4如圖5-甲所示，現有一長度為 l=20cm 的圓筒，繞著與筒的長度方向相垂直的軸 OO^′ 以恒定的轉速 n=100r?min^-1 旋轉.筒的近軸端離軸線 OO^′ 的距離為 d=10cm ，筒內裝滿非常黏稠、密度為 ρ= 1.2g?cm^-3 的液體.有一顆質量為 m=1mg 、密度為ρ^′=1.5g?cm^-3 的粒子從圓筒的正中部釋放（釋放時粒子相對于圓筒靜止），求粒子到達筒端的過程中克服黏滯阻力所做的功.

圖5

設粒子的體積為 ΔV ，它離軸 OO^′ 的距離為r .先設想粒子由和周圍相同的液體替代，則這一小團液體所受到的周圍液體對它的合力為 F= ρΔV?rω² .現將小團液體換成相同體積的粒子，顯然周圍液體對它的作用力不變.但由于其質量變大了，受到的合力不足以維持其做勻速圓周運動，所以粒子沿筒軸向外移動.液體非常黏稠，故粒子移動緩慢，任一時刻仍可認為其做的是勻速圓周運動，其受到的合力變為 F+f=m^′a=ρ^′ΔV?rω² .兩式對比得 f=（ρ^′- ρ）ΔV?rω² ，發現阻力 f 與 r 成線性關系，如圖5-乙所示.在 f-r 圖像中，由微元法可知，每一個小矩形面積等于 fΔr=ΔW ，表示每個微元過程中克服阻力做的功，所以 f-r 圖像下方與橫軸所圍圖形的面積表示克服黏滯阻力做的功，即 W= （20號J.這就是熟知的力一位移圖像下方面積表示力所做功的大小.

討論我們還可以利用上述方法推導電容器儲存的電能.電荷在外力的作用下被搬運到電容器上，在搬運過程中，外力克服電場力做的功，就是電容器儲存的電能.電容器攜帶的電荷量與電容器電壓之間的關系為 Q=CU ，如圖6所示.

圖6

把電容器充電的過程分成無窮多個微元過程，每個過程搬運極少量的電荷 ΔQ 到電容器上.可以認為電容器電勢在搬運極少量電荷的前后保持不變，設為U_i ，則這個微元過程搬運電荷做的功為 ΔW_i=U_iΔQ .為圖6中的微元矩形面積.這樣當電容器電壓從0增加到 U ，克服電場力做的總功為 U^-Q 圖像下方所圍圖形的面積

此即電容器儲存的電能表達式.當然要注意， Q–U 圖像下方與橫軸所圍圖形的面積沒有明確的物理意義.

結合電能的表達式，我們可以利用能量守恒觀點來解決某些與電磁場有關的問題，比如電磁感應中的單桿—電容器問題.

一例5如圖7所示，足夠長的平行導軌 PQ，MN 間距為，導軌面與水平面均成 θ 角，導軌上端P、M間接有電容C.整個導軌處在方向垂直于導軌面向上、大小為 B 的勻強磁場中.將一質量 Ψ_m 、長度為 l 且電阻不計的導體棒從光滑導軌上某處靜止釋放，導軌電阻不計，重力加速度 g 取10m?s² .求導體棒運動距離為 x 時的速度大小.

圖7

方法1導體棒運動速度為 v 時，電容器的電壓為 U=Blυ ，電容器的電荷量 q=CU ，則電路中的電流 對導體棒受力分析，由牛頓第二定律有mgsin θ-BIl=ma ，聯立解得 a= m+CB2z·可見，導體棒在光滑導軌上做初速度為零的勻加速直線運動，位移為 x 時的速度的大小

方法2導體棒下降過程的重力勢能轉化成棒的

動能和電容器儲存的電能，可得

，對比勻變速直線運動公

式 v²=2ax ，可知導體棒做勻加速直線運動，加速度

為 m+CB22，則導體棒的位移為x時，速度的大

討論我們還可以利用微元法研究理想氣體的做功問題.如圖8-甲所示，假設封閉氣體的壓強為 p ，其對可移動的面積為 s 的活塞作用力為 F=ρS .若活塞右移一微小距離 Δx ，則外界對氣體做功為 ΔW= -pSΔx=-pΔV ，負號是因為當氣體膨脹時 ΔVgt;0 ，外界對氣體做負功；氣體被壓縮時 ΔVlt;0 ，外界對氣體做正功.當氣體形狀不規則時，對體積變化過程采用微元分割，可以得到上述的微元做功表達式仍然成立.此做功大小 _PΔV 對應著 p-V 圖像下方的微元矩形面積，所以氣體的狀態變化曲線 p-V 圖像下方與橫軸所圍圖形的面積表示封閉氣體做功的大小（做功的正負可由氣體的體積變化判斷），如圖8-乙中的陰影部分面積.進而可以推知一個循環過程所圍圖形的面積表示這個過程氣體所做功的大小.如圖8-丙中，不規則圖形ABCD所圍圖形的面積表示氣體在一個循環過程中對外做的功.當然要注意，氣體的 V-? 圖像與橫軸所圍圖形的面積不能代表封閉氣體所做的功，原因之前已經分析過.

圖8

4總結與概括

本文使用微元法分析如何判斷物理圖像下方與橫軸所圍圖形的面積是否有物理意義：把整個過程所對應的橫坐標物理量 x 分成無窮多份，則每個微元過程中縱坐標物理量 y 為一定值，進而判斷圖像下方的微元矩形面積 ΔS=y?Δx 是否有對應物理意義，從而得到整個圖像下方所圍圖形面積是否有相應的物理意義.要注意，如果將橫、縱坐標物理量彼此交換位置得到新的圖像，則圖像下方所對應的微元矩形的面積變成了 ，不再表示之前的物理意義，即圖像下方所圍圖形的面積也不再表示之前的物理量.以上的分析和結論對于物理過程的線性變化圖像或非線性變化圖像都是成立的.

（完）