“一線三等角”模型的探究與思考

有了數學模型，學生解題更加直觀，思考更有方向，能夠發現數學問題的本質.“一線三等角\"模型是一種常考的數學模型，它考查學生對核心知識的掌握程度，以及模型意識、幾何直觀等數學核心素養.本文中以“一線三等角\"為例，談一談對“一線三等角\"模型的探究與思考.

1“一線三等角\"模型

顧名思義，在一條直線上同時存在三個相等的角，這樣的模型就是“一線三等角”這里的角可以是直角、銳角或鈍角，這三個角可以在直線的同側或異側，在這樣的模型中，常存在全等或相似三角形.如圖1就是“一線三等角”的一種情形，三個直角 ∠ABC ，∠ACE 4 ∠CDE 的直角頂點在一條直線上，此時，有相似三角形 ΔABCΔCDE ，當且僅當相似比為1時，這兩個三角形全等.如圖2也是“一線三等角\"的一種情形，雖然三個直角頂點都在直線BD上，但是三個直角并不在該直線的同側，此時，也存在相似三角形 ΔACBΔBDE ，當且僅當相似比為1時，這兩個三角形全等.

圖1

圖2

2“一線三等角\"模型命題透視

縱觀各省市中考對“一線三等角\"模型的考查，可以發現，考查形式多為解答題，表現形式分為顯性與隱性兩種，背景通常包括翻折、旋轉等圖形變化形式，與一次函數、二次函數、反比例函數，特殊三角形、特殊四邊形、圓相結合，全面考查學生的抽象能力、模型觀念、運算能力、推理能力、幾何直觀與數據觀念等核心素養.設置的問題包含觀察與操作、猜想與探究、類比與驗證，要求學生經歷發現規律的全過程.解決問題的關鍵在于從復雜的圖形中分離出“一線三等角”模型，然后用方程或函數刻畫線段之間的數量關系或變化規律.

“一線三等角\"模型或融合在圖形變換中，或融合在函數圖象中.當三個等角同時出現在一條直線上時，它是顯性模型，此時比較容易看到模型；當有一個或兩個角出現時，可以通過作輔助線構造一線三等角模型，它是隱性模型.當點在幾何圖形上時，可直接利用全等或相似三角形對應邊成比例建立數量關系式；當點在函數圖象上時，可以利用函數表達式設出圖象上點的坐標，利用相似三角形對應邊成比例求點的坐標.運用的數學思想方法包括數形結合思想、分類討論思想、轉化思想、方程與函數思想等.

3“一線三等角\"模型的運用

充分利用數學模型解題，可以有效縮短學生思維的長度.對于數學學習能力比較強的學生，取勝的關鍵在于一眼看出問題的構造，能建立起已知與所求的聯系，利用數學模型，縮短推理環節，進而快速實現問題的突破.

例1如圖3，在 ?O 中，AB 為直徑，點 c 為圓上一點，延長 AB 到點 D ，使 CD= CA ，且 ∠D=30^°

圖3

（1）求證： CD 是 ?O 的切線；

（2）分別過 A，B 兩點作直線 CD 的垂線，垂足分別為 E，F ，過點 c 作 AB 的垂線，垂足為 G ，求證：CG²=AE?BF

分析：（1）如圖4，連接OC ，由 CD=CA ，得 ∠CAD= ∠D=30^° 由 OC=OA ，得∠OCA=∠CAD=30^° 由三角形外角性質，得 ∠COD= 60^° .由內角和定理得 ∠OCD= 90^° ，根據切線的判定定理得證.

圖4

（2）易證 AC 是 ∠EAG 的角平分線，CB是∠FCG 的角平分線，從而得到 CE=CG，CF=CG ，再證得 ΔAECΔCFB ，根據對應線段成比例得證.不難發現，圖中的 ΔAEC～ΔCFB ，就是由“一線三等角”得到的相似三角形.

例2如圖5，拋物線 y=x²+ bx+c 與 x 軸交于點 A（-3，0），B ，與 軸交于點 C（0，-3） ：

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線 _y=x+3 交拋物線于第一象限的點 M ，若 N 是拋物線y=x²+bx+c 上一點，且 ∠MAN= ∠OCB ，求點 N 的坐標.

圖5

分析：（1）直接將 _A，C 兩點坐標代入到拋物線的解析式中，解方程組，可以求得拋物線解析式為 y= x²+2x-3

（2）利用 ΔBCO 可以求得tan ∠BCO ，再求出 tan∠MAN ，聯立拋物線解析式與直線 y=x+3 ，可以求得交點 M 的坐標，則點 N 的位置可以分為在直線 AM 上方和 AM 下方（如圖6），利用 M 為直角頂點， AM 為直角邊，構造“一線三等角”相似，從而求得直線 AN 的解析式，聯立AN與拋物線解析式，從而求得交點 N 的坐標.

圖6

4對數學教學的啟示

（1）聚焦課本例習題，從中挖掘數學模型

在教材中出現了眾多的“一線三等角“模型.如，在八年級上冊的全等三角形中，如圖7所示；在八年級上冊的中心對稱圖形中，也出現了“一線三等角”，如圖8所示；在九年級的圖形相似中，更是出現了不少“一線三等角\"模型，如圖 9～ 圖11.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

中考試題是在課本例題、習題基礎上的延伸與拓展，源于課本但又高于課本.在課堂教學中，要利用好課本例習題資源，對課本例習題進行改編與拓展，或讓條件從靜態變成動態，不斷培養學生靈活應用模型的能力.

（2）重視模型識別，加強模型聯想應用

數學模型是學生解決問題的原始模型，教師要引導學生由當前問題鏈接到數學模型，如果當前問題與原始模型不匹配時，要聯想相關知識添加輔助線構造出相關模型，然后再利用圖形性質解決問題.

例3如圖12，在 ΔABC 中， ∠BAC 的度數為$1 3 5 ^ { ＼circ } ， A C = ＼sqrt { 2 } A B ， ＼angle D A C = 9 0 ^ { ＼circ } ， A D ＼$ 交BC于點 D ，已知 ，試求 ΔABC 的面積.

圖12

圖13

圖14

圖15

分析：當圖形中有 45^° 或 135^° 角時，可以構造不同類型的“一線三等角”，如圖 13～ 圖15所示，實際上構造一線三等角，就是把分散的數據集中起來，放在兩個相似三角形中加以利用.

5結語

回歸教材是中考數學命題的重要指向，在常態化教學中，教師要引導學生提煉和總結出一些常用的數學模型，然后，在解題過程中善于捕捉問題的特征，利用基本模型分析問題，通過構建基本模型解決問題，同時，還要提倡解決問題的多樣性，從一題多解開闊學生思路，發散學生思維，使學生學會多角度分析問題，多種手法解決問題，做到心中有模型，但又不拘泥于模型，進而培養學生的創新能力.