以問題提出實現數學概念性理解的教學實踐

在小學階段，實現概念性理解是數學教學的重要目標。它不僅能夠幫助學生記住數學公式或操作步驟，還能進一步促進他們對這些公式與操作步驟背后原理和含義的理解。倍是小學數學學習中一個非常基礎且重要的概念，也是幫助學生理解乘法的意義及數字之間數量關系的最基本概念。因此，在教學“倍的認識”一課時，不僅要讓學生學會計算倍數，更重要的是要幫助學生真正理解倍這個概念的含義。

然而，在常規的課堂教學中，教師通常讓學生通過記憶的方式來掌握概念。這導致學生在學完“倍的認識”一課后，能夠說出兩個數的倍數關系，卻說不清倍數后為什么不能加單位，以及倍是一種比較關系等深層次的概念。為解決以上問題，筆者將傳統的以問題解決為主要手段的教學方式調整為問題提出教學，幫助學生主動發現生活情境中的數量關系，從而真正理解倍的概念。同時，希望通過“倍的認識”這節課的嘗試，為讀者呈現運用問題提出開展概念課教學的基本教學模式。

一、基于教學目標的學情調查

教學目標有引導學習、教學、評價的功能，能夠體現小學數學學科的價值。基于教學目標創設課前評價任務，并以此為依據量體裁衣，設計適合學生的課程教學內容，有助于更精準地開展后續教學活動。

“倍的認識”一課的主要教學目標如下。

目標1：充分認識倍的產生和倍的概念。

目標2：在觀察、比較、變化中進一步加深對倍的本質的理解，認識到倍表示的是一種數量關系。

目標3：理解“一個數的幾倍是多少\"的含義，會運用倍數的知識解決簡單的實際問題。

目標4：經歷倍的概念形成過程，養成善于思考的良好學習習慣，增強數學學習興趣。

基于上述教學目標，筆者確立了如表1所示的課前評價任務，并據此設計前測題，對全班42個學生展開調查，以精準定位學生的學習起點。調查發現，學生對倍概念的理解主要存在三方面問題：（1）部分學生完全沒有聽說過倍；（2）無法確定標準量；（3）不清楚倍數關系，無法用圖式或算式表示倍的數量關系。針對這些問題，本節課采用問題提出的方式開展教學，以期在達成知識教學目標的同時，讓學生能夠積極主動地參與到提出問題、分析問題和解決問題的過程中。

二、基于問題提出的概念課教學過程

在“倍的認識”一課中，根據學生理解倍的意義的表現和課前診斷結果，筆者設計了三個核心任務，讓學生充分經歷概念的建構過程，落實核心素養。在問題提出課堂中，教師需要在呈現任務情境的同時，給出提示語，幫助學生明確提出問題的數量、難度、指向等具體任務要求。之后，學生再根據這些要求提出問題。

任務1：請你根據下圖提出數學問題。

學生會提出如下問題：

① 胡蘿卜和白蘿卜一共有多少個？② 白蘿卜比胡蘿卜多多少個？③ 胡蘿卜比白蘿卜少多少個？④ 白蘿卜的個數是胡蘿卜的幾倍？

基于此，引導學生討論：為什么白蘿卜的個數是胡蘿卜的3倍？并請學生去黑板上擺一擺、圈一圈，然后說一說。

任務1從學生熟悉的情境引入倍的概念，有助于他們初步感知倍，注意解決有關倍的問題的關鍵：明確誰是標準，有幾個這樣的標準。

任務2：請在框中創造出你喜歡的3倍。

學生典型作品如圖1所示。

任務2旨在幫助學生建構倍的模型，理解倍的本質。首先，用標準量理解倍。同樣是3倍，選擇的標準可以是實物、示意圖、線段圖等多種直觀形式，也可以是字母、鼓掌次數等抽象形式。其次，用“變式結構\"理解倍。可以分兩個層次：一是打亂實物的排列順序，二是隱藏實物只出示數據。引導學生將關注對象從實物的比較過渡到數之間的比較，從“形”過渡到“數”，對倍的認識從感性上升到理性。最后，在“變化\"中理解倍。“變化\"可分為兩類：一是標準不變，被比較的量變化；二是被比較的量不變，標準變化。學生通過在變化中理解倍，抽象出倍的本質：兩個數相比較，以一個數為標準，另一個數包含幾個這個數就是它的幾倍。

任務3：請你選擇兩個或兩個以上的信息，提出難度不同的有關倍的數學問題來考考老師和同學。

①3 個蘋果 ②6 個香蕉 ③12 個橙子 ④1 倍⑤2 倍 ⑥3 倍 ⑦ ⑧

我選，我提出的問題是：

任務3由教師給出信息，讓學生挑選信息后提出更有挑戰性的問題。這與任務1相呼應，并在此基礎上提升難度，讓學生在完整理解倍含義后提出較為復雜的數學問題。隨后，教師對學生所提出的問題進行分類、整理與評價，讓學生清晰地知道自己的學習歷程“到哪里了”，距離學習目標“還有多遠”，確保實現教學目標。學生會提出三類數學問題：一是求一個數是另一個數的幾倍，二是求一個數的幾倍是多少，三是求一個數的幾倍多幾或少幾是多少。具體如表2所示。

三、基于問題提出的問題解決

問題解決是任何數學課都必不可少的環節。而在問題提出教學中，若學生需要解決的問題來自他們自己或同學，他們參與問題解決的積極性會更高。同時，問題解決也是評估教學目標是否達成的重要手段。因此，為了優化作業形式與作業內容，輔助教師評估學生學習成果并調整教學，本節課結束后，筆者為學生設計了三道后測題。具體如下。

1.填空。

【設計意圖】由于水果圖雜亂無章，學生已經無法使用圈、畫等方法找倍，因此本題將學生的關注點引向“比較量里包含幾個標準量”，讓學生認識到兩個數量之間倍的關系也可以是它們的除法關系，從而使他們的認知從乘法結構走向除法結構。

2.△和是倍數關系，你覺得 Δ 可能有幾個？你能想出幾種？三角形：圓形：00000000三角形的數量可能是（ ）個。

【設計意圖】本題為開放式題目，考查學生對倍概念內涵的理解。解答本題時，學生容易局限于某一種情況，忽略三角形既可以是標準量，也可以是比較量。本題旨在通過這一易錯點，培養學生有序和嚴謹思考的能力。

3.先閱讀下面各題，再回答問題。

①12+12+12=70

② 朵朵一分鐘可以算12道題，3分鐘可以算多少道題？③ 洋洋收集了12張郵票，當當收集的張數是他的3倍多4張，當當收集了幾張？④ 一支毛筆12元，一支鉛筆3元，小麗各買一支，一共需要多少錢？⑤ 一本筆記本12元，天天買了3本，需要多少錢？⑥ 一個籠子最多裝3只兔子，12只兔子需要幾個籠子？⑦ 飛機每分鐘大約飛行12千米，3分鐘大約飛行了多少千米？

（1）上面哪些題目能用算式 12×3 來解決，填寫序號：（ ）。

（2）找一找，在你選的這些題中能找到每份數、份數和總數嗎？想一想，一倍數、倍數、多倍數與每份數、份數和總數有什么聯系？

【設計意圖】同結構的題組有助于學生建立新舊知識間的內在聯系，透過形式走向實質。倍數的問題，追溯其本質也屬于份數的問題。一倍數相當于每份數，倍數相當于份數，多倍數相當于總數。本題通過不同情境下的“ 12×3^′ ”，讓學生經歷解決問題的過程，抽象出題組中題目共同的性質。

后測結果顯示，學生能較好地找到標準量、倍數和比較量之間的關系。和前測相比，他們在用圖式表示倍數關系及列出表達式方面有了明顯的進步，但在更為一般化地表示倍的數量關系方面還有待提升。

四、基于問題提出的課堂教學改進

本節課基于問題提出展開教學實踐，基本達成了教學目標。學生經過本節課的學習，在標準量的確定、倍數關系的表達和相關問題的解決等方面都達到了預期自標。同時，學生在課上積極主動提出數學問題，不僅幫助教師了解了他們的想法，還有助于教學過程的推進。然而，回顧整個教學過程，本節課還有如下四個方面需要進一步改進。

第一，可在上課之初增加“標準變化會導致倍的關系隨之變化\"的變式圖（如圖2），進一步抓住倍的本質，讓學生走出情境中“只要看有幾個圈”的誤區。這是由于學生一開始對標準量的認識不明確，很難自己圈出標準量。而通過標準的變化，學生就能夠明確“只有標準確定了，倍數的關系才能確定”這一事實。

第二，在展示學生創造的“你喜歡的3倍\"的作品時，應讓學生成為評價的主角，點評其他同學的作品，由此診斷學生是否真的理解3倍的模型。如果課堂主要以教師評價為主，教師就無法真正了解學生的真實想法。因此，可在后續調整時增加學生評價同伴作品的環節，在進一步了解學生想法的同時，鞏固學生對3倍概念的理解。

第三，強調圖式表征與算式表征“ 6÷2=3^′ 之間的聯系。學生不能只知道算式表達式，而是既要會用圖式直觀表示倍數關系，又能在此基礎上解釋并列出表達式，以確保達成對倍的概念性理解。如圖3所示，在突破圈一圈的方法后，教師提問：“在算式 6÷2=3 里，你也看到標準和3份了嗎？誰來說一說？”學生會回答：“標準是2，也就是兩個胡蘿卜；3份則是指結果這個3。”由此，通過把前面的圖式表征與算式表征“ 6÷2=3… ”進行互譯，幫助學生進一步理解算式的含義。

第四，在問題提出環節，由于學生無法理解什么是“1倍”，教師需要變化表達式的形式，出示算式 ^*3×1 ”和“ 3×3+2^? ，讓學生提出含有現實情境的問題，進一步理解“1倍\"的含義以及后續的“一個數的幾倍多幾或少幾是多少”之類的問題。

五、問題提出實現概念性理解的教學反思

（一）問題提出教學有利于實現學生的概念性理解

在數學教學中，當涉及抽象概念（如倍的認識）時，學生理解起來往往存在困難。以問題提出為核心設計教學，讓學生自己提出疑問，能夠激發學生的好奇心，促使他們主動思考概念的本質。同時，教師也能夠針對學生的理解及時調整教學節奏，讓學生逐步建構對概念的深層次理解。本研究發現，經過基于問題提出的教學實踐，學生能夠提出關于倍的模型情境問題，并能逐步脫離現實情境，用一般性圖式（如線段圖等）表示倍的關系問題，從而實現從特殊到一般、從直觀到抽象的教學自的。

（二）問題提出教學促進學生問題解決能力的提升

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，要通過發現問題和提出問題引導學生主動參與數學探究活動，培養學生的問題解決能力和創新意識。在本節課中，學生在提出數學問題的過程中已經對情境和條件進行了加工，如此，后面的問題解決也就順理成章了。同時，將學生提出的問題納入課堂待解決問題中，學生也會更有成就感和參與感。這一過程不是借助傳統課堂上的\"記憶、理解、應用\"等認知方式，而是通過為學生提供主動觀察、比較和分析的機會，幫助學生在分析和評價中創造新的問題。

（三）問題提出教學為學生創設了自由積極的學習環境

問題提出課堂的核心價值在于為學生提供更多的學習機會，改變學生參與學習的身份，使學生從被動的問題解決者轉變為主動的問題提出者和問題解決者。這一過程中，不同程度的學生都能參與到課堂中，并且通過交流、分享、評價發展積極的數學學習情感，提升參與數學學習的興趣。

本節課通過問題提出的教學策略，實現了學生從被動解題向主動建構的轉變。教學伊始，學生基于觀察倍數關系自主生成現實情境問題；繼而通過分析白蘿卜與胡蘿卜的數量對比確定標準量，提出“差值比較\"（如多/少）與“倍數關系\"（如幾倍）的數學問題，并運用圖式進行表征；最后通過拓展性的問題設計，進一步鞏固了對倍的概念理解。本教學實踐表明，問題提出策略不僅為學生提供了開放性強的探究空間，還顯著提升了學生的課堂參與度與學習成就感。

參考文獻：

[1]徐冉冉，李丹楊，姚一玲，等.指向教學改進的“問題提出”數學教學[J].數學教學，2020（10）：1-8.

（1.浙江省杭州市蕭山區新街小學2.杭州師范大學中國教育現代化研究院）