溯本逐源：簡諧運(yùn)動(dòng)的周期公式與解題通法

1題目背景

某次聯(lián)考中，一道電場情境下的粒子運(yùn)動(dòng)問題難倒眾多學(xué)生：在區(qū)間 [-α，α] 內(nèi)，場強(qiáng)大小與位移成正比，粒子做往復(fù)運(yùn)動(dòng).這實(shí)為簡諧運(yùn)動(dòng)，但學(xué)生因缺乏對周期公式普適性的理解而無從下手.現(xiàn)行高中教材僅在單擺和彈簧振子中引入周期公式 T= m，卻未揭示其本質(zhì)規(guī)律.本文從動(dòng)力學(xué)本質(zhì)出發(fā)，推導(dǎo)簡諧運(yùn)動(dòng)的周期公式，并拓展其在電磁場、重力場等復(fù)雜場景的應(yīng)用，構(gòu)建統(tǒng)一的理論框架.

2溯本根源，從動(dòng)力學(xué)本質(zhì)探究簡諧運(yùn)動(dòng)的周期公式

2.1 簡諧運(yùn)動(dòng)的定義及特點(diǎn)

從運(yùn)動(dòng)學(xué)視角來看：當(dāng)一個(gè)物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律能夠用正弦函數(shù)準(zhǔn)確描述時(shí)，也就是說其振動(dòng)所對應(yīng)的位移一時(shí)間 （x-t） 圖像呈現(xiàn)為一條標(biāo)準(zhǔn)的正弦曲線形狀，那么該物體所進(jìn)行的這種振動(dòng)便屬于簡諧運(yùn)動(dòng)，如圖1.

x=Asin（ωt+φ）.

從動(dòng)力學(xué)視角來看：當(dāng)物體所受力呈現(xiàn)出 F =-kx 這種形式時(shí)，該物體便會(huì)做簡諧運(yùn)動(dòng).具體來講，只要物體在其運(yùn)動(dòng)方向上，所受到的力與它偏離平衡位置的位移大小成正比例關(guān)系，而且此力始終指向平衡位置，那么該物體的運(yùn)動(dòng)即為簡諧運(yùn)動(dòng).

2.2簡諧運(yùn)動(dòng)周期公式推導(dǎo)

高二數(shù)學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了求導(dǎo)（變化率），沒有學(xué)積

分，采用逆推法，位移對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是速度，速度對

時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為加速度，由 x=Asin（ωt+φ） ，得 v=x^′=Aωcos（ωt+φ） 又 a=v^′=-Aω²sin（ωt+φ） 由牛頓第二定律，有 F=ma ，又有 F=-kx ，即有 -mAω²sin（ωt+φ）=-kAsin（ωt+φ）， （204號(hào)得到 ，又得到

2.3勻速圓周運(yùn)動(dòng)投影法

設(shè)質(zhì)點(diǎn)以角速度 ω 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其水平投影位移 x=Acosωt 水平投影加速度 a=-ω²x ;對比牛頓定律 ，得 ，又 T= ，得到

3簡諧運(yùn)動(dòng)的\"三步判斷法”與多場景突破解題方法

3.1 簡諧運(yùn)動(dòng)的“三步判斷法”

步驟1：確定平衡位置，分析回復(fù)力是否滿足 F ω=-kx 的形式；

步驟2：求解等效勁度系數(shù) 步驟3：代入周期公式

3.2多場景突破解題方法

（1）單擺：重力的分力 F=mgsinθ 提供回復(fù)力，又θ很小，sinθ≈0=， ，則有F=mg 可得 K= mg，將K代人T=2π ，得到

（2）彈簧振子：彈簧彈力提供回復(fù)力， F=-kx ，

（3）電場中的“類彈簧振動(dòng)”.

例1粒子質(zhì)量為 ?_m ，電荷量為 q 的負(fù)電粒子，在場強(qiáng) 的電場中，從 x 軸上 x=-a 處由靜止釋放，粒子僅受電場力作用，求從 [-α，α] 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

第一步：回復(fù)力為所受電場力， A第二步：等效勁度系數(shù) （204號(hào)第三步：周期 ，所求時(shí)間為半個(gè)周期

4磁場中的\"電磁彈簧”振動(dòng)（阻尼可忽略）

例2如圖2所示，兩根平行的軌道固定在水平面上，其中 MN，M^′N^′"這兩小段是由絕緣材料制成的，軌道的其余部分為金屬材質(zhì).軌道之間的距離為 d ，在軌道所圍區(qū)域內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B 、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場，并且軌道的右側(cè)連接著一個(gè)自感系數(shù)為 L 的電感線圈.一根質(zhì)量為 Ψ_m"、電阻可忽略不計(jì)的金屬棒 b 垂直放置在絕緣材料部分的軌道上，在這個(gè)問題中，不考慮其他電阻，所有的摩擦也都忽略不計(jì)，同時(shí)不考慮電磁輻射的影響.已知電感線圈產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢與電流的變化率成正比，現(xiàn)在給金屬棒 b 一個(gè)初速度，此時(shí)，有人推測金屬棒 b 在磁場中的運(yùn)動(dòng)過程是簡諧運(yùn)動(dòng)，那么請計(jì)算出金屬棒 b 運(yùn)動(dòng)的周期.

分析第一步：力為安培力，設(shè)在 t～t+Δt 時(shí)間內(nèi)， b 棒以速度 v 運(yùn)動(dòng)，電流變化量為 ΔI .有 ，解得 ，對該式兩邊積分可得 .那么 b 棒所受安培力為 F=BId= .又由楞次定律可知，安培力的方向一直和 b 棒位移 x 的方向相反，有 ，故 b 做簡諧運(yùn)動(dòng).

第二步：由簡諧運(yùn)動(dòng)回復(fù)力與位移的關(guān)系 （20F=-kx 得等效勁度系數(shù)

第三步：由簡諧運(yùn)動(dòng)的周期公式有 得

5 結(jié)語

簡諧運(yùn)動(dòng)的周期公式本質(zhì)是動(dòng)力學(xué)規(guī)律的統(tǒng)一表達(dá).通過三步法，學(xué)生可快速識(shí)別復(fù)雜場景中的簡諧特征，實(shí)現(xiàn)從“機(jī)械套用”到“模型遷移”的思維升級(jí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)波動(dòng)與量子理論奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]王偉民，于方超.木板的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)嗎[J].物理教師，2024，45（02）：63-65.

[2]許衛(wèi)國，姜付錦.簡諧運(yùn)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)及其周期[J.物理教師，2024，45（10）：65-68.